Parti¨ ele differentiaalvergelijkingen
De warmte-of diffusievergelijking
Is L de lengte van de staaf en u(x , t) de temperatuur van de staaf op tijdstip t en positie x dan kan voor u de volgende
differentiaalvergelijking
ut = α2uxx (0 < x < L, t > 0) (1) worden afgeleid.
Deze differentiaalvergelijking heetwarmtevergelijkingof
diffusievergelijking. De constante α2heetdiffusieconstante. Deze constante hangt voornamelijk af van materiaalkenmerken van de staaf.
Nemen we aan dat de begintemperatuur van de staaf gegeven is dan u(x , 0) = f (x ) (0 ≤ x ≤ L) (2) en verder dat aan de uiteinden van de staaf dezelfde constante temperatuur heerst, die we nemen als nulniveau van de temperatuur dan
u(0, t) = u(L, t) = 0 (t > 0) (3)
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 3
De parti¨ele differentiaalvergelijking (1) samen met de beginvoorwaarde (3) en de randvoorwaarden (2) heet eenbegin-randwaardeprobleem.
Dit probleem is lineair en homogeen en zou de triviale oplossing hebben als f (x ) = 0 voor 0 ≤ x ≤ L.
Merk op dat de functie u gegeven door
u(x , t) =
∞
X
n=1
cnun(x , t) =
∞
X
n=1
cne−
α2n2π2t
L2 sinnπx
L (6)
voor (cn∈ R, n ∈ N\{0}) een oplossing is van (1) samen met de randvoorwaarden (3).
Er wordt door (6) nu ook voldaan aan (2) als
f (x ) =
∞
X
n=1
cn sinnπx L .
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 13
Merk op dat de functie u gegeven door
u(x , t) =
∞
X
n=1
cnun(x , t) =
∞
X
n=1
cne−
α2n2π2t
L2 sinnπx
L (6)
voor (cn∈ R, n ∈ N\{0}) een oplossing is van (1) samen met de randvoorwaarden (3).
Er wordt door (6) nu ook voldaan aan (2) als
f (x ) =
∞
X
n=1
cn sinnπx L .
Blijkbaar is f (x ) de som van een sinusreeks
∞
X
n=1
cn sinnπx
L (7)
voor zekere co¨effici¨entenc1, c2, · · · .
Rest ons de vraag te beantwoorden of deze co¨effici¨enten te bepalen zijn en, zo ja, waar ze aan gelijk zijn.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 14
Opmerkingen
Merk op dat alle termen van (7) oneven functies zijn. Bestaat de som van de reeks dan zal dit ook een oneven functie zijn.
Verder hebben alle termen periode 2L en zal de eventuele som dus ook periodiek zijn met dezelfde periode.
Dit is de reden dat we de functie f als volgt uitbreiden.
Definieer functie g op [−L, L) door:
g (x ) =
f ( x ) als 0 ≤ x ≤ L
−f (−x) als − L < x < 0 en zet g periodiek voort.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 16
Eigenschappen van trigoniometrische functies,intermezzo
Voor m, n ∈ N\{0} geldt:
Z L
−L
cosnπx
L cosmπx L dx =
( 0 als m 6= n L als m = n Z L
−L
sinnπx
L sinmπx L dx =
( 0 als m 6= n L als m = n Z L
−L
cosnπx
L sinmπx
L dx = 0 voor alle m, n.
Deze gelijkheden kunnen worden bewezen met de zogenaamde somformules.
Voor x , y ∈ R geldt:
cos(x + y ) = cos x cos y − sin x sin y cos(x − y ) = cos x cos y + sin x sin y sin(x + y ) = sin x cos y + cos x sin y sin(x − y ) = sin x cos y − cos x sin y
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 18
Maken we hiervan gebruik dan vinden we voor n ∈ N\{0}:
cn = 1 L
L
Z
−L
g (x ) sinnπx
L dx = 2
L
L
Z
0
g (x ) sinnπx L dx
= 2
L
L
Z
0
f (x ) sinnπx L dx .
Opmerkingen
De functie die ge¨ıntegreerd wordt is het product van twee oneven functies en is dus even.
Stilzwijgend is er vanuit gegaan dat integratie en sommatie mogen worden verwisseld.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
6 januari 2020 20
