Lineaire Algebra
TW1205TI
I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Contactgegevens
I.A.M. Goddijn
Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408
e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/∼goddijn blackboard : http: //blackboard.tudelft.nl Spreekuur : volgens afspraak
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 1
Stelsels lineaire vergelijkingen
Definitie
Als a1, a2, · · · an, b constanten zijn dan heet
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b (1)
een lineaire vergelijking in de onbekenden x1, x2, · · · xn. a1, a2, · · · an heten de co¨effici¨enten van de vergelijking en b de constante term of het rechterlid van de vergelijking.
Een oplossing van (1) is een rijtje getallen (s1, s2, · · · , sn) met de eigenschap dat wanneer, voor x1, x2, · · · xn in (1)
s1, s2, · · · sn, worden gesubstitueerd (1) een gelijkheid wordt.
Substitueren we dus x1= s1, x2 = s2, · · · , xn= sn in (1) dan vinden we de gelijkheid a1s1 + a2s2 + · · · + ansn = b.
Definitie
De oplossingsverzameling van een lineaire vergelijking is de verzameling van alle oplossingen van deze vergelijking.
Dit wordt ook wel de algemene oplossing genoemd.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 3
Definitie
Een stelsel lineaire vergelijkingen is een eindig aantal lineaire vergelijkingen in dezelfde onbekenden.
Definitie
Een oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen is een oplossing van alle vergelijkingen uit het stelsel.
Definitie
De oplossingsverzameling van een stelsel lineaire
vergelijkingen is de verzameling van alle oplossingen van dit stelsel.
Dit wordt ook wel de algemene oplossing van dit stelsel lineaire vergelijkingen genoemd.
Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft (a.) een unieke oplossing of
(b.) oneindig veel oplossingen of (c.) g´e´en oplossingen.
Definitie
Een stelsel vergelijkingen met tenminste ´e´en oplossing heet consistent anders inconsistent.
Definitie
Twee stelsels lineaire vergelijkingen heten equivalent of gelijkwaardig als ze dezelfde oplossingsverzameling hebben.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 5
Als we in een lineair stelsel vergelijkingen 1. twee vergelijkingen verwisselen,
2. een vergelijking met een constante ongelijk nul vermenigvuldigen,
3. een veelvoud van ´e´en vergelijking bij een andere optellen dan krijgen we een equivalent stelsel vergelijkingen.
Deze operaties willen we natuurlijk zo inzetten dat we de oplossingsverzameling van ons oorspronkelijke stelsel vergelijkingen eenvoudig kunnen bepalen.
Bij elk stelsel lineaire vergelijkingen hoort een aangevulde matrix en omgekeerd. De aangevulde matrix bij
a11x1 + a12x2+ · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2+ · · · + a2nxn = b2
... ... ...
am1x1 + am2x2+ · · · + amnxn = bm
(2)
is
a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2
... ... ... ... am1 am2 · · · amn bm
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 7
Ook hoort bij een stelsel lineaire vergelijkingen een co¨effici¨entenmatrix. De co¨effici¨entenmatrix bij (2) is
a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n
... ... ... ... am1 am2 · · · amn
Notaties
A voor de co¨effici¨entenmatrix en [A | b] voor de aangevulde of toegevoegde matrix bij (2).
De drie operaties die een stelsel lineaire vergelijkingen omzetten in een equivalent stelsel corresponderen met drie elementaire rijoperaties toegepast op de bijbehorende aangevulde matrix.
Laat (S ) een stelsel van m vergelijkingen zijn en 1 ≤ i , j ≤ m.
We geven de i -de en j -de rij van de aangevulde matrix [A | b] bij (S ) aan met Ri en Rj.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 9
1. Het verwisselen van de i -de en j -de vergelijking correspondeert met het verwisselen van Ri en Rj.
2. Het vermenigvuldigen van de i -de vergelijking met een factor k 6= 0 correspondeert met het vermenigvuldigen van Ri met een factor k 6= 0.
3. Het optellen van k maal de j -de vergelijking bij de i -de vergelijking correspondeert met het optellen van k maal Rj bij Ri.
1. Het verwisselen van de i -de en j -de vergelijking correspondeert met het verwisselen van Ri en Rj. 2. Het vermenigvuldigen van de i -de vergelijking met een
factor k 6= 0 correspondeert met het vermenigvuldigen van Ri met een factor k 6= 0.
3. Het optellen van k maal de j -de vergelijking bij de i -de vergelijking correspondeert met het optellen van k maal Rj bij Ri.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 10
Definitie
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft:
1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix.
2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte van het eerste niet nul element in de volgende rijen.
Definitie
Het eerste niet-nul van een rij heet het leidende element van die rij, ‘pivot’ of hoofdelement.
Definitie
Een matrix heeft een gereduceerde rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft:
1. Het is in rij-echelon vorm.
2. Het leidende element in een rij is gelijk aan 1.
3. De kolom waarin een leidend element staat bevat verder alleen nullen.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 12
Definitie
Als A een matrix is met gereduceerde echelon vorm U dan is een pivotpositie van A een plaats waar U een pivot heeft staan.
Een pivotkolom van A is een kolom waarin U een pivot heeft staan.
Laat [A|b] de aangevulde matrix is bij een consistent stelsel vergelijkingen (S ) in de onbekenden x1, x2, · · · xn. Als de i -de kolom van A een pivotkolom is dan heet xi een basisvariabele.
De variabelen die geen basisvariabelen zijn heten vrije
variabelen. Geven we de vrije variabelen een willekeurige (vrije) waarde dan liggen de basisvariabelen vast.
Stelling (Over existentie en ´e´enduidigheid)
Een stelsel lineaire vergelijkingen is consistent als de laatste kolom van de bijbehorende aangevulde matrix g´e´en pivotkolom is.
Als een stelsel lineaire vergelijkingen consistent is dan heeft dit (i) oneindige veel oplossingen als er vrije variabelen zijn, (ii) precies ´e´en oplossing als er geen vrije variabelen zijn.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 14
Vectorvergelijkingen
Vectoren
Definitie
Een gericht lijnstuk heeft naast een grootte en een richting.
Zo’n lijnstuk heeft dus een beginpunt en een eindpunt. Het eindpunt wordt meestal van een pijltje voorzien om de richting aan te geven.
Notaties
−→AB , AB of AB
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 1
Definitie
Twee gerichte lijnstukken zijn equivalent of gelijk als ze door een verplaatsing in elkaar zijn over te voeren.
Kiezen we een oorsprong in het platte vlak of de ruimte dan wordt een gericht lijnstuk dat in de oorsprong begint ook wel vector genoemd. Elk gericht lijnstuk is dus equivalent met een vector.
Er geldt dus:
−→CD = −→
AB Notatie
−
→u of u of u
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 3
De nulvector
De nulvector is de vector met lengte 0. Dit is de enige vector zonder richting.
Notatie 0
De tegengestelde vector
Als u een vector is en v is de vector die even lang is als u maar tegengesteld gericht dan heet v de tegengestelde van u.
Notatie
−u
Vermenigvuldiging met een factor
Als u een vector is en c een re¨eel getal en v is de vector die |c|
maal zo lang is als u en dezelfde richting heeft als u als c > 0 en tegengesteld is aan u als c < 0 dan heet v de
vermenigvuldiging van u met c.
Notatie cu
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 5
De som van twee vectoren
Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt:
‘de parallellogramconstructie’ en de ‘kop-aan-staartmethode’
Notatie
u + v en u + (−v) wordt genoteerd als u − v
De som van twee vectoren
Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt:
‘de parallellogramconstructie’ en de ‘kop-aan-staartmethode’
Notatie
u + v en u + (−v) wordt genoteerd als u − v
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 6
De som van twee vectoren
Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt:
‘de parallellogramconstructie’ en de ‘kop-aan-staartmethode’
Notatie
u + v en u + (−v) wordt genoteerd als u − v
De som van twee vectoren
Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt:
‘de parallellogramconstructie’ en de ‘kop-aan-staartmethode’
Notatie
u + v en u + (−v) wordt genoteerd als u − v
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 6
De som van twee vectoren
Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt:
‘de parallellogramconstructie’ en de ‘kop-aan-staartmethode’
Notatie
u + v en u + (−v) wordt genoteerd als u − v
De som van twee vectoren
Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt:
‘de parallellogramconstructie’ en de ‘kop-aan-staartmethode’
Notatie
u + v en u + (−v) wordt genoteerd als u − v
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 6
De som van twee vectoren
Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt:
‘de parallellogramconstructie’ en de ‘kop-aan-staartmethode’
Notatie
u + v en u + (−v) wordt genoteerd als u − v
Om het werken met vectoren te vergemakkelijken tekenen we een rechthoekig assenstelsel in het platte vlak (de ruimte) en noemen we de eenheidsvectoren (vectoren met lengte 1) in de richting van de positieve assen, e1 =
"
1 0
#
en e2 =
"
0 1
#
(e1 =
1 0 0
, e2 =
0 1 0
en e3 =
0 0 1
).
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 7
Als a =
"
a1
a2
#
en b =
"
b1
b2
#
dan a + b =
"
a1+ b1
a2+ b2
#
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 9
Ook geldt:
als a =
"
a1
a2
#
en c ∈ R dan ca =
"
ca1
ca2
#
en verder:
als a =
a1
a2 a3
, b =
b1
b2 b3
en c ∈ R dan
a + b =
a1+ b1 a2+ b2
a3+ b3
en ca =
ca1 ca2
ca3
De vectorvergelijking
Definitie
De Rn bestaat uit alle geordende n-tallen re¨ele getallen.
Notatie
Als u ∈ Rn dan u =
u1 u2 ... un
,
u1, u2, · · · , un heten de kentallen of componenten van u.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 11
Definitie
Als u, v ∈ Rn en u =
u1
u2 ... un
, v =
v1
v2 ... vn
dan wordt de som
van u en v gedefinieerd door:
u1 + v1 u2 + v2
... un + vn
Notatie u + v
Definitie
Als u =
u1 u2
... un
∈ Rn en c ∈ R is een scalar dan wordt de
scalaire vermenigvuldiging van u met c gedefinieerd door:
c u1
c u2
... c un
.
Notatie c u
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
12 februari 2014 13
