Parti¨ ele differentiaalvergelijkingen
Definitie
Een parti¨ele differentiaalvergelijking is een differentiaalvergelijking waarin meerdere onafhankelijke variabelen voorkomen. Naast de afhankelijke variabele komen in de differentiaalvergelijking nu ook parti¨ele afgeleiden naar deze onafhankelijke variabelen voor.
Voorbeeld
Voorbeelden van parti¨ele differentiaalvergelijkingen zijn:
de warmte-of diffusievergelijking (verspreiding van warmte in een staaf)
∂u
∂t = α2∂2u
∂x2 ut = α2uxx
α2is de diffusieconstante.
de golfvergelijking (trillingen in een snaar)
∂2u
∂t2 = a2∂2u
∂x2 utt = a2uxx a is de voortplantingssnelheid van de trillingen.
Voorbeeld
de Laplace- of potentiaalvergelijking (stationaire temperatuursverdeling van een plaat)
∂u
∂t = α2(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2) ut = α2(uxx+ uyy)
Met ∂u
∂t = 0 (ut = 0) wordt dit:
∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2 = 0 uxx+ uyy = 0
α2is de diffusieconstante.
Het scheiden van de variabelen
Doel
Een parti¨ele differentiaalvergelijking zo manipuleren dat er problemen worden gevonden kunnen worden opgelost. Dit bestaat eruit dat de variabelen worden gescheiden waardoor er bij iedere onafhankelijke variabele een gewone differentiaalvergelijking ontstaat.
Voorbeeld (§10.5)
ut = α2uxx
Merk op dat een oplossing u, een functie is van t en y . Willen we de variabelen kunnen scheiden dat moet u dus geschreven kunnen worden als het product van een functie van t en een functie van x . Dus:
u = u(t, x ) = T (t)X (x ) Substitutie in de differentiaalvergelijking geeft:
T0(t)X (x ) = α2T (t)X00(x ) ⇔ T0(t)
T (t) = α2X00(x )
X (x ) ⇔
1 α2
T0(t) T (t)
| {z }
hangt alleen van t af
= X00(x ) X (x )
| {z }
hangt alleen van x af
1 α2
T0(t) T (t)
| {z }
hangt alleen van t af
= X00(x ) X (x )
| {z }
hangt alleen van x af
Dit kan alleen als linkerlid en rechterlid constant zijn dus:
X00(x ) X (x ) = 1
α2 T0(t)
T (t) = −λ voor zekere λ ∈ R
X00(x ) + λX (x ) = 0 T0(t) + λα2T (t) = 0
Aan de verkregen differentiaalvergelijkingen is te zien dat we moeten onderzoeken voor welke waarden van λ ze allebei een niet-triviale oplossing hebben.
Stelling
Gegeven is de parti¨ele differentiaalvergelijking
ut = α2uxx (1)
Er geldt:
Als λ = λ0een waarde is waarvoor de differentiaal- vergelijkingen
X00(x ) + λX (x ) = 0 en T0(t) + λα2T (t) = 0
niet-triviale oplossingen Xλ0 en Tλ0 hebben dan is uλ0 = Tλ0Xλ0 een oplossing van (1)
En verder:
Als uλ1 en uλ2 oplossingen zijn van (1) dan is
u = c1uλ1+ c2uλ2 (c1, c2∈ R) ook een oplossing van (1)
Opgaven
§10.5, opgaven 1, 3, 5
Onderzoek of bij de volgende parti¨ele differentiaalvergelijkingen de variabelen te scheiden zijn. Zo ja, doe dit dan.
1 xuxx+ 2ut = 0
3 uxx+ 2uxt+ ut = 0
5 uxx+ (x + 2y )uyy = 0
Een uitdaging
§10.5, opgaven 6, 22, 23
Scheid de variabelen.
6 uxx+ uyy+ yu = 0
22 α2(uxx+ uyy) = ut
23 α2(urr+1rur+r12uθθ) = ut
Voorbeeld
Wanneer we een staaf hebben die aan beide uiteinden gekoeld wordt met ijswater dan hebben we te maken met de parti¨ele
differentiaalvergelijking ut = α2uxx die door de substitutie van u = u(t, x ) = T (t)X (x ) leidt tot de gewone
differentiaalvergelijkingen:
X00(x ) + λX (x ) = 0 T0(t) + λα2T (t) = 0
Naast deze differentiaalvergelijkingen hebben we de randvoorwaarden X (0) = X (L) = 0 met L de lengte van de staaf. Daarnaast ook nog de temperatuursverdeling u(0, x ) = T (0)X (x ) op t = 0.
Voorbeeld
Staaf met beide uiteinden in ijswater.
Een balk die doorbuigt en aan de uiteinden geklemd is.
We gaan daarom eerst naar randwaardeproblemen kijken.
Randwaardeproblemen
Definitie
Een randwaardeprobleem is een gewone differentiaalvergelijking waaraan voorwaarden in verschillende punten zijn toegevoegd, de randvoorwaarden.
Aan een differentiaalvergelijking van de orde n worden dus n randvoorwaarden toegevoegd.
Voorbeeld
y00− y = 0, y (0) = 1, y (1) = 2 y00− y = 0, y (0) = 1, y0(1) = 2
Oplossingen:
y = 2 − e−1
e − e−1ex+e − 2 e − e−1e−x y = 2 − e−1
e + e−1ex+e − 2 e + e−1e−x
Opgaven
§10.1, opgaven 1, 3 en 5
1 y00+ y = 0, y (0) = 0, y0(π) = 2
3 y00+ 4y = 0, y (0) = 0, y (L) = 0
5 y00+ 4y = x , y (0) = 0, y (π) = 0
1 y = −2 sin x ,
3 y = 0 voor alle L > 0 en y = c sin 2x (c ∈ R) als sin 2L = 0,
5 geen oplossingen.
Niet alle randwaardeproblemen hebben dus oplossingen! Dit in tegenstelling tot beginwaardeproblemen.
Definitie
λ heet een eigenwaarde van de differentiaalvergelijking:
y00+ λy = 0
als de differentiaalvergelijking met daaraan toegevoegd de randvoorwaarden niet-triviale (niet-nul)oplossingen heeft.
De niet-triviale oplossingen heten eigenfuncties bij λ.
Voorbeeld
Onderzoek voor welke waarde(n) van λ het randwaardeprobleem
y00+ λy = 0, y (0) = 0, y0(10) = 0
niet-triviale oplossingen heeft en bepaal deze oplossingen.
Maak onderscheid tussen λ = 0, λ < 0 en λ > 0.
λ = 0: geen niet-triviale oplossingen, λ < 0: geen niet-triviale oplossingen, λ > 0: als λ = (π
20+nπ
10)2zijn er niet-triviale oplossingen, namelijk y = c sin(π
20+nπ
10)x (c ∈ R). Hierbij n = 0, 1, . . .
Opgaven
§10.1, opgaven 14, 16 en 18
Bepaal de eigenwaarden en eigenfuncties van de volgende
randwaardeproblemen. Ga er vanuit dat de eigenwaarden re¨eel zijn.
14 y00+ λy = 0, y (0) = 0, y0(π) = 0
16 y00+ λy = 0, y0(0) = 0, y0(π) = 0
18 y00+ λy = 0, y0(0) = 0, y0(L) = 0
14 λ = (12+ n)2en y = c sin(12+ n)x (c ∈ R) voor n = 0, 1, 2, . . .
16 λ = n2en y = c cos nx (c ∈ R) voor n = 0, 1, 2, . . .
18 λ = (nπL )2en y = c cosnπxL (c ∈ R) voor n = 0, 1, 2, . . .
