f (~a) h , de parti¨ele afgeleide van f naar de i-de co¨ordinaat

(1)

OPGAVEN BIJ ANALYSE 2015, DIFFERENTI ¨EREN IN Rⁿ (15)

Resultaten Definitie. Voor f : R^k→ R defini¨eren we

D_if (~a) = lim

h→0

f (~a + h~e_i) − f (~a)

h ,

de parti¨ele afgeleide van f naar de i-de co¨ordinaat.

Definitie. Voor f : R^k→ R defini¨eren we D~uf (~a) = lim

h→0

f (~a + h~u) − f (~a)

h ,

de richtingsafgeleide in de richting ~u.

Definitie. Een functie f : R^k→ R^`is differentieerbaar in ~a ∈ R^k als er een lineaire afbeelding L ∈ Lin(R^k, R^`) bestaat zodat

f (~a + ~h) − f (~a) = L~h + o(k~hk) voor ~h → 0.

We schrijven dan f⁰(~a) voor L, de (totale) afgeleide in ~a.

Opgaven

Opgave 1. Bekijk E{(x, y, z) ∈ R³ : x > 0, y > 0, z > 0} en f : E → R gegeven door f (x, y, z) = x^yy^zz^x. Bepaal de parti¨ele afgeleides van f .

Opgave 2. Zij f : R^k → R een functie zodat alle parti¨ele afgeleiden bestaan op heel R^k. Stel dat Dif (~x) = 0 voor alle ~x ∈ R^k en alle i. Bewijs dat er een c ∈ R is zodat f (~x) = c voor alle ~x.

Opgave 3. Laat f : R²→ R met f(0, 0) = 0 en f(x, y) = _x2^y+y⁴ ² voor (x, y) 6= (0, 0).

(a) Bewijs dat f continu is in ~0.

(b) Bepaal de parti¨ele afgeleiden D1f en D2f in ~0 (met de definitie).

(c) Bepaal de partiële afgeleiden D1f en D2f buiten ~0 (met de gebruikelijke regels voor differentiëren). Zijn de partiële afgeleides continu in ~0?

(d) Zij ~u ∈ R². Bepaal de richtingsafgeleide D~uf (0, 0).

(e) Bewijs dat f (totaal) differentieerbaar is in ~0.