In de vorige hoofdstukken is meestal sprake geweest van deterministische spellen: alle spelers kennen de uitkomst van ieder strategieprofiel vooraf en met zekerheid. In werkelijkheid echter is de wereld gecompliceerder en bestaat er onzekerheid over de uitkomsten. Om toch tot uitspraken te kunnen komen, is een basisveronderstelling vereist over het gedrag van de spelers (Bierman & Fernandez, 1998, blz. 207 e.v.): de hypothese van het verwachte nut (expected utility hypothesis). Deze hypothese impliceert dat voor iedere speler in een spel aan iedere uitkomst van het spel een getal kan worden toegekend (het zogenaamde von Neumann- Morgenstern nut voor de speler) zodanig dat de speler zich gedraagt alsof deze zijn verwachte nut maximaliseert. Ofwel, ook bij onzekere uitkomsten wordt verondersteld dat spelers proberen hun verwachte opbrengst te maximaliseren. Deze hypothese is al controversieel sinds de introductie door John von Neumann en Oscar Morgenstern in 1944. De hypothese wordt uitgelegd aan de hand van loterijen. Stel er is een verzameling mogelijke uitkomsten X = {T1, T2, ..., TN}, dan is een eenvoudige loterij over X een aselecte selectie uit de elementen van X met vaste kansen {p1, p2, ..., pN}. De kansen zijn niet-negatieve getallen die optellen tot één, waarbij pi de kans is dat Ti wordt gekozen. Een samengestelde loterij (compound lottery) is een loterij waarin sommige uitkomsten zelf een loterij zijn. Doorgaans wordt in de eerste ronde van een samengestelde loterij bepaald welke van de loterijen {L1, ...., Lk} in de volgende ronde wordt gespeeld. Als dit een eenvoudige loterij is, wordt een uitkomst getrokken en is het spel gespeeld. Als ook dit weer een samengestelde loterij is, komt er een derde ronde, et cetera. Samengestelde loterijen worden weegegeven als: (L1:p1, L2:p2, ...., Lk:pk) waarbij pi de kans is dat in de eerste ronde loterij Li wordt gekozen.
De verwachte nut hypothese is een model van keuzes bij eenvoudige en samengestelde loterijen. De hypothese luidt: Er bestaat een functie U(.) over de uiteindelijke uitkomsten {T
1, ..., TN} zodanig dat:
(1) een eenvoudige loterij L1 = (T1:p11, T2:p12, ...., TN:p1N) de voorkeur krijgt boven een eenvoudige loterij L2 = (T1:p121, T2:p22, ...., TN:p2N) dan en slechts dan als EU(L1) ≥ EU(L2), waarbij EU(Li) = Ek {pik * U(Tk)} voor i = 1,2;
(2) een samengestelde loterij LC1 = (L11:q11, ...., L1N:q1N) de voorkeur krijgt boven een samengestelde loterij LC2 = (L21:q21, ...., L2N:q2N) dan en slechts dan als EU(LC1) ≥ EU(LC2), waarbij EU(LCi) = Ej {qij * EU(Lij)} voor i = 1,2
De functie U(Ti) heet het von Neumann-Morgenstern nut bij gegeven preferenties van de beslisser voor de loterij; het getal EU(L) is het verwachte nut van loterij L op basis van het von Neumann-Morgenstern nut U. Deze begrippen worden geïllustreerd aan de hand van het kopen van een lot van 2 euro. De mogelijke uitkomsten zijn een uitkering van 10 miljoen euro (met een kans van 1 op de 15 miljoen) of van 0 euro. De winst geeft een nutstoename van 12 miljoen nutseenheden, het verlies een nutsafname van 0,01 nutseenheden.
Het verwachte nut van de aankoop van een lot is dus:
-0.01 * (14 999 999/15 000 000) + 12 000 000 * (1/15 000 000) = 0,79. Dit betekent dat gemiddeld genomen het nut bij het kopen van een lot 0,79 nutseenheden hoger is dan bij het niet kopen van een lot. Volgens de hypothese wordt de strategie met het hoogste verwachte nut gekozen en wordt het lot gekocht. Hierbij moeten overigens de preferenties over loterijen aan bepaalde (nog te noemen) voorwaarden voldoen. Zo is een kardinale maat van de preferenties vereist, omdat de (subtiele) afweging tussen de mogelijke uitkomsten, meer informatie vereist dan ordinaal rangschikken. Als er een von Neumann-Morgenstern nutsfunctie bestaat, wordt in beperkte mate duidelijk hoeveel het ene alternatief boven het andere wordt geprefereerd.
Von Neumann en Morgenstern hebben aangetoond dat dan en slecht dan is voldaan aan de verwachte nut hypothese als de preferenties van de beslisser over de loterijen voldoen aan vijf rechtstreeks toetsbare voorwaarden, de von Neumann-Morgenstern axioma’s.
Axioma 1 (consistentie): er bestaat een volledige en transitieve voorkeursordening over de elementen van de verzameling L van loterijen die is gebaseerd op de eindige verzameling van uitkomsten X.
De hypothese van het verwachte nut impliceert dat de voorkeursrangorde van de loterijen volledig en transitief is. Volledig (complete) wil zeggen dat voor ieder paar uitkomsten T1 en T2 geldt dat of T1 wordt geprefereerd boven T2 of T2 wordt geprefereerd boven T1. Als T1 boven T2 wordt geprefereerd en T2 boven T1, dan is de beslisser indifferent. De voorkeursrangorde is transitief als, bij iedere drie uitkomsten T1, T2 en T3, geldt dat als T1 wordt geprefereerd boven T2 en T2 word geprefereerd boven T3, dat T1 wordt geprefereerd boven T3.
Axioma 2 (monotonie): L(u) wordt dan en slechts dan geprefereerd boven L(v) als u > v. Dit is gebaseerd op de speciale loterij L(u) = TB : u, TW : 1-u) waarin alleen de beste (TB) en de slechtste (TW) uitkomst zijn opgenomen, met kansen u respectievelijk (1-u). Als u toeneemt is het steeds waarschijnlijker dat TB en steeds minder waarschijnlijk dat TW zal optreden. Ofwel: het lijkt aannemelijk dat de loterij L(u) aantrekkelijker wordt naarmate u toeneemt.
Axioma 3 (continuïteit): voor iedere uitkomst T in X bestaat er een uniek getal U(T), het genormaliseerde von Neumann-Morgenstern nut van T, zodanig dat de beslisser indifferent is tussen de zekere uitkomst T en de loterij L(U(T)).
Het derde axioma geeft aan dat als u toeneemt er een zeker punt komt waarop de beslisser exact indifferent is tussen de loterij L(U) en een gegeven uitkomst T. Als dit niet zo is, bestaat er een discontinuïteit in de voorkeursordening.
Axioma 4 (substitutie): veronderstel dat de beslisser indifferent is tussen de zekere uitkomst T en de loterij L en dat er twee loterijen L1 en L2 bestaan met als enige verschil dat daar waar in de ene loterij T verschijnt, in de andere loterij L verschijnt. Dan is de beslisser ook indifferent tussen L1 en L2.
Axioma 5 (simplificatie): veronderstel dat L de samengestelde loterij (L1:q1, ..., LM:qM) is waarbij iedere loterij Li eenvoudig is en Li = (T1:pi1, ..., TK:piK), i=1,...., M. Dan is de beslisser indifferent tussen L en de eenvoudige loterij (T1:r1, ..., TK:rK) met rj = Ei {pij * qi}
Het verwachte nut theorema: de verwachte nuts hypothese geldt dan en slechts dan als aan de vijf von Neumann-Morgenstern axioma’s is voldaan.