Parti¨ ele differentiaalvergelijkingen
Type en stabiliteit van een kritiek punt
Kwalitatieve informatie over oplossingen van een autonoom stelsel differentiaalvergelijkingen kan worden gevonden door:
vergelijkingen van banen af te leiden (dat kan soms), een faseplaatje te maken en goed te kijken,
het stelsel differentiaalvergelijkingen te lineariseren rond een kritiek punt.
Voor het vinden van vergelijkingen van banen staan ons diverse technieken ter beschikking, faseplaatjes kunnen we met Maple maken en lineariseren rond een kritiek punt kunnen we met technieken uit de
Stabiliteit van een kritiek punt
Definitie
Een kritiek punt x0van (1) heetstabielals bij elke > 0 een δ > 0 bestaat zodat voor alle oplossingen x = φ(t) met ||φ(0) − x0|| < δ geldt ||φ(t) − x0|| < voor t ≥ 0.
Een kritiek punt x0van (1) heetasymptotisch stabielals x0stabielis en er een δ0> 0 bestaat zodat voor alle oplossingen x = φ(t) met
||φ(0) − x0|| < δ0geldt lim
t→∞||φ(t) − x0|| = 0.
Een kritiek punt x0van (1) heetinstabielals het niet stabiel is.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
20 december 2019 2
Opmerking
Deze exacte definities gaan we niet gebruiken, een intu¨ıtief begrip is voldoende.
Om onze intu¨ıtie te staven kunnen we gebruik maken van de linearisering rond kritieke punten.
Lineariseren rond een kritiek punt
We veronderstellen dat het stelsel differentiaalvergelijkingen:
dx dt dy dt
=
F (x , y ) G (x , y )
(1)
als kritiek punt x0 = (x0, y0) heeft.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
20 december 2019 4
Als de parti¨ele afgeleiden van F bestaan in (x0, y0) dan heeft het raakvlak aan de grafiek van F in (x0, y0, F (x0, y0)) als vergelijking:
z − F (x0, y0) = ∂F
∂x(x0, y0)(x − x0) +∂F
∂y(x0, y0)(y − y0) zodat F (x , y ) ≈ F (x0, y0) +∂F
∂x(x0, y0)(x − x0) +∂F
∂y(x0, y0)(y − y0) en
F (x , y ) = F (x0, y0) +∂F
∂x(x0, y0)(x − x0) +∂F
∂y(x0, y0)(y − y0) + η(x , y )
Als de parti¨ele afgeleiden van G bestaan in (x0, y0) dan vinden we op dezelfde manier
G (x , y ) = G (x0, y0) +∂G
∂x(x0, y0)(x − x0) +∂G
∂y(x0, y0)(y − y0) + ζ(x , y )
en omdat F (x0, y0) = G (x0, y0) = 0 F (x , y ) = ∂F
∂x(x0, y0)(x − x0) +∂F
∂y(x0, y0)(y − y0) + η(x , y ) en G (x , y ) = ∂G
∂x(x0, y0)(x − x0) +∂G
∂y(x0, y0)(y − y0) + ζ(x , y )
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
20 december 2019 6
Als de parti¨ele afgeleiden van G bestaan in (x0, y0) dan vinden we op dezelfde manier
G (x , y ) = G (x0, y0) +∂G
∂x(x0, y0)(x − x0) +∂G
∂y(x0, y0)(y − y0) + ζ(x , y )
en omdat F (x0, y0) = G (x0, y0) = 0 F (x , y ) = ∂F
∂x(x0, y0)(x − x0) +∂F
∂y(x0, y0)(y − y0) + η(x , y ) en G (x , y ) = ∂G
∂x(x0, y0)(x − x0) +∂G
∂y(x0, y0)(y − y0) + ζ(x , y )
Hiermee kan (1) geschreven worden als:
dx dt dy dt
=
∂F
∂x(x0, y0) ∂F
∂y(x0, y0)
∂G
∂x(x0, y0) ∂G
∂y(x0, y0)
"
x − x0
y − y0
#
+
"
η(x , y ) ζ(x , y )
#
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
20 december 2019 7
of als:
dx
dt = f(x) = A(x − x0) + r(x) (2) waarbij
A =
∂F
∂x(x0, y0) ∂F
∂y(x0, y0)
∂G
∂x(x0, y0) ∂G
∂y(x0, y0)
en r(x) =
"
η(x , y ) ζ(x , y )
#
Opmerking
Omdat f(x0) = 0 is r(x0) = 0.
Definitie
De matrix A heetmatrix van Jacobi ofJacobiaan.
Notatie
Jf(x0) = Jf(x0,y0)
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
20 december 2019 9
Van het stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen dx
dt = A(x − x0) (3)
kennen we het type en de stabiliteit van het kritieke punt x0. Als de restterm
lim
x→x0
||r(x)||
||x − x0|| = 0 (4)
zegt dit ook iets over het type en de stabiliteit van het kritieke punt x0van (3).
Opmerking
In limiet (4) gaat de teller in de breuk ‘sneller’ naar 0 dan de noemer.
De volgende typen kritieke punten kunnen worden onderscheiden:
Eigenwaarden Jf(x0) Type kritieke punt 1. r1· r2> 0 knoop
2. r1· r2< 0 zadelpunt
3. r1 = r2 knoop of spiraalpunt
4. r1 = λ + i µ, r2 = r1
λ 6= 0 spiraalpunt
5. r1 = i µ, r2 = r1 centrumpunt of spiraalpunt Onder 1., 2., 3. r1, r2∈ R en onder 4, 5. λ, µ ∈ R, µ 6= 0.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
20 december 2019 11
Opmerkingen
Ad. 1. Als r1> r2> 0 heet de knoop ook welbronen als r1< r2< 0 welput.
Ad. 4. Als λ > 0 heet het spiraalpunt ook welbronen als λ < 0 welput.
En de volgende tabel geeft de stabiliteit:
Eigenwaarden Jf(x0) Stabiliteit 1. r1≥ r2> 0 Instabiel
2. r1≤ r2< 0 Asymptotisch stabiel 3. r1< 0 < r2 Instabiel
r1 = λ + i µ, r2 = r1
4. λ > 0 Instabiel
5. λ < 0 Asymptotisch stabiel
6. r1 = i µ, r2 = r1 Onbepaald
Onder 1., 2., 3. r1, r2∈ R en onder 4., 5., 6. λ, µ ∈ R, µ 6= 0.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
20 december 2019 13
