f f - # /: : h)" yn: ]y!"":t. ø,: ,lL :)" -7. )-r-r¡k¡ :

(1)

Tentamen'Wiskundige Structuren 2018-201-9 Vrijdag

11

januari 2019, 14u00-L7u00

Vermeld, op elk blad, dat,

je

i,nleuert d,ui,deli,jk

je

no,an'L en stud,entnummer. Rekenmach'i,nes en d,ocumenten z'iin n'iet toegestøøn. Bewijs aI

je

beweringen en lormuleer d,ui,d,elijk d,e stellingen d'ie

je

gebr"ui,kt, tenz'ij enplici,et 'in d,e uraag uermeld, staat

ilat

d,i,t niet hoeft.

Dit

^tentamenbestaat ui't

6

opgauen.

Het

tentamen i,s

in

te z,ien tussen

21

en 29 januari,

2019.

Geli,eue h'ieraoor contact op te nemen met ^d,e

d,ocent.

Vraag 1 [rrp]

Bewijs dat de verzameling _{rze

N :

7ln en

2ln}

aftelbaar oneindig is.

Vraag 2

_[rsp]

Definieer de

rij {/r},¡s

^vanFibonacci-getallen als

volgt:

_"fo

: 0, h : I

^en

^voor

^{alle rz}

^€

^N>2,

.fr : Ír-t Í /r-2.

^Bewijs^dat^voor^iedere^r¿^€^N[>1^{geldt dat}

t-

)-r-r¡k¡* : Ízn-t -7.

L\

Vraag 3

_[15p]

(a)

Bewijs de volgende uitspraak: voor iedere verzameling,4 e

P(N) \

^{Ø}^{geldt dat}

^minÁ

^bestaat.

(b)

Bewijs

of

weerleg de volgende

uitspraak:

voor iedere verzameling,4

e P(N) \ {Ø}

^Seldt

dat maxL

bestaat.

Definieerderelatie-opP(N[)\{Ø}atsvolgt:

^voor

A,B€ 2(N)\{Ø}Seldt A-B danenslechtsdanals

minA: minB.

(c)

Bewijs dat

-

^eenequivalentierelatie is.

(d)

Geef een quotiëntafbeelding q : P(N)

\

^{{Ø} -+}^NI^voor

-.

Vraag a _[rrp]

(a)

Geef

,\3" (t *:)"

^{en geef}

,lL ^o* ⁱⁿ

^geval^{o €}lR;,6. Je hoeft

je

antwoorden niet te bewijzen.

(b)

Bewijs dat de

rij (nn)n>l

^gegevendoor

ø,: (t + fr)'"onl,e.geert

^met

]y!"":t.

(Hint:

gebruik de Insluitstelling en onderdeel (a).)

(c)

Bewijs dat de

rij (g.).>t

gegeven d.oor

yn: (t + h)" "i"t

^begrensd^is..

Vraag 5

_[rsp]

Laat a e lR>o Begeven zijn en beschouw de functie

/:

^(a,oo)^-+^IR^gegeven^door

/(z) : ^!, - #

(a)

Geef een waarde voor

a

zodat

f

^uniform^continu^is.^Bewijs

^je

beweringen.

(b)

Geef een waarde voor ø zodat

f

continu is, maar niet uniform continu. Bewijs

je

_beweringen

z,o.z,

(2)

Vraag 6

[15p]

Definieer de functie

/

^lR^-+^JR,

, ^r+

^{1 en}^voor^iedere^r¿

)

1 de functie

/,

^{: IR}^-+^IR^door

l"@):

0, alsø( -nof rln, 1+9, als -n1r10, I-i, als0(ø(r¿.

(a)

Bewijs dat de

functierij (f.)">t

puntsgewijs convergeert naar f ^.

(b)

Bewijs of weerleg dat de functie dat de

functierij (/")"21

uniform convergeert naar

/

Totaal: 90p

f ^10p:

^100p

Succes!

2

f f - # /: : h)" yn: ]y!"":t. ø,: ,lL *:)" -7. )-r-r¡k¡* :

Tentamen'Wiskundige Structuren 2018-201-9 Vrijdag

januari 2019, 14u00-L7u00

je

je

je

je

ilat

Dit

6

Het

in

21

2019.

Vraag 1 [rrp]

N :

2ln}

Vraag 2

rij {/r},¡s

volgt:

: 0, h : I

voor

€

.fr : Ír-t Í /r-2.

)-r-r¡k¡* : Ízn-t -7.

Vraag 3

(a)

P(N) \

minÁ

(b)

of

uitspraak:

e P(N) \ {Ø}

dat maxL

Definieerderelatie-opP(N[)\{Ø}atsvolgt:

A,B€ 2(N)\{Ø}Seldt A-B danenslechtsdanals

minA: minB.

(c)

-

(d)

\

-.

Vraag a [rrp]

(a)

,\3" (t *:)"

,lL o* in

je

(b)

rij (nn)n>l

ø,: (t + fr)'"onl,e.geert

]y!"":t.

(Hint:

(c)

rij (g.).>t

yn: (t + h)" "i"t

Vraag 5

/:

/(z) : !, - #

(a)

a

f

je

(b)

f

je

Vraag 6

/

, r+

)

/,

l"@):

0, alsø( -nof rln, 1+9, als -n1r10, I-i, als0(ø(r¿.

(a)

functierij (f.)">t

(b)

functierij (/")"21

/

f 10p:

f f - # /: : h)" yn: ]y!"":t. ø,: ,lL :)" -7. )-r-r¡k¡ :

^voor

^€

^minÁ

Vraag a _[rrp]

,lL ^o* ⁱⁿ

/(z) : ^!, - #

^je

, ^r+

f ^10p: