Optimale financi¨ele producten

Faculteit Wetenschappen

Departement Wiskunde

Optimale financi¨ele producten

in Black-Scholes Markten en L´evy Markten

Proefschrift ingediend met het oog op het behalen van de graad van Master in de Wiskunde, Optie Financi¨ele Wiskunde, door

Meltem Ikiz

Promotor: Prof. Dr. Steven Vanduffel

Dankwoord

Wanneer ik weer na een afgewerkt hoofdstuk in mijn leven even terug kijk op al hetgeen dat achter mijn rug ligt, besef ik toch dat ik heel veel mensen dank verschuldigd ben. Ik heb altijd een groep fantastische mensen om me heen gehad die me hebben aangemoedigd, van advies ge- diend en voorzien van de emotionele steun die ik nodig had om mijn studie Wiskunde succesvol af te ronden. Mijn uitdrukkelijke dank gaat dan ook uit naar de volgende personen.

Ten eerste wil ik beginnen met mijn promotor prof. dr. Steven Vanduffel. Dankzij zijn zeer goede en enthousiast begeleiding heb ik mijn masterproef tot een goed einde kunnen brengen. Ik kijk met grote tevredenheid terug op de prettige samenwerking.

Hierna wil ik mijn ouders bedanken, omdat ze het mij mogelijk gemaakt hebben deze studie aan te vatten en altijd in mij zijn blijven geloven, ook als ik even het geloof in mezelf kwijt was.

De onvoorwaardelijke steun en liefde van mijn zussen en broer wil ik ook niet vergeten. Ze zijn erg belangrijk voor mij en hebben ongetwijfeld een positief effect gehad op mijn studieprestaties.

Eveneens verdienen mijn vrienden Nop, Tekg¨ul en maatje Fatih een speciaal woordje van dank voor de toffe, ontspannende momenten die ik soms echt wel nodig had.

Verder had ik mijn masterproef niet kunnen realiseren zonder de nuttige tips en motiverende woorden van ¨Oznur. Ze was altijd een luisterende oor en samen de laatste loodjes dragen was heel tof.

Vervolgens wil ik iemand speciaal op een persoonlijke vlak in de bloemetjes zetten: Ekrem.

Hij is steeds mijn steun en toeverlaat geweest. Iets klein of groot, niets was hem teveel om me gelukkig te maken.

En tot slot verdienen Ine Donn´e en Kemal S¨onmezyuva, werkzaam bij van Lanschot Bankiers, ook nog een welgemeende dank voor het nalezen van mijn masterproef.

Aan iedereen: Zonder jullie had ik nooit gestaan waar ik nu sta. Dank jullie wel!

Abstract

In deze verhandeling analyseren we de effici¨entie van financi¨ele producten vanuit het standpunt van beleggers. We benaderen de markt volgens de theorie van Black-Scholes en L´evy.

In het eerste deel tonen we aan dat in meer-dimensionale Black-Scholes markten, een gegeven payoff, vanuit het standpunt van risicoaverse belissingsnemers, altijd overheerst zal worden door een pad-onafhankelijke payoff. In het bijzonder tonen we aan dat voor een gegeven payoff we een nieuwe payoff kunnen vinden die door alle risicoaverse beslissingsnemers geopteerd zal worden. Vervolgens bewijzen we dat zo een optimale payoff altijd gezien kan worden als een pad-onafhankelijke Europese optie met als onderliggende waarde de marktportefeuille. We leiden ook specifiek de optimale payoff af voor een gegeven risicoaverse beslissingsnemer met een bepaalde nutsfunctie. Tenslotte tonen we aan dat de buy-and-hold investeringsstrategie¨en overheerst kunnen worden door portefeuilles met power opties zonder uitoefenprijs.

In het tweede deel van deze verhandeling stappen we over op algemene ´e´en-dimensionale L´evy markten. Ook hier tonen we aan dat risicoaverse beslissingsnemers, pad-onafhankelijke payoffs verkiezen boven pad-afhankelijke payoffs, maar dit slechts zolang de arbitragevrije prijszetting gebaseerd is op de Esscher transformatie voor het genereren van een equivalente martingaal- maat. Verder, tonen we aan dat in een lichtjes beperktere markt risicoaverse beslissingsnemers altijd zullen opteren voor pad-onafhankelijke payoffs die stijgend zijn met de onderliggende in- strumentwaarde. Tenslotte concluderen we ook dat het geometrisch gemiddelde een ineffi¨ente payoff is.

Inhoudsopgave

Dankwoord 1

Abstract 2

Inleiding 5

1 Black-Scholes Markten 8

1.1 Beschrijving . . . 10

1.2 Constant Mix strategie . . . 14

1.3 Mean-Variance Optimalisatie . . . 17

1.4 Marktportefeuille . . . 25

1.5 Sharpe Ratio. . . 29

1.6 Optimale payoffs . . . 30

1.7 Buy-and-hold strategie . . . 40

1.7.1 Specifiek voorbeeld. . . 41

1.7.2 Algemeen geval. . . 43

1.8 Besluit . . . 45

2 L´evy Markten 47 2.1 L´evy processen . . . 47

2.2 Beschrijving . . . 49

2.3 Ordeningsconcepten . . . 50

2.4 Risico voorkeuren . . . 51

2.5 Esscher Transformatie . . . 53

2.6 Optimale payoffs . . . 56

2.7 Illustratie . . . 62

2.7.1 Geometrisch Gemiddelde. . . 62

2.7.2 Klikfondsen. . . 65

2.8 Besluit . . . 67

Besluit 68 Bibliografie 70 Trefwoordenregister 74 Bijlagen 74 A Toepassen van het Lemma van Itˆo 74 B Enkele berekeningen 75 B.1 Verwachtingswaarde van de return . . . 75

B.2 Variantie van de return . . . 76

C Buy-and-hold strategie 77 C.1 Berekening marktportefeuille . . . 77

C.1.1 Manueel. . . 77

C.1.2 Software . . . 78

C.2 Berekening drift en volatiliteitswaarde van de marktportefeuille. . . 79

Inleiding

We gaan vanuit het standpunt van beleggers optimale financi¨ele producten bestuderen. Cox &

Leland [6], Dybvig [10][11], Vanduffel et al. [22][26] en Bernard & Boyle [3] hebben hier allen onderzoek naar gedaan.

Door gebruik te maken van technieken uit de stochastische controle theorie toonden Cox &

Leland aan dat in ´e´en-dimensionale Black-Scholes markten de effici¨entie van een payoff voor risicoaverse beslissingsnemers gelinkt is aan de eigenschap van pad-onafhankelijk zijn.

Dybvig kon dit resultaat uitbreiden tot complete ´e´en-dimensionale markten. Niet alleen toonde hij dit aan voor risicoaverse belissingsnemers, maar hij veralgemeende dit resultaat tot winst- zoekende beleggers. Het sleutelresultaat lag bij hem in het feit dat onder alle single-instrument payoffs met dezelfde finale rijkdomverdeling, er ´e´en pad-onafhankelijke payoff is die een strikt lagere kost zal hebben dan al de rest. Alle winstzoekende beleggers zullen uiteindelijk deze laat- ste payoff verkiezen.

Ook deden Bernard en Boyle hier recent onderzoek naar. Ze bewezen een bepaalde resultaat en konden hieruit concluderen dat effici¨ente payoffs, in algemene ´e´en-dimensionale markten, pad-onafhankelijk zijn.

Maar de resultaten die tot dusver in de literatuur verschenen waren enkel van toepassing voor

´e´en-dimensionale markten. Dit had tot gevolg dat de risicovolle payoffs single-instrumenten waren. Daarom hebben Vanduffel et al. [22] een alternatieve weg gebruikt om het werk van Cox & Leland, Dybvig en Bernard & Boyle uit te breiden tot meer-dimensionale Black-Scholes markten. Dit is het onderwerp van Hoofdstuk1.

Eerst schetsen we voor een zekere payoff de expliciete karakterisatie in een meer-dimensionale Black-Scholes markt en schakelen vervolgens over op een nieuwe payoff die zal verkozen worden door alle risicoaverse beslissingsnemers. Deze universi¨ele overheersende payoff kan ge¨ınterpreteerd worden als een Europese pad-onafhankelijke optie met als onderliggende waarde de zogenoemde marktportefeuille.

Daarna leiden we voor een gegeven risicoaverse beslissingsnemer expliciet de optimale pad- onafhankelijke payoff af.

Vervolgens analyseren we de effici¨entie van de buy-and-hold strategie. We tonen aan dat de buy-and-hold strategie overheerst kan worden door een portefeuille van power opties met een uitoefenprijs gelijk aan nul.

Hoofdstuk1is dan ook als volgt gestructureerd. We starten met het beschrijven van een meer- dimensionale Black-Scholes markt. Daarna geven we een inleiding over de constant mix strate- gie.Vervolgens zetten we in paragraaf 3 een stap achteruit en bespreken we de mean-variance optimalisatie methode in een markt waar de returns normaal verdeeld zijn voor het ´e´en-periode model. Dit doen we om in de volgende paragraaf de marktportefeuille af te leiden. Daarna geven we in het kort de definitie van de Sharp ratio. In paragraaf 6 gaan we de effici¨entie van pay- offs analyseren. Tenslotte illustreren we nog in paragraaf 7 de theoretische resultaten door het bestuderen van de buy-and-hold strategie. En we be¨eindigen dit hoofdstuk met een besluit.

In Hoofstuk2leveren we vervolgens een verhaal en een simpelere bewijs voor het Cox & Leland resultaat en breiden het uit tot algemene, niet noodzakelijk complete, ´e´en-dimensionale L´evy markten. Hiervoor baseren we ons op Vanduffel et al. [26].

Veronderstellend dat deze ´e´en-dimensionale L´evy markten de Esscher prijszettingsregels ge- bruiken, tonen we aan dat voor de payoff van een zeker pad-afhankelijk single-instrument men een pad-onafhankelijk alternatief kan construeren dat zal verkozen worden door alle risicoaverse beslissingsnemers.

Meer specifiek tonen we aan dat voor algemene L´evy markten pad-onafhankelijke payoffs continu verkozen zullen worden door risicoaverse beslissingsnemers zolang de arbitragevrije prijszetting gebasseerd is op de Esscher transformatie voor het genereren van een equivalente martingaalmaat.

Verder zullen we aantonen dat in een lichtjes aangepaste markt, risicoaverse beleggers altijd zullen opteren voor pad-onafhankelijke payoffs die stijgend zijn met de onderliggende instru- mentwaarde. Dit is namelijk een resultaat dat gerelateerd is aan eerdere resultaten van Dybvig.

Hij had dit echter aangetoond in complete markten.

Van hieruit verstrekken we een bewijs dat pad-afhankelijke payoffs niet zullen verkozen worden door beslissingsnemers met een vaste investeringshorizon, maar dat ze in plaats daarvan pad-onafhankelijke structuren kopen. Bijvoorbeeld, klikfondsen en andere gestructureerde pro- ducten, die een kapitaalgarantie combineren met pad-afhankelijke opties om voordeel te halen uit een stijgende stockmarket, zijn niet echt van belang voor investeerders.

Hoofdstuk2is als volgt gestructureerd. We starten met een korte inleiding over L´evy processen en met het beschrijven van een L´evy markt. Daarna geven we enkele belangrijke ordeningscon- cepten, die heel interessant zijn omdat ze gerelateerd kunnen worden aan de theorie¨en van beslissingsnemers. Vervolgens bespreken we risico voorkeuren van beslissingsnemers. En we bespreken ook de Esscher transformatie als een hulpmiddel om arbitragevrije prijszetting neer te zetten. In de paragraaf 6 bewijzen we de optimaliteit van pad-onafhankelijke investeringsstrate- gie¨en voor L´evy processen. Ook tonen we aan dat een optimale pad-onafhankelijke payoff in waarde stijgend is met het onderliggende instrument. Tenslotte geven we een voorbeeld dat expliciet een controle toestaat van ons eerder gevonden resultaat en leveren we een numerieke illustratie. Ook dit hoofdstuk be¨eindigen we met een conclusie.

Tot slot volgt er ook nog een algemene besluit over de twee hoofdstukken.

Hoofdstuk 1

Black-Scholes Markten

Vanuit het standpunt van beleggers gaan we de effici¨entie van financi¨ele producten analyseren.

Er bestaan namelijk verscheidene producten die op de finani¨ele markt worden verhandeld. Wij gaan voor een gegeven product opzoek naar een betere effici¨entere product. Daarom gaan we alle bestaande producten niet in detail bespreken, maar verwijzen we naar Hull [18].

Verder gaan we ons in dit hoofdstuk baseren op de theorie van Vanduffel et al. [22] en beperken we ons tot Black-Scholes markten. Dit zijn markten waarbij de logreturns¹van de instrumenten normaal verdeeld zijn.

We weten dat de payoff²van een financieel product zal afhangen van de dynamische prijsprocessen {Sⁱ(t), t ≥ 0} van de onderliggende instrumenten (i = 1, 2, . . . , m) die beschikbaar zijn op de financi¨ele markt. Deze laatste is uitgerust met een statistische kansmaatP.

Concreet veronderstellen wij dus dat elk product een niet-negatieve payoff H_T op tijdstip t = T gaat leveren gegeven door:

H_T = h(Sⁱ(t)|0 < t ≤ T ; i = 1, 2, . . . , m) (1.1) met de functie x → h(x) zodat E_P[H_T] bestaat, waarbij E_Pde verwachtingswaarde ten opzichte van deP-maat is.

Wanneer m = 1 spreken wij over een ´e´en-dimensionale financi¨ele markt waar slechts single- instrument payoffs beschikbaar zijn. Bij m > 1 spreken wij over een meer-dimensionale

1Return is de Engelse term voor rendement.

2Payoff is de Engelse term voor de waarde op vervaldag.

financi¨ele markt.

Vervolgens noemen we H_T pad-onafhankelijk, wanneer H_T enkel afhangt van de finale waarde Sⁱ(T ) van de onderliggende instrumenten (i = 1, 2, . . . , m). In het andere geval, noemen we H_T pad-afhankelijk.

Ook veronderstellen we altijd dat beleggers winstzoekend zijn. We noemen een belegger winst- zoekend als zijn nutsfunctie strikt stijgend is. Deze beleggers zullen dus altijd meer verkiezen, boven minder.

We maken ook de aanname dat consumptie enkel aan het einde van de tijdshorizon zal gebeuren en niet in tussentijden. Dus enkel de finale rijkdomverdeling is belangrijk voor een investeerder.

Tenslotte noemen we winstzoekende beleggers die bij gelijke gemiddelden een vast inkomen verkiezen boven een random inkomen risicoavers of risicoafkerig. Deze investeerders willen dus het risico van hun beleggingen beperken. Ze worden ook gekenmerkt door een concave nutsfunctie waardoor het marginale nut zal afnemen bij toenemende rijkdom. Voor dergelijke beleggers zal ook het nut van een bijkomende eenheid rijkdom kleiner worden naarmate ze over meer middelen beschikken. [8, pagina 58]

We defini¨eren equivalent een winstzoekende en risicoaverse beslissingsnemer.

Definitie 1.0.1 (Winstzoekende Beslissingsnemer). [22, pagina 22]

We noemen een beslissingsnemer winstzoekend indien zijn nutsfuntie u(·) strikt stijgend is.

Definitie 1.0.2 (Risicoaverse Beslissingsnemer). [22, pagina 22]

We noemen een beslissingsnemer risicoavers of risicoafkerig indien zijn nutsfunctie u(·) niet- dalend en concaaf is.

Voor we beginnen met de beschrijving van een Black-Scholes markt, willen we nog eerst de definitie van een Brownse beweging vermelden, gevolgd door een relatief hiervan, namelijk de geometrische Brownse beweging.

Definitie 1.0.3 (Brownse Beweging). [7, pagina 78] [13, Hoofdstuk 3, pagina 3]

Een (standaard) Brownse beweging is een stochastisch proces {B(t) : t ≥ 0} op een kansruimte (Ω, F ,P) dat aan de volgende voorwaarden voldoet:

(i) P{B(0) = 0} = 1

(ii) ∀ 0 = t₀ < t₁ < t₂ < . . . < t_k < ∞ geldt: B(t_j) − B(t_j−1) met 1 ≤ j ≤ k zijn onafhankelijk.

(iii) ∀ 0 ≤ s < t < ∞ geldt: B(t) − B(s) zijn normaal verdeeld met verwachtingswaarde 0 en variantie t − s.

(iv) t → B(t)(ω) zijn bijna overal ω continu.

Een Brownse beweging wordt ook vaak een Wienerproces genoemd.

Definitie 1.0.4 (Geometrische Brownse Beweging). [2, pagina 41]

Een geometrische Brownse beweging is een stochastisch proces {S(t) : t ≥ 0} op een kansruimte (Ω, F ,P) als er geldt dat:

∀t : S(t) = S(0) exp



(µ − 1

2σ²)t + σB(t)



waarbij {B(t), t ≥ 0} een (standaard) Brownse beweging is met µ ∈ R de drift en σ ∈ R⁺0 de volatiliteitsparameter.

1.1 Beschrijving

In deze paragraaf gaan we een meer-dimensionale Black-Scholes markt beschrijven. We ver- onderstellen dat zo een markt wrijvingsloos is en dat we continu handel kunnen drijven, met andere woorden we kunnen elk moment zoveel als we maar willen kopen en/of verkopen aan

´e´enzelfde prijs. Ook is er een constante continue samengestelde risicovrije intrest r > 0. Er zijn geen taksen, geen transactiekosten, geen dividenden, geen beperkingen om te lenen of short sales en de m onderliggende risicovolle instrumenten zijn perfect deelbaar.

Een Black-Scholes markt is ook compleet. We defini¨eren een complete markt als volgt:

Definitie 1.1.1 (Complete Markt). [7, pagina 28]

Een markt is compleet als men met een goed gekozen portefeuille op tijdstip 0, om het even welke rijkdom op tijdstip 1 kan bekomen.

Vervolgens nemen we Sⁱ(0) > 0 de huidige prijs, op tijdstip 0, van een risicovol instrument

i, en Sⁱ(t) de prijs op tijdstip t. Aangezien we veronderstellen dat de prijsprocessen Sⁱ(t) (i = 1, 2, . . . , m) geometrische Brownse bewegingen (Definitie 1.0.4) zijn, volgt er onmid- dellijk, onder de P-maat, dat deze vertegenwoordigd worden door de volgende stochastische differentiaal vergelijkingen:

dSⁱ(t)

Sⁱ(t) = µ_idt + σ_idBⁱ(t), i = 1, 2, . . . , m. (1.2)

De m-dimensionale vector µ^T = (µ1 . . . µm) noemen we de drift vector van de risicovolle instrumenten. En we gaan aannemen dat µ 6= r1, met 1^T = (1 1 . . . 1). De reden hiervoor is dat anders de effici¨entste belegging een risicoloos instrument zou zijn, en we ons analyse dus meteen kunnen be¨eindigen.

Verder zijn de processen {Bⁱ(t), t > 0} (i = 1, 2, . . . , m) (gecorreleerde) standaard Brownse bewegingen (Definitie1.0.3), met een correlatiecoeffici¨ent ρ_ij, die als volgt gegeven wordt:

ρ_ij = Corr[Bⁱ(t), B^j(t + s)], ∀ t, s ≥ 0.

En we defini¨eren een (m × m) variantie-covariantie matrix Σ als

Σ =















σ₁² σ₁₂ . . . σ_1m σ₂₁ σ²₂ . . . σ_2m ... ... . .. ... σ_m1 σ_m2 . . . σ_m²















met σ_ij = ρ_ijσ_iσ_j. We weten ook dat de eigenschappen σ_ij = σ_jien σ_ii= σ_i²gelden [12, pagina 45]. Daarnaast veronderstellen we dat Σ strikt positief definiet is.

Vervolgens noteren we

C^1,2([0, T ] ×R, R) = {continue functies f(t, x) van klasse C¹ m.b.t. t en klasse C² m.b.t. x}

en vermelden we het lemma van Itˆo.

Lemma 1.1.2 (Lemma van Itˆo). [7, pagina 82-83]

Stel f ∈ C^1,2([0, T ] ×R, R) en X een Itˆo proces

dX(t) = µ(t)dt + σ(t)dB(t).

Stel Y (t) = f (t, X(t)). Dan is Y een Itˆo proces met dY (t) = ∂f

∂t(t, X(t))dt +∂f

∂x(t, X(t))µ(t)dt + ∂f

∂x(t, X(t))σ(t)dB(t) + 1 2

∂²f

∂σ²(t, X(t))σ²(t)dt.

Hetzij in verkorte vorm

dY (t) = ∂f

∂tdt + ∂f

∂xdX(t) + 1 2

∂²f

∂x²σ²dt.

Wanneer we gebruik maken van deze lemma, komen we tot het besluit dat de oplossing van vergelijking (1.2) gegeven wordt door

Sⁱ(t) = Sⁱ(0) exp(Xⁱ(t)), t > 0, (1.3) met

Xⁱ(t) =

 µ_i− 1

2σ²_i



t + σ_iBⁱ(t). (1.4)

De uitwerking is te vinden in BijlageA.

We beweren nu dat de elementen van de matrix Σ de covarianties tussen de jaarlijkse logreturns Xⁱ(k) − Xⁱ(k − 1) van de verschillende m instrumenten (i = 1, 2, . . . , m; k ∈N0) beschrijven.

Om dit te bewijzen moeten we dus aantonen dat ∀k ∈N0 en i = 1, 2, . . . , m geldt dat Cov[Xⁱ(k) − Xⁱ(k − 1) , X^j(k) − X^j(k − 1)] = σ_ij.

En deze gelijkheid klopt inderdaad, want:

Cov[Xⁱ(k) − Xⁱ(k − 1) , X^j(k) − X^j(k − 1)]

= Cov[(µ_i− 1

2σ²)k + σ_iBⁱ(k) − (µ_i−1

2σ_i²)(k − 1) − σ_iBⁱ(k − 1) , (µ_j − 1

2σ²)k + σ_jB^j(k) − (µ_j −1

2σ_j²)(k − 1) − σ_jB^j(k − 1)]

= Cov[σ_iBⁱ(k) − σ_iBⁱ(k − 1) , σ_jB^j(k) − σ_jB^j(k − 1)]

= σ_iσ_j Cov[Bⁱ(k) − Bⁱ(k − 1) , B^j(k) − B^j(k − 1)]

= σ_iσ_j Cov[Bⁱ(1) , B^j(1)]

= σ_iσ_j Corr[Bⁱ(1) , B^j(1)] · 1 · 1

= σ_iσ_j ρ_ij

= σ_ij

Alvorens verder te gaan met de beschrijving van een meer-dimensionale Black-Scholes markt, geven we eerst nog de definitie van een filtratie en een martingaal.

Definitie 1.1.3 (Filtratie). [13, pagina 12]

We noemen een klasse Ft, t ≥ 0, van deel-σ-algebra’s van F een filtratie indien s ≤ t ⇒ Fs ⊂ Ft.

Definitie 1.1.4 (Martingaal). [13, pagina 12]

Een stochastisch proces {X(t) : t ≥ 0} heet een martingaal indien er een filtratie {F_t ≥ 0}

bestaat zodanig dat

(i) X(t) is F_t-meetbaar, t ≥ 0 (ii) E[|X(t)|] < ∞, t ≥ 0

(iii) E[X(t)|F_s] = X(s) b.o., s ≤ t

Als de paden t → X(t)(ω) bijna overal continu zijn, spreekt men van een continue martingaal.

We weten dat voor prijszettingdoeleinden een nieuwe equivalente kansmaat, die we door Q zullen noteren, nodig is. Deze gaan we zo defini¨eren zodat de prijsprocessen {e^−rtSⁱ(t), t ≥ 0}

(i = 1, 2, . . . , m) martingalen (Definitie1.1.4) zijn, welk impliceert dat E_Q[e^−rtSⁱ(t)] = Sⁱ(0), t ≥ 0, i = 1, 2, . . . , m.

Er volgt, onder de Q-maat, dat de prijsprocessen gerepresenteerd worden door de volgende stochastische differentiaal vergelijkingen:

dSⁱ(t)

Sⁱ(t) = rdt + σ_idB_∗ⁱ(t), i = 1, 2, . . . , m (1.5) met B_∗ⁱ(t) (0 ≤ t ≤ T ; i = 1, 2, . . . , m) standaard Brownse bewegingen met dezelfde cor- relatieco¨effici¨ent ρ_ij als onder de P-maat. Met andere woorden kunnen we zeggen dat onder de Q-maat de prijsprocessen van dezelfde soort zijn als onder de P-maat, maar dat het enige verschil de waarde voor de drift parameters is, aangezien de risicovolle instrumenten onder de

Q-maat een gemiddelde risicovrije rente r opbrengen.

Er volgt ook dat de prijs van H_T, genoteerd door C(H_T), gegeven wordt door

C(H_T) = e^−rTE_Q[H_T], (1.6)

waar E_Qreflecteert dat de verwachtingswaarde genomen wordt ten opzichte van deQ-maat.

We weten ook dat de afwezigheid van arbitrage³mogelijkheden essentieel is voor het berekenen van de prijs C(H_T).

1.2 Constant Mix strategie

We gaan eerst de definitie van een constant mix strategie geven. Deze gaan we later nodig hebben om de optimale strategie te kunnen karakteriseren.

Neem π(t)^T = (π₁(t), π₂(t), . . . , π_m(t)) de vector die het investeringsproces beschrijft, met π_i(t) de fractie van de rijkdom die ge¨ınvesteerd wordt in het risicovolle instrument i op tijdstip t. De residueel proportie 1 −Pm

i=1π_i(t) wordt ge¨ınvesteerd in het risicovrije instrument met een groei volgens de constante continue samengestelde intrest r of indien deze proportie negatief is, financiert men de investeringen in de risicovolle instrumenten.

We spreken van een constant mix strategie wanneer de fracties ge¨ınvesteerd in de verschillende instrumenten constant over de tijd worden verondersteld te blijven. Dit betekent dus dat als de prijs van een instrument random over de tijd evalueert, we verplicht zijn te kopen en/of te verkopen op elk tijdstip om de fracties constant te houden. We krijgen dus daarom een constante portefeuille π(t) = π = (π1, π₂, . . . , π_m)^T die de volledige portefeuille samenstelling beschrijft.

Er volgt onder de P-maat dat het dynamische prijsproces S^π(t) van het product dat is gecon-

3Arbitrage is een synoniem voor risicovrije winst [5, pagina 4]. Men gaat door het combineren van een aantal transacties profiteren van een onevenwichtigheid op verschillende markten. Zo kan men in geen enkel scenario een verlies op lopen, daaraantegen heeft men in sommige scenario’s wel kans op winst.

strueerd overstemmend met een niet-nul vector π, gegeven wordt door:

dS^π(t) S(t) =

m

X

i=1

π_idSⁱ(t)

Sⁱ(t) + 1 −

m

X

i=1

π_i

! rdt

=

m

X

i=1

π_i(µ_idt + σ_idBⁱ(t)) + rdt −

m

X

i=1

π_irdt

=

m

X

i=1

π_i(µ_i− r)dt +

m

X

i=1

π_iσ_idBⁱ(t) + rdt

=

m

X

i=i

π_i(µ_i− r) + r

! dt +

m

X

i=1

π_iσ_idBⁱ(t)

We gaan deze laatste vergelijking herschrijven door het volgende:

dS^π(t)

S(t) = µ(π)dt + σ(π)dB^π(t) (1.7)

met µ(π) en σ²(π) gegeven door

µ(π) = r + π^T · (µ − r1) (1.8)

en

σ²(π) = π^T · Σ · π (1.9)

respectievelijk.

En we defini¨eren B^π(τ ), voor een niet-nul vector π, door:

B^π(t) = 1

√

π^T · Σ · π

m

X

i=1

π_iσ_iBⁱ(t) (1.10)

Dit geeft ons de volgende stelling:

Stelling 1.2.1. B^π(τ ) is een Brownse beweging.

Bewijs We moeten de vier voorwaarden in definitie1.0.3nagaan.

We zien meteen dat (i), (ii) en (iv) triviaal aan te tonen zijn. Vervolgens is het ook triviaal dat B^π(t) normaal verdeeld is, aangezien Bⁱ(t) (i = 1, 2, . . . , m) (multivariaat) normaal verdeeld zijn. We moeten dus enkel de juistheid van de parameters nog aantonen.

We gaan eerst na dat de verwachtingswaarde van B^π(τ ) gelijk is aan nul.

E[B^π(τ )] = E

"

√ 1

π^T · Σ · π

m

X

i=1

π_iσ_iBⁱ(τ )

#

= 1

√

π^T · Σ · π

m

X

i=1

π_iσ_iE[Bⁱ(τ )]

= 1

√π^T · Σ · π

m

X

i=1

π_iσ_i0

= 0

Vervolgens tonen we aan dat de variantie van B^π(τ ) gelijk is aan τ . V ar(B^π(τ )) = V ar

"

√ 1

π^T · Σ · π

m

X

i=1

π_iσ_iBⁱ(τ )

#

= 1

π^T · Σ · πV ar

" _m X

i=1

π_iσ_iBⁱ(τ )

#

(∗)= 1

π^T · Σ · πV ar

" _m X

i=1

π_iXⁱ(τ )

#

= 1

π^T · Σ · π(π₁ π₂ . . . π_m) · Στ · (π₁ π₂ . . . π_m)^T

= τ 1

π^T · Σ · π(π^T · Σ · π)

= τ

Stap^(∗)geldt omdat Xⁱ(τ ) = (µ_i− ₂¹σ_i²)τ + σ_iBⁱ(τ ).

En dit be¨eindigt het bewijs. 

Wanneer we weer gebruik maken van het lemma van Itˆo 1.1.2 en vergelijking (1.7) oplossen krijgen we

S^π(t) = S^π(0) exp(X^π(t)), t > 0, (1.11) met

X^π(t) =



µ(π) −1 2σ²(π)



t + σ(π)B^π(t). (1.12)

Ten slotte, noteren we dat onder deQ-maat geldt dat dS^π(t)

S(t) = rdt + σ(π)dB_∗^π(t), (1.13)

waar B_∗^π(t) een standaard Brownse beweging is gegeven door B_∗^π(τ ) = 1

√

π^T · Σ · π

m

X

i=1

π_iσ_iB_∗ⁱ(τ ).

Dit is gelijkaardig aan te tonen als stelling1.2.1.

De oplossing van (1.13) wordt weer door gebruik te maken van het lemma van Itˆo1.1.2gegeven door:

S^π(t) = S^π(0) exp(X^π(t)), t > 0, met

X^π(t) =

 r − 1

2σ²(π)



t + σ(π)B^π_∗(t). (1.14)

1.3 Mean-Variance Optimalisatie

Voor wij nu verder op zoek kunnen gaan naar een optimale payoff in een Black-Scholes markt, dienen wij eerst een stap terug te zetten naar een markt waar wij veronderstellen dat de returns normaal verdeeld zijn. In deze markt gaan we het ´e´en-periode model⁴bespreken. De reden hier- voor is dat we met behulp van deze ´e´en-periode model de mean-variance optimalisatie willen illustreren. We baseren ons op Vanduffel [27].

De mean-variance optimalisatie is een techniek om optimale investeringsbeslissingen te nemen.

Harry M. Markowitz heeft in 1990 de nobelprijs in de economie ontvangen voor deze theorie [9, pagina 12]. We noemen deze theorie ook wel de asset mix studie of ook nog de credit Risk Management. Deze optimalisatietechniek heeft ook nog andere toepassingen zoals de waardering van instrumenten (CAPM) en de performantiemeting, die wij hier niet zullen bespreken.

4Een ´e´en-periode model is een model waarbij we ´e´en periode lang beleggen, dus van tijdstip 0 tot tijdstip 1.

We starten met de veronderstelling dat een investeerder enkel activa en geen passiva heeft en dat hij deze activa zal beleggen in een portefeuille met m risicovolle instrumenten en ´e´en risi- coloos instrument. We krijgen dan de portefeuille α^T = (α₁, α₂, . . . , α_m) die de volledige samenstelling beschrijft met αi de proportie belegd aan het begin van de periode in een risicovol instrument i en 1 −Pm

i=1αi de proportie risicoloos belegd. Hierna handelt men ´e´en periode lang niet meer.

De stochastische return van deze portefeuille α wordt gegeven door X_α =

m

X

i=1

α_iX_i+ (1 −

m

X

i=1

α_i)r.

Vervolgens kunnen we de verwachtingswaarde van X_αberekenen:

E[X_α] := µ(α) (1.15)

= r + α^T(µ − r1) (1.16)

We merken weer meteen op dat we moeten aannemen dat µ 6= r1, anders heeft mean-variance optimalisatie geen zin.

Ook kunnen we nu de variantie van X_αberekenen:

V ar(X_α) := σ²(α) (1.17)

= α^T · Σ · α > 0 (1.18)

en dit voor alle α 6= 0 met 0^T = (0 0 . . . 0).

Aangezien V ar(Xα) > 0, betekent dit dat Σ strikt positief definiet moet zijn.

De berekeningen van µ(α) en σ²(α) kunnen terug gevonden worden in BijlageB.

We vragen ons nu af hoe we X_α zouden moeten kiezen om een optimale portefeuille te kun- nen bekomen. We willen natuurlijk E[Xα] maximaliseren terwijl we V ar(X_α) zo minimaal mogelijk willen houden. Het maximaliseren van E[Xα] betekent dat we alles moeten beleggen in het instrument met de hoogste verwachtingswaarde. Daaraantegen betekent het minimali- seren van V ar(X_α) dat we alles moeten beleggen in het risicoloos instrument. Maar dit kan niet

samen. We krijgen dus een tegenstrijdigheid.

De mean-variance optimalisatie van Markowitz geeft hier een oplossing voor. Het idee is om een optimaal evenwicht te vinden tussen risico en return, d.w.z. dat men een optimale in- vesteringsstrategie gaat vinden onder twee in conflict zijnde verwachtingen, namelijk een hoge verwachtte return ten opzichte van een lage risico van de beleggingsportefeuille.

Hiervoor gaat men eerst het gewenste niveau van de variantie bepalen en daarna α zoeken zo- dat E[X_α] maximaal wordt. Dus met andere woorden voor een gegeven σ²(α) = σ² gaan we E[X_α] maximaliseren. De σ² wordt door elke belegger individueel gekozen, dit reflecteert risk tolerance.

We gaan dus de volgende optimalisatieprobleem oplossen

maxα µ(α) gegeven dat σ²(α) = σ² voor een gegeven σ ∈R⁺0.

We maken hiervoor gebruik van de methode van de Mutiplicatoren van Lagrange, die hieronder gegeven wordt:

Methode 1.3.1 (Multiplicatoren van Lagrange).

De extrema van een functie f (x₁, . . . , x_n) gegeven de randvoorwaarden g_i(x₁, . . . , x_n) = c_i (i = 1, 2, . . . , m) bereken je door de extrema te bepalen van

f (x₁, . . . , x_n) −

" _m X

i=1

δ_ig_i(x₁, . . . , x_n) − c_i

#

met δ_i (i = 1, . . . , m) de Lagrange multiplicator.

We passen nu deze methode toe. En krijgen max

α,δ µ(α) − δ(σ²(α) − σ²) met δ de Lagrange multiplicator.

De optimale portefeuille wordt dan gegeven door:

α = 1

2βΣ⁻¹· (µ − r1)

met β zodat α^T · Σ · α = σ² (1.19)

We noteren zo een optimale portefeuille α voortaan met α^σ.

Dus moet er voor deze portefeuille gelden dat ((α^σ)^T · Σ · (α^σ)) = σ². Dit geeft ons het volgende resultaat:

 1

2βΣ⁻¹· (µ − r1)

T

· Σ · 1

2βΣ⁻¹· (µ − r1)



= σ² (1.20)

⇔ 1 2β

2

(µ − r1)^T · (Σ⁻¹)^T
· Σ · Σ⁻¹· (µ − r1)
= σ² (1.21)

⇔ 1 2β

2

(µ − r1)^T · (Σ⁻¹) · (Σ) · (Σ⁻¹) · (µ − r1) = σ² (1.22)

⇔ 1 2β

2

(µ − r1)^T · (Σ⁻¹) · (µ − r1) = σ² (1.23)

⇔ 1

2β = + σ

p(µ − r1)^T · Σ⁻¹· (µ − r1) (1.24)

Dus de optimale portefeuille voor een ´e´en-periode model ziet er als volgt uit:

α^σ = σ

p(µ − r1)^T · Σ⁻¹· (µ − r1) Σ⁻¹· (µ − r1)

We merken op dat de optimale portefeuille enkel van elkaar verschillen met betrekking tot de proportie

σ

p(µ − r1)^T · Σ⁻¹· (µ − r1).

We stellen ons nu de vraag of er een portefeuille α^σ zou bestaan zodat Pm

i=1α^σ_i = 1. Uit vergelijking (1.19) en (1.24) weten we dat

α^σ = 1

2βΣ⁻¹· (µ − r1) met 1 2β > 0.

Om de berekeningen te vereenvoudigen voeren we eerst de volgende notatie in:

Σ⁻¹· (µ − r1) :=









₁ ...

_m







 .

We krijgen dus met de nieuwe ingevoerde notatie dat

α^σ = 1 2β









₁ ...

m







 .

En vervolgens zijn we op zoek naar een waarde voor _2β¹ zodatPm

i=1α^σ_i = 1 geldt.

Dit betekent dat we _2β¹ zodanig moeten kiezen zodat _2β¹ (₁ + ... + _m) = 1. Of anders geno- teerd zou er moeten gelden dat:

1

2α = 1

₁+ ... + _m.

Aangezien we uit vergelijking (1.24) weten dat _2α¹ > 0, heeft dit tot gevolg dat

₁+ ... + _m > 0 of ook:

(1, ..., 1)(₁, ..., _m)^T > 0 Ten slotte kunnen we dus besluiten dat de ongelijkheid

1^T · Σ⁻¹· (µ − r1) > 0 moet gelden.

We kunnen concluderen dat er een mean-variance effici¨ente portefeuille bestaat die enkel risico- vol belegt als en slechts als

1^T · Σ⁻¹· (µ − r1) > 0.

Deze laatste ongelijkheid heeft ook een economische interpretatie, die we op het einde van deze paragraaf zullen uitleggen.

We noteren tenslotte deze portefeuille door α^∗ en noemen het de marktportefeuille.

α^∗ = Σ⁻¹· (µ − r1) 1^T · Σ⁻¹· (µ − r1)

Voorbeeld

Veronderstel dat we ´e´en risicoloos instrument met een zeker jaarlijks rendement r = 3% hebben, en twee risicovolle instrumenten met een jaarlijks stochastisch rendement X₁ en resp. X₂. We weten ook dat E[X₁] = 7%, E[X₂] = 6%, V ar[X₁] = 1% en V ar[X₂] = 1%. En de correlatie tussen X1en X2 is 0%, met andere woorden Corr[X1, X₂] = 0%.

Vervolgens vragen we ons af welk optimale portefeuille we zouden krijgen indien we in de twee risicovolle instrumenten beleggen.

Om op deze vraag een antwoord te vinden beginnen we met het noteren van

Σ = 1% 0%

0% 1%

!

, µ = 7%

6%

!

, µ − r1 = 4%

3%

!

We kunnen (1.19) herschrijven tot

Σα^∗ = 1

2β(µ − r1).

Wanneer we in deze laatste vergelijking ons gegevens invullen krijgen we:

1% 0%

0% 1%

!

· α₁ α₂

!

= 1 2β

4%

3%

!

⇔













 α₁ 100 = 4

200 · 1 β α₂

100 = 3 200 · 1

β

⇔















α₁ = 2 β

α₂ = 3 2β

We weten ook dat er moet gelden dat α₁+ α₂ = 1. Dit geeft ons:

2 β + 3

2β = 1

en dus

7 2β = 1.

En we kunnen besluiten dat β = ⁷₂.

De gezochte portefeuille wordt dus gegeven door:

α^∗ =

4 7 3 7

!

Vervolgens gaan we op zoek naar een portefeuille met een minimale variantie die we weer enkel beleggen in risicovolle instrumenten. Deze portefeuille gaan we de minimale-variantie- portefeuille noemen en noteren door α^(m).

De optimalisatieprobleem voor zo een portefeuille wordt dan gegeven door:

minα α^T · Σ · α gegeven dat α^T1 = 1.

Weer gaan we dit oplossen met de methode van de Multiplicatoren van Lagrange1.3.1. Hierom krijgen we

min

α,δ (α^T · Σ · α) − δ(α^T1 − 1) met δ de muliplicator van Lagrange.

Dit oplossen geeft ons

2Σ · α − β1 = 0

⇔ α = β

2Σ⁻¹· 1 met β zondanig datPm

i=1α_i = 1.

Vervolgens kunnen we gelijkaardig als de afleiding van de marktportefeuille berekenen dat de minimale-variantie-portefeuille gegeven wordt door

α^(m) = Σ⁻¹· 1 1^T · Σ⁻¹· 1.

Vervolgens vragen we ons ook af wat de verwachtingswaarde van X_α(m) is.

E[X_α(m)] := µ(α^(m))

= r + (α^(m))^T · (µ − r1)

= r +

 Σ⁻¹· 1 1^T · Σ⁻¹· 1

^T

· (µ − r1)

= r + 1 · (Σ⁻¹)^T

(1^T · Σ⁻¹· 1)· (µ − r1)

= r +1^T · Σ⁻¹· (µ − r1) 1^T · Σ⁻¹· 1

= r +1^T · Σ⁻¹· µ

1 · Σ⁻¹· 1 − r1^T · Σ⁻¹· 1 1^T · Σ⁻¹· 1

= 1^T · Σ⁻¹· µ 1^T · Σ · 1 Verder, beweren we dat:

µ(α^(m)) > r ⇔ 1^T · Σ⁻¹· (µ − r1) > 0.

Want economisch gezien zou de verwachtingswaarde van de minimale-variantie-portefeuille inderdaad hoger moeten zijn dan de risicovrije rente r.

We tonen tenslotte aan dat deze bewering klopt.

µ(α^(m)) > r

⇔ 1^T · Σ⁻¹· µ 1^T · Σ⁻¹· 1 > r

⇔

1^T · Σ⁻¹· µ > (1^T · Σ⁻¹· r1)

⇔

1^T · Σ⁻¹· (µ − r1) > 0

⇔ α^(t) bestaat

1.4 Marktportefeuille

Voor we nu terug verder gaan in een meer-dimensionale Black-Scholes markt, merken we op dat de mean-variance optimalisatiemethode toegepast op een ´e´en-periode model zoals beschreven in de vorige paragraaf hetzelfde resultaat geeft voor de constant mix strategie in een Black-Scholes markt. Dit omdat het wiskundig volledig hetzelfde is.

We kunnen dus meteen zeggen dat, in het geval

1^T · Σ⁻¹· (µ − r1) > 0

geldt, de marktportefeuille, gekarakteriseerd door de vector π^∗, gegeven wordt door:

π^∗ = Σ⁻¹· (µ − r1)

1^T · Σ⁻¹· (µ − r1) (1.25)

Dit betekent dat π^∗de enige optimale effici¨ente constant mix portefeuille is dat volledig ge¨ınvesteerd wordt in de risicovolle instrumenten, met andere woorden π^∗ is in dit geval de enige oplossing van het zo genoemde mean-variance optimalisatieprobleem van het type:

maxπ µ(π) gegeven dat σ(π) = σ voor een gegeven σ ∈R⁺₀.

Om de minimale-variantie-portefeuille te kunnen vinden, dienen wij vervolgens het volgende optimalisatieprobleem op te lossen:

minπ σ(π) gegeven dat 1^T · π = 1 Dit geeft als resultaat de volgende portefeuille:

π^(m) = Σ⁻¹· 1 1^T · Σ⁻¹· 1

Deze portefeuille is dus de portefeuille met de laagste variantie en volledig risicovol belegd.

De hierbij horende drift vector wordt gegeven door:

µ(π^(m)) = 1^T · Σ⁻¹· µ 1^T · Σ⁻¹· 1

Daar economisch gezien de verwachtingswaarde van de minimale-variantie-portefeuille hoger zou moeten zijn dan de risicovrije rente r, geldt ook de volgende equivalantie:

µ(π^(m)) > r ⇔ 1^T · Σ⁻¹· (µ − r1) > 0

Verder kunnen we uit (1.8) en (1.9) berekenen dat µ(π^∗) en σ²(π^∗) gegeven worden door µ(π^∗) = r + (µ − r1)^T · Σ⁻¹· (µ − r1)

1^T · Σ⁻¹· (µ − r1) (1.26)

en

σ²(π^∗) = (µ − r1)^T · Σ⁻¹· (µ − r1)

(1^T · Σ⁻¹· (µ − r1))² (1.27) respectievelijk.

Vervolgens door gebruik te maken van (1.10) en (1.25), volgt er ook dat Covσ(π^∗)B^π∗(t), σ_iBⁱ(t) =

 Σ⁻¹· (µ − r1) 1^T · Σ⁻¹· (µ − r1)

^T

· Σ · 1ⁱ

!

t (1.28)

= µ_i− r

1^T · Σ⁻¹· (µ − r1)t (1.29) met 1ⁱ gebruikt voor de notatie van een m × 1 vector met waarde 1 in de i-de rij en nul op de andere plaatsen.

Voorbeeld

Veronderstel de volgende ´e´en-periode payoff H₁in een Black-Scholes markt H₁ = π₁e^X(1) + π₂e^X(2)

met 0 ≤ π_i ≤ 1 (i = 1, 2) en π₁+ π₂ = 1.

De random variabelen X⁽¹⁾en X⁽²⁾zijn normaal verdeelde logreturns, beiden met parameters µ en σ. We veronderstellen ook dat voor de correlatieco¨effici¨ent geldt dat 0 < ρ < 1 en dat we een risicovrije rente r hebben.

De vraag is nu, hoeveel we van ons budget zouden moeten investeren in de gegeven instrumenten, volgens de constant mix strategie om de effici¨ente mean-variance portefeuille te verkrijgen.

Hiervoor maken we gebruik van de vergelijking van de marktportefeuille die hieronder gegeven wordt.

π^∗ = Σ⁻¹· (µ − r1)

1^T · Σ⁻¹· (µ − r1) (1.30)

We hebben gegeven dat:

Σ =

"

σ² ρ σ² ρ σ² σ²

#

, µ =

"

µ µ

#

, r = r

En wanneer we nu deze gegevens invullen in vergelijking (1.30) krijgen we:

π^∗ = Σ⁻¹· (µ − r1) 1^T · Σ⁻¹· (µ − r1)

=

"

σ² ρσ² ρσ² σ²

#⁻¹

· "

µ µ

#

− r

"

1 1

#!

h 1 1

i·

"

σ² ρσ² ρσ² σ²

#⁻¹

· "

µ µ

#

− r

"

1 1

#!

(∗)=

1 σ⁴− ρ²σ⁴

"

σ² −ρσ²

−ρσ² σ²

#

·

"

µ − r µ − r

#

1 σ⁴− ρ²σ⁴

h 1 1

i·

"

σ² −ρσ²

−ρσ² σ²

#

·

"

µ − r µ − r

#

=

"

σ²(µ − r) − ρσ²(µ − r)

−ρσ²(µ − r) + σ²(µ − r)

#

σ²(µ − r) − ρσ²(µ − r) − ρσ²(µ − r) + σ²(µ − r)

=

"

σ²(µ − r) − ρσ²(µ − r) σ²(µ − r) − ρσ²(µ − r)

#

2σ²(µ − r) − ρσ²(µ − r)

=

"₁

2 1 2

#

In stap^(∗)gebruiken we de volgende eigenschap die we kennen uit de lineaire algebra:

Eigenschap 1.4.1. [23]

Voor een (2 × 2) matrix

A =

"

a b c d

#

wordt de inverse gegeven door:

A⁻¹ = 1

det(A)adj(A)

= 1

ad − bc

"

d −b

−c a

#

Ten slotte kunnen we besluiten dat we de helft van ons budget best kunnen investeren in instru- ment 1 en de andere helft in instrument 2.

Dit resultaat was te verwachten want de beide instrumenten hebben eenzelfde verwachtingswaarde en variantie.

1.5 Sharpe Ratio

We geven de definitie van de Sharpe ratio van een constant mix portefeuille. Deze wordt ook wel de marktprijs van risico genoemd.

Definitie 1.5.1.

Voor een gegeven niet-nul constant mix portefeuille π is de Sharpe ratio (notatie θ(π)) gelijk aan

θ(π) = µ(π) − r σ(π) .

Als we aannemen dat vergelijking 1^T · Σ⁻¹· (µ − r1) > 0 geldt, volgt er uit (1.26) en (1.27) dat θ(π^∗) = µ(π^∗) − r

σ(π^∗)

=

r + (µ − r1)^T · Σ⁻¹· (µ − r1) 1^T · Σ⁻¹· (µ − r1) − r s(µ − r1)^T · Σ⁻¹· (µ − r1)

(1^T · Σ⁻¹· (µ − r1))²

= (µ − r1)^T · Σ⁻¹· (µ − r1) p(µ − r1)^T · Σ⁻¹· (µ − r1)

= q

(µ − r1)^T · Σ⁻¹· (µ − r1)

> 0 (1.31)

We hebben dus een postieve Sharpe ratio indien de marktportefeuille bestaat.

1.6 Optimale payoffs

In deze paragraaf gaan we op zoek naar een optimale payoff in een Black-Scholes markt dat boven een initi¨ele payoff verkozen zal worden door alle risicoaverse beslissingsnemers.

Hiervoor veronderstellen we eerst de contitionele verwachtingswaarde E_P[H_T|S^π∗(T ) = s]. Dit kunnen we interpreteren als de P-gewogen gemiddelde van HT, gegeven dat de finale waarde S^π∗(T ) van de marktportefeuille π^∗ gelijk is aan s. Vervolgens door s te vari¨eren, observeren we de random variabele E_P[H_T|S^π∗(T )] welk in functie van S^π∗(T ) is. Vandaar dat de nieuwe gecre¨eerde payoff E_P[H_T|S^π∗(T )] pad-onafhankelijk is en het ge¨ınterpreteerd kan worden als een Europese optie⁵ met als onderliggende waarde de marktportefeuille π^∗.

5Een Europese optie is het recht om een financieel product (het onderliggende instrument) te kopen (long call optie) of te verkopen (long put optie) tegen een vooraf bepaalde prijs (uitoefenrpijs) op een vooraf bepaalde datum (expiratiedatum). .[7, pagina 1]

We gaan nu aantonen dat alle risicoaverse beslissingsnemers E_P[H_T|S^π∗(T )] zullen verkiezen boven de initi¨ele payoff H_T. Maar hiervoor hebben we eerst het volgende lemma nodig:

Lemma 1.6.1 (Invariantie van de conditionele verwachtingswaarde).

Er geldt dat E_P[H_T|S^π∗(T )] = E_Q[H_T|S^π∗(T )].

Voor we het bewijs van dit lemma geven, vermelden we eerst de definitie van een conditionele verwachtingswaarde die we kennen uit de kanstheorie. Daarnaast geven wij ook een eigenschap van multivariaat normale verdelingen.

Definitie 1.6.2 (Conditionele verwachtingswaarde). [12, pagina 49]

Zij X, Y stochastische variabelen die discreet of gezamenlijk continu zijn. Als E[|X|] < ∞ en y ∈ R zodanig is dat pY(y) > 0 (in het discrete geval) resp. f_Y(y) > 0 (in het continue geval) defini¨eren we de conditionele verwachtingswaarde van X gegeven Y = y door

E[X|Y = y] =









 X

x

xp_X|Y(x|y) (discreet geval)

∞

R

−∞

xf_X|Y(x|y)dx (continu geval)

Eigenschap 1.6.3 (Conditionele Multivariaat Normale Verdelingen). [17, pagina 225 - 226]

Als X en Y multivariaat normaal verdeeld zijn, dan geldt er dat (X|Y = y) ook multivariaat normaal verdeeld is met

E[X|Y = y] = E[X] + Cov[X, Y ]

V ar(Y ) (Y − E[Y ]) (1.32) en

V ar[X|Y = y] = (1 − ρ²)V ar(X) (1.33) met

ρ² = Corr²(X, Y ) = Cov²(X, Y )

V ar(X)V ar(Y ) (1.34)

Bewijs van Lemma 1.6.1 Door gebruik te maken van de hoger vermelde definitie van con- ditionele verwachtingswaarde1.6.2en van de vergelijkingen (2.1) en (1.11) zien we onmiddel- lijk dat het voldoende is om aan te tonen dat voor alle x ∈ R^p met p = Pm

i=1k_i en y ∈ R het volgende geldt:

f_P(x|X^π∗(T ) = y) = f_Q(x|X^π∗(T ) = y) (1.35) met f_Pen f_Qde conditionele dichtheid van de random vector

X = (X¹(t₁), . . . , X¹(t_k1), . . . , Xⁱ(t₁), . . . , Xⁱ(t_ki), . . . , X^m(t₁), . . . , X^m(t_km)

ten opzichte van de conditionele random variabele X^π∗(T ), onder de P- en Q-maat respec- tievelijk.

Via de eigenschappen van multivariaat normale verdelingen en door het feit dat onder de P- maat het prijsproces van dezelfde soort is als onder deQ-maat, met enig verschil de waarde voor de drift parameter (zie vergelijking (1.7) en (1.13)), volgt er dat (1.35) waar is, wanneer voor alle i ∈ {1, 2, ..., m}, j ∈ {1, 2, ...k_i} en 0 < t_j < T het volgende geldt:

E_P[X⁽ⁱ⁾(t_j)|X^π∗(T )] = E_Q[X⁽ⁱ⁾(t_j)|X^π∗(T )]

Zonder verlies aan algemeenheid kunnen we tj noteren door s. We vinden dan, door gebruik te maken van vergelijking (1.32) van eigenschap1.6.3, dat

E_P[X⁽ⁱ⁾(s)|X^π∗(T )] = E_P[X⁽ⁱ⁾(s)] + Cov_P[X⁽ⁱ⁾(s), X^π∗(T )]

V ar_P[X^π∗(T )] (X^π∗(T ) − E_P[X^π∗(T )]) en gelijkaardig vinden we ook

E_Q[X⁽ⁱ⁾(s)|X^π∗(T )] = E_Q[X⁽ⁱ⁾(s)] + Cov_Q[X⁽ⁱ⁾(s), X^π∗(T )]

V ar_Q[X^π∗(T )] (X^π∗(T ) − E_Q[X^π∗(T )]).

Vervolgens weten we door gebruik te maken van de eigenschap, dat de prijsprocessen onder de P- en Q-maat van dezelfde soort zijn, dat

Cov_P[X⁽ⁱ⁾(s), X^π∗(T )]

V ar_P[X^π∗(T )] = Cov_Q[X⁽ⁱ⁾(s), X^π∗(T )]

V ar_Q[X^π∗(T )] . Hieruit volgt er dat

E_P[X⁽ⁱ⁾(s)|X^π∗(T )] = E_Q[X⁽ⁱ⁾(s)|X^π∗(T )]

⇐⇒

E_P[X⁽ⁱ⁾(s)] − E_Q[X⁽ⁱ⁾(s)] = Cov_P[X⁽ⁱ⁾(s), X^π∗(T )]

V ar_P[X^π∗(T )] (E_P[X^π∗(T )] − E_Q[X^π∗(T )]) (1.36) Als we nu kunnen aantonen dat de laatste vergelijking (1.36) geldt, is het lemma aangetoond.

Laten we eerst door gebruik te maken van (1.12) en (1.27) berekenen dat V ar_P[X^π∗(T )] = V ar



µ(π^∗) −1

2σ²(π^∗)



T + σ(π^∗)B^π∗(T )



(1.37)

= σ²(π^∗) V arB^π∗(T )

(1.38)

= (µ − r1)^T · Σ⁻¹· (µ − r1)

(1^T · Σ⁻¹· (µ − r1))² T (1.39)

waar (1.4) , (1.12) en (1.29) het volgende impliceren

Cov_P[X⁽ⁱ⁾(s), X^π∗(T )] (1.40)

= Cov_P



µ_i− 1 2σ_i²



s + σ_iBⁱ(s) ,



µ(π^∗) − 1

2σ²(π^∗)



T + σ(π^∗)B^π∗(T )



(1.41)

= Cov_Pσ_iBⁱ(s) , σ(π^∗)B^π∗(T )

(1.42)

= Cov_Pσ_iBⁱ(s) , σ(π^∗)[B^π∗(T ) − B^π∗(s) + B^π∗(s)]

(1.43)

= Cov_PσiBⁱ(s) , σ(π^∗)[B^π∗(T ) − B^π∗(s)] + Cov_PσiBⁱ(s) , σ(π^∗)B^π∗(s) (1.44)

= 0 + (µ_i− r)

(1^T · Σ⁻¹· (µ − r1))s (1.45)

= (µ_i − r)

(1^T · Σ⁻¹· (µ − r1))s (1.46)

met 0 ≤ s ≤ T .

En meer

E_P[X⁽ⁱ⁾(s)] − E_Q[X⁽ⁱ⁾(s)] = µ_i − r. (1.47) Verder vinden we uit (1.12) en (1.14) dat