Onafhankelijke Verzamelingen van Eindige Groepen

Faculteit Wetenschappen

Departement Wiskunde

Onafhankelijke Verzamelingen van Eindige Groepen

Proefschrift ingediend met het oog op het behalen van de graad van Master in de Wiskunde

Hendrik Windey

Promotor: Prof. Dr. P. Cara

18 OKTOBER 2012

Inhoudsopgave

1 PERMUTATIEGROEPEN 1

1.1 Acties . . . 1

1.2 Banen en Transitiviteit . . . 3

1.3 Transitieve Groepen en Nevenklassen . . . 4

1.4 Imprimitiviteit en Sliertproduct . . . 6

1.5 Sokkel van een Primitieve Groep . . . 9

1.6 Stelling van Aschbacher-O’Nan-Scott . . . 11

1.7 Onafhankelijke Verzamelingen . . . 14

1.8 Permutatiegetallen . . . 18

2 INCIDENTIEMEETKUNDE 20 2.1 Incidentiestructuren . . . 20

2.2 Grafen en Bomen . . . 21

2.3 Pre-meetkunden en Meetkunden . . . 23

2.4 Projectieve en Polaire Ruimten . . . 26

2.5 Automorfismegroepen . . . 28

3 CLASSIFICATIE VAN SIMPELE GROEPEN (CFSG) 32 3.1 Stelling van H¨older . . . 32

3.2 Het Rangeerprobleem en de Stelling van Sylow . . . 33

3.3 Stelling van Iwasawa . . . 35

3.4 Het Rangeerprobleem en de Karaktertheorie . . . 36

3.5 Simpele Lie Algebra’s . . . 38

3.6 De Chevalley Groepen . . . 41

3.7 Uitzonderlijke Chevalley groepen . . . 47

3.8 De Steinberggroepen en de Suzuki-Ree-groepen. . . 49

3.9 De 26 Sporadische Groepen en CFSG . . . 50

4 STELLING VAN WHISTON 54 4.1 Stelling van Whiston . . . 54

4.2 Het Intransitief Geval . . . 57

4.3 Het Transitief maar Imprimitief Geval . . . 60

4.4 Het Niet-basis Primitief Geval . . . 68

4.5 Het Basis Primitief Geval . . . 69

4.5.1 Het Affiene Geval . . . 69

4.5.2 Het Diagonale Geval . . . 72

4.5.3 Het Bijna-Simpele Geval . . . 73

4.6 De Alternerende Groep . . . 85

5 STELLINGEN VAN CAMERON EN CARA 89

5.1 Minimax Verzamelingen en Bomen . . . 89

5.2 Eigenschappen van Minimax Verzamelingen. . . 96

5.3 Minimax Verzamelingen en RWPRIMeetkunden . . . 99

5.4 Stelling van Whiston en CFSG . . . 104

5.5 Frattini Vrije Groepen en RWPRIMeetkunden . . . 106

6 DE PROJECTIEVE SPECIALE LINEAIRE GROEP 108 6.1 M¨obius Transformaties en Deelgroepen . . . 108

6.2 Puntstabilisators. . . 110

6.3 Deelveldgroepen . . . 114

6.4 Het vermoeden van Cara. . . 120

7 PROJECT 129

Hoofdstuk 1

PERMUTATIEGROEPEN

Dit hoofdstuk is voor een groot deel een opfrissing van gekende begrippen uit de ba- chelor. Als verdere lectuur verwijzen we naar het boek [2] van Cameron.

1.1 Acties

We herhalen de belangrijkste begrippen rond permutatiegroepen. Alvorens men een groep als een abstracte entiteit beschouwde, werd een groep beschreven in functie van zijn actie op een specifieke verzameling. We herinneren ons allemaal de spiegelingen, translaties en congruenties uit onze middelbare schooltijd. Heden zien we dit als een equivalentie tussen permutatiegroepen en acties.

Definitie 1.1.1. De symmetrische groep opΩ, genoteerd als Sym(Ω), is de verzame- ling van alle permutaties opΩ. Voor Ω ={1, . . . , n} gebruiken we de verkorte notatie Sym(n). Een permutatiegroep op Ω is een deelgroep van Sym(Ω).

Het beeld vanα∈ Ω door een permutatie g ∈ Sym(Ω) noteren we als αg en de samenstelling van de permutatiesg en h is gh zodat α(gh) = (αg)h.

Definitie 1.1.2. µ is een actie van de groep G op de verzameling Ω enkel en alleen als µ een functie is van Ω× G naar Ω die voldoet aan volgende condities :

• (A1) µ(µ(α, g), h) = µ(α, gh) voor elke α ∈ Ω en g, h ∈ G;

• (A2) µ(α, 1G) = α voor elke α∈ Ω.

Alsµ een actie is van de groep G op de verzameling Ω dan noemen we Ω een G-ruimte.

Als er geen verwarring ontstaat noteert menµ(α, g) als αg of α^g. Stelling 1.1.3. Equivalentie tussen acties en permutatiegroepen.

• (1) Als µ een actie is van de groep G op de verzameling Ω dan bestaat er een homomorfismeφ van G naar Sym(Ω).

• (2) Als φ een homorfisme is van de groep G naar Sym(Ω) dan bestaat er een actieµ van de groep G op de verzameling Ω .

Bewijs.

(2) Alsφ een homomorfisme is van G naar Sym(Ω) dan hebben we een functie µ vanΩ× G naar Ω, die bepaald wordt door µ(α, g) = (α)(φ(g)). µ is dan een actie van de groepG op de verzameling Ω wegens :

µ(µ(α, g), h) = (µ(α, g))(φ(h)) = ((α)(φ(g)))(φ(h)) = (α)(φ(gh)) = µ(α, gh) µ(α, 1G) = (α)(φ(1G)) = (α)(1Sym(Ω)) = α

(1) Alsµ een actie is van G op Ω dan hebben we een functie φ van G naar Sym(G), die bepaald wordt doorφ : g → φg metαφg = µ(α, g). φ is dan een homomorfisme vanG naar Sym(G) wegens :

(α)(φgh) = µ(α, gh) = µ(µ(α, g), h) = (µ(α), g))(φh) = ((α)(φg))(φh) (α)(φ1G) = µ(α, 1G) = α = α1Sym(G)

(α, g) αφ(g)

✫✪

✬✩

✲

✫✪

Ω× G ❄ µ ✬✩❄ Ω

g φ(g)

✫✪

✬✩

✲

✫✪

G ✬✩Sym(Ω)

φ

Definitie 1.1.4. Het beeld van de actie van G opΩ is de permutatiegroep geinduceerd opΩ door G, en wordt geschreven als G^Ω. Een actie waarvan de kern de identiteit is, noemt men getrouw :

(∀α ∈ Ω : αg = α) ⇔ g = 1G

In dit geval isG isomorf met G^Ω. De graad van een actie(G, Ω, µ) is|Ω|

1.2 Banen en Transitiviteit

In deze sectie maken we een onderscheid tussen transitieve en intransitieve groepen.

We zetten onze eerste stap in de classificatie van permutatiegroepen door een intran- sitieve groep te herleiden naar een subcartetisch product van transitieve groepen, de zogenaamde transitieve constituenten.

Definitie 1.2.1. AlsG een actie uitvoert op Ω, dan kunnen we op Ω een equivalentie- relatie definieren :

α∼ β ⇔ ∃g ∈ G : α^g= β

De equivalentieklassen van∼ zijn de banen van de actie van G op Ω. Als er juist 1 baan is inΩ zeggen we dat de actie van G op Ω transitief is. We zeggen ook dat een groepG transitief is als de actie van G^Ωtransitief is. De transitiviteit van een groep G is dus afhankelijk van de G-ruimte waarop de groep G een actie uitvoert.

Definitie 1.2.2. We zeggen dat de groepG k-transitief is op Ω als G een transitieve componentsgewijze actie heeft op de verzamelingΩ^k_∗ van dek-tuppels bestaande uit verschillende elementen vanΩ :

(ω1, ..., ωk)g = (ω1g, ..., ωkg)

We zeggen dat de groepG scherp k-transitief is op Ω als er voor elk paar k-tuppels α, β∈ Ω^k_∗een uniekeg∈ G bestaat zodat voor de componentsgewijze actie van G op Ω^k_∗geldt :

αg = β

Stelling 1.2.3. Voor elke actie vanG op Ω is er een partitie [Ωi, i∈ I] van Ω waarbij voor elkei∈ I de groep G een transitieve actie uitvoert op Ωi.

Bewijs De equivalentierelatie∼ bepaalt een partitie [Ωi, i∈ I] van Ω waarbij G een transitieve actie uitvoert op elke baan (equivalentieklasse).

Definitie 1.2.4. AlsΩi, i∈ I de banen zijn van de actie van G op Ω dan noemt men de groepenG^Ωi, i∈ I de transitieve constituenten van G.

G is een subcartetisch product van een familie groepen{Gi: i∈ I} als er een inbed- dingf van G in het cartesiaans productQ

i∈IGibestaat zodat voor de samenstelling vanf met elk van de canonische projecties pi:Q

i∈IGi→ Gimeti∈ I geldt dat pi◦ f (G) = Gi.

Stelling 1.2.5. Elke eindige permutatiegroepG is een subcartetisch product van zijn transitieve constituentenGi, 1≤ i ≤ n.

Aangezien de banenΩi, i ∈ I van de actie van G op Ω een partitie vormen van Ω volgt hieruit dat f : G → Q

i∈IG^Ωi : g → (g^Ωi)i∈I een inbedding is vanG in Q

i∈IGi. Voor elk van de canonische projectiespimeti∈ I geldt :

pi◦ f (G) = pi◦ {f (g)|g ∈ G} = pi{(g^Ωj)j∈I|g ∈ G} = {g^Ωi|g ∈ G} = G^Ωi En dus isG per definitie een subcartetisch product van zijn transitieve constituenten G^Ωi, i∈ I.

1.3 Transitieve Groepen en Nevenklassen

Voor we verder gaan met de classificatie van de permutatiegroepen tonen we aan dat de G-ruimte van elke transitieve permutatiegroep isomorf is met een rechtse neven- klassenruimte van deze groepG. We zullen dit later op een meer meetkundige wijze uitwerken.

Definitie 1.3.1. AlsH geen normaaldeler is van een groep G hebben we zowel rechtse- als linkse nevenklassen vanH. Als H een normaaldeler is van G dan vallen de linkse- en de rechtse nevenklassen vanH samen : Hx = xH. Als H een deelgroep is van G dan is de verzameling [H\ \G] := {Hx | x ∈ G} de verzameling van de rechtse nevenklassen vanH in G. Analoog hebben we de verzameling [G\\H] := {xH | x ∈ G} van de linkse nevenklassen van H in G.Als G, door de rechtse vermenigvuldiging, een actie uitvoert op de rechtse nevenklassen vanH dan noemt men de verzameling [H\ \G] een rechtse nevenklassenruimte van G.

Aangezien de standaard notatie[G : H] te veel lijkt op de notatie van een index van een groep hebben we geopteerd voor de niet-standaard notatie[H

G] uit het boek [2] van Cameron.

Definitie 1.3.2. AlsG een actie uitvoert op Ω dan noemt men Gα :={g ∈ G | αg = α}, voor een α ∈ Ω, de stabilisator van α. Als G een actie uitvoert op Ω dan noemt menG∆:={g ∈ G | ∀α ∈ ∆ : αg ∈ ∆}, voor een ∆ ⊆ Ω, de verzamelingsgewijze stabilisator van∆.

Stelling 1.3.3. Classificatie van de transitieveG-ruimten.

• (1) Voor elke transitieve G-ruimte Ω is (G,Ω) isomorf met de rechtse nevenklas- senruimte (G,[Gα\ \G]) met α ∈ Ω.

• (2) De rechtse nevenklassenruimten [H \ \G] en [K \ \G] zijn isomorf ⇔ de groepenH en K zijn geconjugeerde deelgroepen van G.

(1) Voor elkeg∈ G is de rechtse nevenklasse Gαg ={k ∈ G | αk = αg} want :

• Als g^′ ∈ Gαg dan is g^′ ∈ {k ∈ G | αk = αg} want er is een h ∈ Gαzodat g^′ = hg en dus αg^′= αhg = αg.

• Als g^′ ∈ {k ∈ G | αk = αg} dan is g^′ ∈ Gαg want uit αg^′ = αg volgt g^′g⁻¹∈ Gαen dusg^′ ∈ Gαg.

Het isomorfisme wordt gegeven door :

F : Ω→ [Gα\ \G] : β → {g ∈ G | αg = β}

• F is injectief want als V = F (β) = F (γ) hebben we voor elke g ∈ V dat β = αg = γ.

• F is surjectief want voor elke g ∈ G is de nevenklasse Gαg ={k ∈ G | αg = αk} = F (αk).

(2)⇐ In (2.1) bewijzen we eerst dat de geconjugeerden van Gαde stabilisators van de punten vanΩ zijn. Op basis van (2.1⇐) bewijzen we dan in (2.2⇐) dat voor 2 geconjugeerde deelgroepenH en K van G de nevenklassenruimten [H\ \G] en [K \

\G] isomorf zijn.

(2.1)⇐ De geconjugeerden van Gα zijn de stabilisators van de punten vanΩ want voor elk puntβ is er wegens de transitiviteit van G een g∈ G zodat β = αg en

g^′∈ Stab(αg) ⇔ (αg)g^′ = αg⇔ gg^′g⁻¹ ∈ Gα⇔ g^′∈ g⁻¹Gαg

(2.2)⇐ We beschouwen de verzameling Σ van de geconjugeerden van de groep H in de groepG. Als H en K geconjugeerde deelgroepen zijn van G dan behoren zowel H enK tot Σ. We kunnen nu de geconjugeerde actie van G op Σ beschouwen :

∀L ∈ Σ : L^g:= g⁻¹Lg

Per definitie van geconjugeerde deelgroepen vanG is deze actie van G op Σ transitief en volgt uit het reeds bewezen puntje (1) dat :

Σ ∼= [GH\ \G] en Σ ∼= [GK\ \G]

Voor de rechtse actie van G op de nevenklassenruimte Ω is de verzamelingsgewijze stabilisator van de groepH de groep H zelf want :

g∈ G, h ∈ H : hg ∈ H ⇔ g ∈ H

AangezienΩ een nevenklassenruimte is voor G hebben we dat GH = H en analoog GK = K en dus :

[H\ \G] ∼= [K \ \G]

(2)⇒ Als F een isomorfisme is van [H \ \G] naar [K \ \G] dan bestaat er een g ∈ G zodatF (H.1) = Kg. De stabilisator g⁻¹Kg van Kg is dan isomorf aan de stabilisator H van H. Uit g⁻¹Kg ∼= H volgt dan dat H en K geconjugeerde deelgroepen zijn van G.

1.4 Imprimitiviteit en Sliertproduct

Elke transitieve permutatiegroep is ofwel primitief ofwel imprimitief. We zullen zien dat elke imprimitieve groep beschouwd kan worden als een deelgroep van het zoge- naamde sliertproduct (ook wel kransproduct genoemd) van primitieve componenten.

We zijn dan weer een stapje verder in de classificatie van de permutatiegroepen.

Definitie 1.4.1. ZijG transitief op Ω. Een congruentie is een G-invariante equivalen- tierelatie opΩ :

∀g ∈ G : α ∼ β ⇒ α^g∼ β^g ∼ equivalentie op Ω Een blok∆ is een deelverzameling van Ω zodat :

∀g ∈ G : ∆^g= ∆ of ∆^g∩ ∆ = ∅ Er zijn 2 triviale congruenties voor de actie van een groepG op Ω :

• de gelijkheid : ∀α, β ∈ Ω : α ∼ β ⇔ α = β

• de universele relatie : ∀α, β ∈ Ω : α ∼ β

G is imprimitief als G ook een niet-triviale congruentie heeft. Anders is G primitief.

Merk op dat elke congruentieklasse een blok is, en elk niet-ledig blok een congru- entieklasse is.

Stelling 1.4.2. Eigenschappen van primitiviteit :

• (1) Een 2-transitieve groep (G, Ω) is primitief.

• (2) Een niet-triviale normaaldeler N van een primitieve groep (G, Ω) is transi- tief.

• (3) Een transitieve groep (G, Ω) is primitief ⇔ Gαeen maximale deelgroep is vanG.

Bewijs.

(1) Als er 2 verschillende elementen vanΩ congruent zijn kan men deze wegens de 2-transitiviteit vanG transformeren naar elk ander paar van 2 verschillende elementen vanΩ. Dit betekent dat alle elementen van Ω dan congruent zijn. Onze congruentie is dan triviaal. Als er geen 2 elementen vanΩ congruent zijn dan is de congruentie eveneens triviaal.

(2) AangezienN een normaaldeler is van G geldt voor elke α∈ Ω en elke g ∈ G dat (αN )g = α(N g) = α(gN ) = (αg)N (1)

We beschouwen inΩ volgende equivalentierelatie : α∼ β ⇔ αN = βN

Als nuα∼ β dan hebben we voor elke g ∈ G dat (αN )g = (βN )g. Uit (1) volgt dan αgN = βgN wat identiek is met αg ∼ βg. Dit betekent dat ∼ een congruentie is op Ω. Aangezien G primitief is moet∼ een triviale congruentie zijn. Dus voor elke α en β in Ω hebben we αN = βN = Ω. Dit wil zeggen dat er voor elke γ ∈ Ω een g ∈ N zodatαg = γc. Per definitie is N dan transitief op Ω.

(3)⇒ Als Gα< H < G dan is αH een niet-triviaal blok want :

• als g ∈ H dan αHg = αH

• als g ∈ G \ H dan αHg ∩ αH = ∅

Aangezien we een niet-triviaal blok hebben inΩ hebben we ook een gerelateerde niet- triviale congruentie opΩ en is G dus imprimitief.

(3)⇐ Als (G, Ω) imprimitief transitief is, en ∆ het blok is dat α bevat dan geldt voor de verzamelingsgewijze stabilisatorG∆dat :

Gα⊂ G∆⊂ G

wantGα fixeertα en dus ook het blok (= congruentieklasse) ∆ waartoe α behoort.

Aangezien∆ niet-triviaal is hebben we nog een tweede element β in ∆. Aangezien G transitief is hebben we eeng∈ G zodat α^g = β. Deze g behoort tot G∆omdatα en β in hetzelfde blok liggen maar behoort duidelijk niet tot Gα. Dit betekentGα⊂ G∆. Aangezien het blok∆ niet triviaal is en G transitief is hebben we een g ∈ G zodat αg /∈ ∆ en dus G∆⊂ G.

Definitie 1.4.3. Als de permutatiegroepC een actie uitvoert op de elementen van Γ en de permutatiegroepD een actie uitvoert op de elementen van ∆ dan kan men het sliert- product van de permutatiegroepenC en D definieren als het product van de basisgroep B en de topgroep T :

C≀ D = BT = C^∆D

De basisgroepB bestaat uit|∆| kopies van de groep C waarbij elke kopie een zelfde actie uitvoert op een kopie van Γ als de actie van C op Γ. Dus is basisgroep B de verzameling van alle functies van∆ naar C met puntgewijze operaties. De actie van eenf ∈ B op een (γ, δ) ∈ Γ × ∆ wordt gegeven door :

(γ, δ)f = (γf (δ), δ)

De topgroepT is een kopie van de groep D welke de vezels permuteert. De actie van eeng∈ D op een (γ, δ) ∈ Γ × ∆ wordt gegeven door :

(γ, δ)g = (γ, δg)

Aangezien de topgroepT de basisgroep B normaliseert is het product BT een groep.

Stelling 1.4.4. Als de groepenC en D transitief zijn op respectievelijk Γ en ∆ dan is C≀ D :

• (1) transitief;

• (2) imprimitief als |Γ|, |∆| > 1 Bewijs.

(1) We moeten aantonen dat we een willekeurig koppel(γ, δ) ∈ Γ × ∆ via een f δ ∈ C ≀ D kunnen transformeren naar een willekeurig koppel (γ^′, δ^′) ∈ Γ × ∆.

AangezienC transitief is op Γ hebben we een γ0∈ C zodat γ^′= γγ0. Verder hebben we eenf ∈ C^∆zodatf (γ) = γ0. Viaf wordt (β, γ) dan getransformeerd naar :

(γ, δ)f = (γf (δ), δ) = (γγ0, δ) = (γ^′, γ)

AangezienD transitief is op ∆ hebben we een δ0∈ D zodat δ^′ = δδ0. Viaf δ0wordt (γ, δ) dan getransformeerd naar :

(γ^′, δ)δ0= (γ^′, δδ0) = (γ^′, δ^′)

(2) De relatie∼ gedefinieerd door (γ, δ) ∼ (γ^′, δ^′) ⇔ δ = δ^′ is een niet-triviale congruentie opΓ× ∆ want elke f δ0∈ C ≀ D respecteert de ∼-relatie :

(γ, δ)f δ0= (γf (δ), δ)δ0= (γf (δ), δδ0)∼ (γ^′f (δ), δδ0) = (γ^′, δ)f δ0

Stelling 1.4.5. AlsG een transitieve imprimitieve actie heeft op Ω, dan kan G ingebed worden in het sliertproduct van 2 componenten vanG.

Bewijs. De componentenC en D van G worden als volgt gedefinieerd :

• Γ is een niet-triviale congruentieklasse van de imprimitieve actie van G op Ω;

• C := (GΓ)^Γis de permutatiegroep opΓ geinduceerd door de verzamelingsge- wijze stabilisatorGΓ;

• ∆ := {Γg | g ∈ G} = {Γ1, ..., Γu} is de verzameling van de translaties van Γ door de elementen van de groepG;

• D := G^∆is de permutatiegroep op∆ geinduceerd door G;

Aangezien∆ een partitie is van Ω bestaande uit blokken van orde Γ hebben we dat :

|Ω| = |∆|.|Γ|

Dit betekent dat we een bijectie hebben vanΩ naar Γ× ∆ waarbij we groep G kunnen inbedden in de groepC≀ D via :

G→ C ≀ D : g → (g^Γ1, ..., g^Γu)g^∆ f (G)⊆ G1≀ G2

Definitie 1.4.6. Primitieve componenten.

Als we een imprimitieve groepG inbedden in G1≀ G2dan kunnen we dit proces verder zetten voor de imprimitieve groepen die in rechterlid staan van de uitdrukking vanG als samengesteld sliertproduct. Als bijvoorbeeld G1imprimitief is dan kunnen weG1verder inbedden inG11≀ G12en krijgen we datG ∼= (G11≀ G12)≀ G2waarbij we ons proces kunnen verder zetten tot alle componenten in het rechterlid primitief zijn.

Deze eindcomponenten noemt de primitieve componenten vanG. Aangezien we in ons proces steeds een keuze maken van een congruentieklasΓ zijn de primitieve com- ponenten die men uiteindelijk heeft afhankelijk van die keuzes en dus niet eenduidig bepaald.

1.5 Sokkel van een Primitieve Groep

In het vorig secties hebben we reeds 2 manieren gezien om een eindige groep te redu- ceren :

• (1) Een intransitieve groep is een subcartetisch product van zijn transitieve con- stituenten.

• (2) Een transitieve maar imprimitieve groep is bevat in het sliertproduct van zijn primitieve componenten.

In deze sectie gaan we een stap verder met de reductie van een eindige groep. We gaan aantonen dat de sokkel van een eindige primitieve groep :

• ofwel simpel is,

• ofwel het product is van isormorfe simpele groepen.

Met deze eigenschap zullen we in de volgende sectie de primitieve groepen verder reduceren.

Definitie 1.5.1. Een permutatiegroepG is semiregulier als enkel de identiteit een punt fixeert. Een permutatiegroepG is regulier als de permutatiegroep G transitief en se- miregulier is. Een simpele groep is een groep zonder normaaldelers. De sokkel van een eindige groepG is het product van de minimale normaaldelers van G.

Stelling 1.5.2. Minimale normaaldelers van een primitieve groepG.

• een primitieve permutatiegroep G heeft hoogstens 2 minimale normaaldelers;

• als G twee minimale normaaldelers N1enN2heeft, dan zijnN1enN2isomorf en niet-abels.

Bewijs. Elke minimale normaaldeler van G is transitief want een minimale nor- maaldeler kan nooit het product zijn van meerdere transitieve constituenten. Als er 2 minimale normaaldelers N1 en N2 van G zijn dan centraliseren zij elkaar want [N1, N2]⊂ N1∩ N2={1G} :

• ∀n1∈ N1, n2∈ N2: ∃n^′1∈ N1: n2n1= n^′₁n2wantN1⊳ G

• ∀n^′₁∈ N1, n2∈ N2: ∃n^′₂∈ N2: n^′₁n2= n^′₂n^′₁wantN2⊳ G

• en dus n2n1= n^′₁n2= n^′₂n^′₁

• en dus n^′−12 n2= n^′₁n⁻¹₁ behoort totN1∩ N2

• N1∩ N2={1G} want N1enN2zijn minimale normaaldelers vanG

• en dus n^′2= n2enn1= n^′₁en dus∀n1∈ N1, n2∈ N2: n2n1= n1n2

AangezienN1enN2elkaar centraliseren hebben we :

• als ω1ⁿ¹ = ω1voorω1∈ Ω en n1∈ N1

• dan ∀ω2∈ Ω : ∃n2∈ N2zodatω2= ω₁ⁿ²wantN2is transitief

• dan ∀ω2∈ Ω : ω₂ⁿ¹ = ω₁^n2.n1= ωⁿ₁^1.n2 = ω₁ⁿ² = ω2wegens de centralisatie

Dus zijnN1en analoogN2per definitie regulier omdatN1enN2 ook nog transitief zijn. De reguliere groepenN1 enN2 zijn dan beide alsG-ruimten isomorf met de linkse en rechtse representatie van de groepG :

{ω1g| g ∈ G} = {gω1| g ∈ G} ∼= Ω

Vermits via dezelfde redenering als hierboven de centraliserCG(N1) van N1 semi- regulier is en tevens de reguliere groepN2bevat hebben we dat :

CG(N1) = N2

Verder is er naastN1enN2geen plaats voor een derde reguliere minimale normaalde- lerN3vanG want :

CG(N1) = N2enCG(N1) = N3⇒ N2= N3

Wegens dezelfde reden zijnN1enN2niet-abelse groepen want : N1⊆ CG(N1)⇒ N1= N2

1.6 Stelling van Aschbacher-O’Nan-Scott

De stelling van Aschbacher-0’Nan-Scott reduceert de primitieve permutatiegroepen tot enkele bepaalde types van groepen. Voor we deze stelling bewijzen leggen we eerst uit wat groepen van het affiene type, groepen van het diagonale type en bijna simpele groepen zijn. Deze drie types reduceren de zogenaamde basis primitieve groepen. De niet-basis primitieve groepen zijn de primitieve groepen die deelgroep zijn van een sliertproduct van basis primitieve groepen, maar dan wel onder een productactie.

Definitie 1.6.1. Een affiene transformatie is een transformatie van de affiene meetkun- de, waarbij de meetkundige structuren (punten, rechten , vlakken, ...) samen met hun in- cidentie en het parallellisme behouden blijven. Alsv een punt is in de m-dimensionale affiene meetkunde, kan een affiene transformatie voorgesteld worden door:

v→ Av + t

waarbijA = (aij)∈ GLm(p) de matrix is van een lineaire afbeelding en t de trans- latievector is. De affiene algemene lineaire groep

AGLm(p)

wordt gevormd door al de affiene transformaties die een actie uitvoeren op de punten, met coordinaten in Fp, van de affiene ruimte A^m. Een groep van het affiene type is een deelgroep van een affiene algemene lineaire groep.

Propositie 1.6.2.

|GLm(q)| = (q^m− 1)(q^m− q)...(q^m− q^m−1) =

q^m(m−1)2 . Ym i=1

(qⁱ− 1)

Bewijs. Voor elkeM ∈ GLm(q) geldt :

• de eerste rij (M11, ..., M1m) van M moet minstens 1 element verschillend van 0 hebben, er zijn dusq^m− 1 mogelijkheden voor de eerste rij;

• de j-de rij (Mj1, ..., Mjm) van M moet onafhankelijk zijn van de vorige j− 1 rijen vanM , als we deze rijen beschouwen als punten in Fq^m dan betekent dit dat het punt gevormd door dej-de rij van M niet tot de vectorruimte, isomorf met F_q^j−1, behoort die gevormd wordt door dej − 1 onafhankelijke punten, overeenkomend met de eerstej − 1 onafhankelijke rijen van M , er zijn dus q^j− q^j−1mogelijkheden voor dej-de rij.

Dit betekent dat er

(q^m− 1)(q^m− q)...(q^m− q^m−1) = (q^m− 1) .q(q^m−1− 1)... .q^m−1(q− 1) = q1+...+(m−1)(q^m− 1)(q^m−1− 1)...(q − 1) =

q^m(m−1)2 (q^m− 1)...(q − 1) mogelijke matrices zijn inGLm(q).

Gevolg 1.6.3. |AGLm(p)| = p^m(p^m− 1)(p^m− p)...(p^m− p^m−1)

Bewijs. Omdat elke affiene transformatie bepaald wordt door een transformatie van GLm(p) en een translatie uit F^mp , normaaldeler van AGLm(p), hebben we dat AGLm(p) het semi-directe product is van GLm(p) en F^mp . We hebben dus :

|AGLm(p)| = |GLm(p)|.|F^m_p| = p^m(p^m− 1)(p^m− p)...(p^m− p^m−1) Definitie 1.6.4. Een diagonale groep is een groep van de vorm :

T^m.(Out(T )× Sym(m)) ∼= (T ≀ Sym(m)).Out(T )

waarbijT een niet-abelse simpele groep is. Een groep van het diagonale type is een deelgroep van een diagonale groep.

Definitie 1.6.5. De groep G is een bijna simpele groep enkel en alleen als er een simpele groepT bestaat zodat :

T ≤ G ≤ Aut(T ) Stelling 1.6.6. O’Nan-Scott.

• (1) Een basis primitieve permutatiegroep is van 1 van de volgende types : – (1.1) het affiene type = deelgroep van een affiene groep;

– (1.2) het diagonale type = deelgroep van een diagonale groep;

– (1.3) een bijna simpele groep;

• (2) De sokkel Sokkel(G), van een niet basis primitieve permutatiegroep G met G ≤ G0≀ Sym(k) onder de productactie en G0 basis, voldoet aan 1 van de volgende eigenschappen :

– Sokkel(G)=Sokkel(G0)^kof

– Sokkel(G) = N^k is regulier enG0 heeft 2 reguliere normaaldelersN en N^′.

Schets van het bewijs. AlsN de sokkel is van de primitieve groep G dan zijn er volgens de stelling over de sokkel van een primitieve groep 4 mogelijkheden :

(1) AlsN elementair abels en regulier is dan is G affien.

(2) AlsN het product is van 2 niet-abelse reguliere normaaldelers dan hebben we 2 mogelijkheden.

• als de 2 minimale normaaldelers simpel zijn dan is G van het diagonale type;

• anders is G een deelgroep van het sliertproduct van een diagonale groep (met 2 minimale normaaldelers) met een transitieve groep.

(3) AlsN een niet-abelse reguliere minimale normaaldeler is dan is G een niet-basis deelgroep van een sliertproduct.

(4) AlsN is een niet-abelse niet-reguliere minimale normaaldeler is dan is : N = T1× ... × Tr

het cartetische product vanr isomorfe niet-abelse simpele groepen. We kunnen aanne- men dat de verzamelingτ ={T1, ..., Tr} meer dan 1 element bevat , want anders is G bijna simpel.

Naast de gegeven transitieve actie vanG op Σ hebben we ook de transitieve actie vanG op τ via conjugatie :

∀g ∈ G, Ti∈ τ : T_i^g= g⁻¹Tig∈ τ

De actie van een stabilisatorGα, van een element vanτ , is ook transitief op τ omdat N een transitieve actie heeft op Σ en elk element van τ verzamelingsgewijs vasthoudt.

Nαis eenGα-invariante maximale deelgroep vanN want als Nα< K < N is, met K ook Gα-invariant dan isGα < KGα < G in tegenspraak met de primitiviteit van G. Voor elke Ti ∈ τ kunnen we N projecteren op Tivia een afbeeldingπi. Als we nu Si := (Nα)πistellen dan hebben wes1< T1ofterwels1= T1.

(4.1) Alss1 < T1dan is voor elkeTi ∈ τ ook si < Ti omdatGα een transitieve actie heeft opτ . Maar dit betekent dat de groep Nαbevat is in het product van zijn projecties :

Nα≤ s1× ... × sr

Aangezien de groep uit de rechterzijde van de ongelijkheidGα-invariant is hebben we een gelijkheid :

Nα= s1× ... × sr

Maar dit betekent dat de actie vanN op Ω isomorf is met de productactie van T1× ... × Tr, waarbij elkeTi∈ τ een actie uitvoert op de nevenklassen van si. We hebben dus :

G⊆ G1≀ srniet basis, G1primitief met sokkel T1

(4.2) Alss1= T1dan is voor elkeTi∈ τ ook si= TiomdatGαeen transitieve actie heeft opτ . Dit betekent dat τ een partitie heeft met s klassen van orde t, met st = r, zodatNαhet direct product is van de diagonale groepen op elk van de klassen. We hebben dan :

G≤ G1≀ ss,

enG1diagonale deelgroep van het product vant simpele groepen. Dit betekent :

• als s = 1 dan is G diagonaal;

• als s > 1 dan is G niet-basis.

1.7 Onafhankelijke Verzamelingen

We karakteriseren enkele types van onafhankelijke verzamelingen van een groep en bewijzen enkele eenvoudige eigenschappen over m(G), de maximale lengte van een onafhankelijke verzameling van de groepG. Dit als voorbereiding op de stelling van Whiston die aantoont dat voor elke deelgroepG van Sym(n) geldt dat m(G)≤ n − 1 en dat m(G) = n− 1 enkel kan voor G = Sym(n).

Definitie 1.7.1. Als we een familie elementenS van een groep G indexeren als S = {si| i ∈ I} dan noteren we voor J ⊆ I en i ∈ I : GJ:=hsi| i /∈ Ji , Gi:= G_{i}.

• S is een onafhankelijke verzameling van G indien ∀i ∈ I : si∈ G/ i.

• S is een sterke onafhankelijke verzameling van G als bovendien ∀J, K ⊆ I : GJ∩ GK = GJ∪K.

• S is een minimax verzameling van G indien S een onafhankelijke verzameling is vanG met maximale orde :∀S^′onafhankelijke verzameling vanG :|S^′| ≤ |S|.

• S is een onafhankelijke genererende verzameling van G indien S een onafhan- kelijke verzameling is vanG die G genereert : G =hSi. Een onafhankelijke genererende verzameling noemt men ook wel een minimale genererende verza- meling.

AlsH een deelgroep is van G kunnen we ook een relatieve versie definieren :

• S is een H-relatieve onafhankelijke verzameling van G indien ∀i ∈ I : si ∈/ hH ∪ Gii.

• S is een H-relatieve onafhankelijke genererende verzameling van G als boven- dienG =hH ∪ Si.

Als de groepA een actie uitvoert op G kunnen we nog een versie definieren :

• S is een A-onafhankelijke verzameling van G indien ∀i ∈ I : si∈ G/ ^A_i .

• S is een A-onafhankelijke genererende verzameling van G indien bovendien G =hSi.

We gebruiken volgende notaties voor een groepG :

• m(G) := max{|S| | S onafhankelijke verzameling van G}

• m(G, H) := max{|S| | S H-relatieve onafhankelijke verzameling van G}

• mA(G) mA(G) := max{|S| | S A-onafhankelijke verzameling van G}

• µ(G) := max{|S| | S minimale genererende verzameling van G}

• µ(G, H) := max{|S| | S H-relatieve onafhankelijke genererende verzameling vanG}

• µA(G) := max{|S| | S A-onafhankelijke genererende verzameling van G}

Aangezien een minimale genererende verzameling een onafhankelijke verzameling is, hebben we steeds

µ(G)≤ m(G)

Voor de groepG = PSL2(q) hebben we een voorbeeld waarbij µ(G) < m(G).

Stelling 1.7.2. Eigenschap voor normaaldelers :

• (1) Als N een normaaldeler is van de groep G dan is µ(G) ≤ µ(^G_N) + m(N ).

• (2) Als N bovendien abels is dan is µ(G) ≤ µ(^G_N) + mG(N ).

Bewijs.

(1.1) ZijS een onafhankelijke genererende verzameling van G. Als we s noteren voor het beeld vans in _N^G dan isS een genererende verzameling van_N^G en hebben we dus een deelverzamelingT van S zodat T een onafhankelijke genererende verzameling is van ^G_N. Dit betekent :

|T | ≤ µ(G

N) (1)

Voor elkes∈ S \ T geldt dat s ∈ _N^G =hT i. We hebben dus voor elke s ∈ S \ T een niet triviaal woordw(s) met elementen van T zodat :

s = w(s) en dus sw(s)⁻¹∈ N

(1.2) We tonen nu aan dat de verzamelingS^′ :={sw(s)⁻¹ | s ∈ S \ T } een onaf- hankelijke verzameling in vanN met|S^′| = |S \ T |.

AangezienS een onafhankelijke verzameling is van G, hebben we voor elke s∈ S \ T dats /∈ hT, (S \ T ) \ {s}i > is en dat tevens w(s) ∈ hT i is. Dit betekent dat voor elke s /∈ T geldt dat sw(s)⁻¹ ∈ huw(u)/ ⁻¹| u ∈ S \ T \ {s}i. Hiermee is aangetoond dat S^′een onafhankelijke verzameling is vanN met|S^′| = |S \ T |. Hieruit volgt dan dat :

|S \ T | ≤ m(N ) (2)

(1.3) Uit (1) en (2) volgt voor elke willekeurige onafhankelijke genererende verza- melingS van G dat :

|S| = |T | + |S \ T | ≤ µ(G

N) + m(N ) en dus µ(G)≤ µ(G

N) + m(N ) (2.1) We beschouwen de actieλ van G op N door conjugatie :

∀g ∈ G, n ∈ N : λ(n, g) = n^g= g⁻¹ng∈ N want gN = N g λ is een actie van G op N met N ⊆ Ker(λ) want :

• λ(n, 1G) = 1G.n.1G= n

• λ(λ(n, g), h) = h⁻¹.λ(n, g).h = h⁻¹.(g⁻¹.n.g).h = (gh)⁻¹.n.gh = λ(n, gh)

• Aangezien N nu abels is hebben we voor g ∈ N ,n ∈ N : λ(n, g) = g⁻¹.n.g = n.g⁻¹.g = n

(2.2) We tonen nu aan dat de verzamelingS^′ := {sw(s)⁻¹ | s ∈ S \ T } een G- onafhankelijke verzameling vanN is met|S^′| = |S \ T |.

Alssw(s)⁻¹∈ h(uw(u)⁻¹| u ∈ (S \ T ) \ {s}, g ∈ Gi dan volgt uit w(u), w(g⁻¹u)∈ T en g⁻¹u.w(u)⁻¹g = (g⁻¹u)w(ug⁻¹) voor u∈ S de contradictie dat s ∈ hu | u ∈ S\ si is omdat S een onafhankelijke verzameling is. Dit betekent :

|S \ T | ≤ mG(N ) (3)

(2.3) Uit (1) en (3) volgt dan :

µ(G)≤ µ(G

N) + mG(N )

Gevolg 1.7.3. Voor alle groepenG en H volgt uit µ(G) = m(G) dat µ(G× H) = µ(G) + µ(H).

Bewijs.

(1) Volgens de vorige stelling hebben we dat :

µ(G× H) ≤ µ(G× H

G ) + m(G)

AangezienF : H→ ^G×H_G : h⇒ G × {h} een homomorfisme is, hebben we dat : µ(G× H

G )≤ µ(H) Wegensµ(G) = m(G) hebben we reeds :

µ(G× H) ≤ µ(H) + µ(G) (1)

(2) AlsS een genererende verzameling is van G, en T een genererende verzameling is vanH dan is S∪ T een genererende verzameling van G × H. Dit betekent dat

µ(G) + µ(H)≤ µ(G × H) (2)

Opmerking 1.7.4. We weten niet ofµ(G× H) = µ(G) + µ(H) geldt voor elk paar groepenG en H.

Het voorgaand gevolg geeft enkel zekerheid alsµ(G) = m(G).

Definitie 1.7.5. Voor een groepG :

• noteren we dG, de minimale graad van groep G, voor de minimale orde van de verzamelingenΣ waarvoor G een permutatiegroep is.

• noteren we l(G), de maximale ketenlengte van groep G, voor de lengte l van de langste keten :1 = G0< G1<· · · < Gl= G van deelgroepen van G.

Propositie 1.7.6. Voor de minimale graad dG en de maximale ketenlengte lG van een groepG hebben we volgende eigenschappen :

• (1) lG ≤ log₂(|G|)

• (2) als |G| =Qn

i=1pⁿ_iⁱmetp1, ..., pnpriem dan is l(G)≤Pn i=1ni

• (3) m(G) ≤ l(G)

• (4) als G ≤ Sym(X) dan is |X| ≥ dG, als daarenboven G niet ingebed kan worden inSym(Y ) met Y ⊆ X dan is dG = |X|

• (5) als |G| > n! dan is dG > n

Bewijs.

(1)(2) Met elke keten van deelgroepenGi, i ∈ {0, ..., n} van G correspondeert een keten|Gi|, i ∈ {0, ..., n} van delers van |G| zodat |G0| = 1 | |G1| | ... |Gn| = |G|. Uit de regels van de elementaire rekenkunde volgt dan (1) en (2).

(3) AlsS = {s1, ..., sn} een onafhankelijke verzameling is van G dan hebben we volgende keten vanG :

{1} ≤ hs1i ≤ hs1, s2i ≤ ... ≤ hs1, ..., sni Hieruit volgt dan (3).

(4)(5) Uit de definitie van dG volgen (4) en (5).

Definitie 1.7.7. H is een bijna-simpele groep als er een niet abelse simpele groep T bestaat zodat :

T ≤ H ≤ Aut(T ) Stelling 1.7.8. AlsH een bijna-simpele groep is met :

• T ≤ H ≤ Aut(T ) met T een simpele niet-abelse groep

• m(Aut(T )) of l(Aut(T )) ≤ dT − k voor een getal k dan is :

m(H)≤ dH − k

Bewijs. Zoals voor elke groep hebben we :

m(H)≤ l(H) (1) AangezienH ≤ Aut(T ) hebben we ook :

l(H)≤ l(Aut(T )) (2) Er is gegeven dat :

l(Aut(T ))≤ dT − k (3) AangezienT ≤ H hebben we ook :

dT ≤ dH (4) Uit (1),(2),(3) en (4) volgt :

m(H)≤ dH − k

1.8 Permutatiegetallen

We sluiten dit hoofdstuk op een spleelse wijze af. We kunnen namelijk elke permutatie identificeren met een uniek permutatiegetal. Dit laat ons toe om permutaties op een computer op te slaan als natuurlijke getallen.

Stelling 1.8.1. Er bestaat een eenvoudige bijectie tussen de verzameling van de eindige permutaties en de verzameling der natuurlijke getallen. Als we de samenstelling van eindige permutaties overbrengen op de groep der permutatiegetallen N,L

dan is de groep N,L

isomorf met de groep der eindige permutaties. In het bijzonder geldt voor elken∈ N dat Sym(n) isomorf is met ({0, . . . , n! − 1},L) wat we noteren als (Nn,L)

Bewijs Als weφi := (1, 2, ..., i) stellen dan kan elke permutatie α∈ Sym(n) op een unieke manier geschreven worden alsα = Πⁿ⁻¹_i=1φ^m_i+1ⁱ met∀i ∈ {1, .., n − 1} : 0 ≤ mi ≤ i. We bewijzen dit per inductie :

• () = (1, 2)⁰en(1, 2) = (1, 2)¹

• als a = [a1, ..., an] dan bestaat er een unieke m < n zodat : a.σ^m_n = [b1, ..., bn−1, n]

en per inductie heeft het rechterlid reeds een unieke schrijfwijze inSym(n− 1) : [b1, ..., bn−1, n] = [b1, ..., bn−1]∈ Sym(n − 1)

Anderzijds kan elk natuurlijk getala < n! op een unieke manier geschreven worden alsa = Σⁿ⁻¹_i=1mii! met∀i ∈ {1, ..., n − 1} : 0 ≤ mi ≤ i. We bewijzen dit ook per inductie :

• 0 = 0.1! en 1 = 1.1!

• als a kleiner is dan n! dan kan men a op een unieke wijze schrijven als b + c(n − 1)! met c≤ n − 1 en b < (n − 1)!. En per inductie heeft b < (n − 1)! reeds een unieke schrijfwijze.

We hebben dus een bijectie :

F : Sym(+)→ N : Πⁿ⁻¹_i=1φ^m_i+1ⁱ → Σⁿ⁻¹_i=1mii!

We brengen de structuur van de groepSym(+) van de eindige permutaties over op (N,L) via :

aM

b := F (F⁻¹(a)F⁻¹(b))

Definitie 1.8.2. De groep(N,L) noemen we de groep der permutatiegetallen.

Stelling 1.8.3. In de groep(N,L) gelden volgende rekenregels :

• (1) ∀m < n, a ≤ m, b ≤ n : am!L bn! = am! + bn! want per definitie geldt : F⁻¹(σ(m + 1)^aσ(n + 1)^b) = am! + bn!

• (2) ∀m, a ≤ m, b ≤ m : am!L bm! = ((a + b) (mod m + 1))m! want : σ(m + 1)^aσ(m + 1)^b= σ(m + 1)^{(a+b) (mod m)}

• (3) ∀m < n : n!L m! = (m − 1)!^′+ (n− 1)(n − 1)! + 2n!, met k!^′ = k! als k > 0 en 0!^′ = 0 want :

σ(n + 1)σ(m + 1) = σ(m)σ(n)⁻¹σ(n + 1)² Voorbeeld 1.8.4. We berekenen15L 16.

15M

16 = (3M (12M

4)) + 12 (mod 24) (1) We tonen in 3 stappen aan dat12L 4 = 11 :

5M

5 = (1M (4M

1))+4 (mod 6) = (1M

3)+4 (mod 6) = (1M

1)+2+4 (mod 6) = 0 11M

2 = 5M (6M

2) = 5M

17 = (5M

5) + 12 = 12 12M

4 = (11M 2)M

4 = 11M (2M

4) = 11 (2) We tonen in 3 stappen aan dat3L 11 = 8 :

3M

5 = 1M (2M

1) + 4 (mod 6) = (1M

5) + 4 (mod 6) = (1M

1) + (4 + 4) (mod 6) = 0 + 8 (mod 6) = 2 (4)

3M

11 = (3M

5) + 6 (mod 24) = 2 + 6 = 8 (3) Uit (1),(2) en (3) volgt :

15M

16 = 8 + 12 = 20

Hoofdstuk 2

INCIDENTIEMEETKUNDE

2.1 Incidentiestructuren

Als we groepen meetkundig willen onderzoeken moeten we het begrip van een meet- kunde veralgemenen. Hiervoor moeten we ons loskoppelen van de algebraische kijk op meetkunde door middel van coordinaten en teruggrijpen naar de methode van de oude grieken die een bewust onderscheid maakten tussen een meetkundige rechte en een getallenrechte. Door te vertrekken van uit incidentiestructuren grijpen we terug naar de axiomatische zuivere meetkunde.

Definitie 2.1.1. Γ(V, T, t,∗) is een incidentiestructuur m

• V is een verzameling;

• T is een verzameling;

• t : V → T is een surjectieve afbeelding, type genoemd;

• ∗ een symmetrische relatie ’incident met’ op V × V .

De rang van de incidentiestructuur Γ is |T |. We noemen de incidentiestructuur Γ eindig als|V | eindig is.

Definitie 2.1.2. Een incidentiestructuur

Γ(V, T, t,∗)

van rang2 wordt meestal voorgesteld door Γ(P, L, F ) waarbij men de elementen van P punten noemt en de elementen van L rechten noemt zodat :

• V = P ∪ L

• T = {punt, rechte}

• t(P ) = punt en t(L) = rechte

• ∀x, y ∈ V : x ∗ y ⇔ {x, y} ∈ F

2.2 Grafen en Bomen

Definitie 2.2.1. Een graaf(V, E) met toppen V en bogen E is een incidentiestructuur van rang2 waarbij V de verzameling is van de punten en E de verzameling van de rechten zodat elke rechte incident is met juist2 punten. Een weg in een graaf (V, E) is een geordende deelverzameling{ai | i := 1...n} van verschillende punten van V zodat{ai, ai+1} ∈ E voor i := 1 . . . n − 1. Een cykel in een graaf (V, E) is een weg {ai | i := 1...n} in graaf (V, E) met {a1, an} ∈ E. De lengte van een weg {ai | i := 1 . . . n} in de graaf (V, E) is n. De lengte van een cykel {ai | i := 1...n}

in de graaf(V, E) is n + 1. De afstand dst(a, b) tussen 2 toppen a, b van een graaf is de lengte van de kortste weg vana naar b. We noteren dst(a, b) =∞ als er geen weg is vana naar b. Een samenhangende graaf is een graaf waarbij er een weg is tussen elke2 toppen.

Definitie 2.2.2. Een boom is een samenhangende graaf zonder cykels.

Lemma 2.2.3. Er zijnnⁿ⁻²bomen metn toppen.

Bewijs via de Pr ¨ufer-codering

Elke boomT met toppenverzameling K ={1, ..., n} kunnen we coderen door een rij van lengten− 2 van elementen van K. (1)

• Voor n = 2 is de code eenvoudig : de lege rij. Immers, 2 toppen bepalen 1 boom.

• Om van een boom T op K de code te vinden neem je het blad k (een top incident met juist1 boog) met de kleinste rangnummer in K. Het blad k ligt op juist 1 tak{k, l}. De codering van T is nu de rij met kop l en als staartrij de codering van de ingekorte boomT^′met toppen verzamelingK\ {k} die ontstaat door uit T het blad k en de tak{k, l} te verwijderen.

De bladeren van een boomT op K zijn de elementen van K die niet in de codering R van T voorkomen want :

• Wat in de codering R van boom T voorkomt is geen blad want als een blad wordt afgeknipt kan de top waar het aan vastzit geen blad zijn.

• Bij het proces worden alle knopen uiteindelijk weggelaten. Op het ogenblik dat ze worden weggelaten zijn het bladeren. Als ze dat niet vanaf het begin waren, dan zijn ze ten minste eenmaal opgeschreven, namelijk op het ogenblik ze blad werden in het proces (en misschien nog wel eerder).

Omgekeerd is elke rijR van lengte n− 2 van elementen van K de codering van juist1 boom op K. (2)

• Zij k het kleinste element van K dat niet in R voorkomt en l het eerste getal uit de rijR.

• Zij R^′de rij die ontstaat door uitR het eerste element l weg te laten.

• De boom met codering R wordt dan recursief bepaald door aan de boom op K^′ = K− {k} met codering R^′de tak{k, l} toe te voegen.

Uit (1) en (2) volgt dat ernⁿ⁻²bomen zijn met toppenverzameling{1, . . . , n}.

Propositie 2.2.4. Het product vann− 1 transposities t1, . . . , tn−1uitSym(n) is een n-cykel enkel en alleen als de bogen t1, . . . , tn−1, corresponderend met deze transpo- sities, een boom vormen.

Bewijs

(1) Alst1, . . . , tn−1geen boom vormt opn toppen dan zijn er 2 toppen a en b die niet kunnen worden verbonden door een pad. Dit betekent dat geen enkele samenstelling van de transposities de topa kan afbeelden naar de top b. In dit geval kan het product t1. . . tn−1 geen n-cykel zijn want de groep gegenereerd door een n-cykel is steeds transitief.

(2) Als t1, . . . , tn−1 een boom vormen dan bewijzen we eerst dat het product t1, . . . , tm−1 voor m ≤ n bestaat uit n − m + 1 cykels. Dit bewijs loopt samen met het bewijs dat de graafGmmet toppena1, . . . , anen bogent1, . . . , tm−1bestaat uitn− m + 1 boomcomponenten.

De propositie geldt voorm = 2 want G2met als enige boogt1= (a1, a2) bestaat uit n−2+1 = n−1 boomcomponenten t1,{a3}, . . . , {an} met t1= (a1, a2)(a3) . . . (an).

Als de propositie geldt voorm = k dan geldt ze ook voor m = k+1 want tk+1verbindt 2 boomcomponenten van Gk+1 tot 1 boom. Dit betekent dat Gk+1 1 boomcoment minder heeft danGken dus(m− k + 1) − 1 = m − (k + 1) + 1 boomcomponenten heeft. Door de partitie van boomcomponenten betekent een vermenigvuldiging van t1. . . tk mettk+1 = (b, c) dat de 2 cykels waartoe a en b behoren samen een cykel vormen en we het produktt1. . . tkdus ook uit(m− k + 1) − 1 = m − (k + 1) + 1 cykels bestaat.

2.3 Pre-meetkunden en Meetkunden

Definitie 2.3.1. Een vlag is een verzameling paarsgewijze incidente elementen. Een kamer is een vlag die van elk type een element bevat.

In de Euclidische 3-dimensionale ruimte bestaat een vlag bijvoorbeeld uit een vlak en een punt in dit vlak. Een kamer bestaat hier steeds uit een vlak, een rechte in dat vlak en een punt op die rechte.

Definitie 2.3.2. Het residuΓF van een vlagF in een incidentiestrucuur Γ(X, T, t,∗) is de incidentiestructuurΓF(XF, I\ t(F ), tF,∗) geinduceerd op de verzameling XF

van alle elementen van typeI\ t(F ) welke incident zijn met elk element van de vlag F . In de Euclidische 3-dimensionale ruimte is het residu van een vlag{p, α}, waarbij het puntp in het vlak α ligt, de stralenwaaier van alle rechten door p die in het vlak α liggen.

• StabG(FJ) = GJ

• ΓFJ = Γ(GJ, (GJ∪{k}: k∈ I \ J))

• de Borel deelgroep van Γ is B := GI =∩i∈IGi

Definitie 2.3.3. Een nevenklasse-pre-meetkunde Γ(G, (Gi)i∈I) van een groep G, waarbij(Gi)i∈I een eindige niet-ledige familie van verschillende deelgroepen vanG is, is een incidentiemeetkunde(X, I, t,∗) waarbij :

• de verzameling X, van elementen van Γ, bestaat uit alle rechtse nevenklassen Gig met g∈ G en i ∈ I;

• de typeverzameling I van eindige orde n is, de rang van Γ;

• de typefunctie t van Γ gedefinieerd wordt door t(Gig) = i voor i∈ I en g ∈ G;

• de incidentierelatie ∗ op X gedefinieerd wordt door Gig1∗ Gjg2 ⇔ Gig1∩ Gjg26= ∅

Propositie 2.3.4. In een pre-nevenklasse-meetkunde geldt :

• G, is door rechtse vermenigvuldiging, een automorfismengroep op Γ(G, (Gi)i∈I).

• de actie van G op de elementen van type i is transitief.

• StabG(Gi) = Gi

Bewijs.

• G respecteert het type : de actie van g ∈ G op Gig1 van typei geeft ons het beeldGig^g₁= Gig1g terug van type i.

• G respecteert de incidentie : als Gig1∩ Gjg26= ∅ dan is Gig1g∩ Gjg2g6= ∅.

G is transitief op de elementen van type i want voor 2 elementenGig1enGig2hebben we steeds eeng := g₁⁻¹g2zodatGig₁^g = Gig2. AangezienG^g_i = Gienkel en alleen alsg∈ Gihebben weStabG(Gi) = Gi

De structuur van een nevenklasse-pre-meetkunde is te algemeen. Als we een struc- tuur wensen die meer lijkt op deze van de klassieke meetkunden dan hebben we meer axioma’s nodig.

Definitie 2.3.5. Een meetkunde is een pre-meetkunde waarbij elke vlag bevat is in een kamer.

Definitie 2.3.6. (FT) Een pre-meetkundeΓ(G, (Gi)i∈I) is vlagtransitief als de groep G een transitieve actie heeft op de vlaggen van om het even welk typeJ ⊆ I.

Reeds Euclides veronderstelde, in zijn Elementen, de vlagtransitiviteit in het Euclidisch vlak bij zijn beschrijving van congruente lijnstukken en congruente driehoeken.

In een vlagtransitieve meetkunde kan elke vlag van het typeJ ⊆ I worden afgebeeld op de vlagFJ:={Gj: j ∈ J}.

Definitie 2.3.7. (F) : een meetkundeΓ is ferm als elke niet-maximale vlag van Γ bevat is in minstens 2 kamers.

Zo is de vlakke Euclidische meetkunde ferm omdat door elk puntp minstens 2 rechten L en R gaan, waarbij{p, L} en {p, R} 2 kamers zijn die p bevatten.

Definitie 2.3.8. (RC) : een meetkundeΓ is residueel samenhangend als de incidentie- graaf van elk residu, van rang≥ 2 samenhangend is.

Men kan nagaan dat de driedimensionele Euclidische meetkunde residueel samenhan- gend is. Als we bijvoorbeeld het residu van een puntp beschouwen dat bestaat uit alle rechten en alle vlakken doorp dan hebben we in de incidentiegraaf van dit residu voor elke 2 elementen van dit residu steeds een weg van het ene naar het andere element :

• voor 2 rechten L en R door p hebben we in de incidentiegraaf van ons residu een weg vanL naar R :

L∗ hL, Ri ∗ R

waarbijhL, Ri het vlak door L en R en dus ook door p is.

• voor 2 vlakken α en β door p hebben we in de incidentiegraaf van ons residu een weg vanα naar β :

α∗ α ∩ β ∗ β

waarbijα∩ β de snijlijn is van de vlakken α en β die ook door p gaat.

• voor een rechte L door p en een vlak α door p hebben we steeds een vlak β dat L en dus ook p bevat waarbij de snijlijn van α en β door p gaat. Dit geeft ons volgende weg vanL naar α :

L∗ β ∗ β ∩ α ∗ α

Definitie 2.3.9. (PRI) Een meetkundeΓ(G, (Gi)i∈I) is primitief als voor elke i∈ I geldt dat de actie vanG op de elementen van type i primitief is.

Propositie 2.3.10. Als we deze axioma’s voor een nevenklassemeetkunde Γ(G, (Gi)i∈I)

vertalen in groep theorie hebben we volgende resultaten :

• (F) De deelgroepen GJvoorJ ⊆ I zijn allen verschillend.

• (RC) Als J ⊂ I en |J| < |I| − 1 dan is GJ =hGJ∪{k}: k∈ I \ Ji

• (FT) Als er een familie (Gjxj)j∈J van rechtse nevenklassen is met een paars- gewijze niet-triviale doorsnede, dan is er een element van G dat tot elk van deze nevenklassen behoort.

• ( RWPRI) Voor elkeJ ⊂ I bestaat er een k ∈ I \J zodat GJ∪{k}een maximale deelgroep is vanGJ.

Aangezien de actie vanG op de nevenklassen van van Gienkel en alleen primitief is alsGieen maximale deelgroep is van G betekent de RWPRIvoorwaarde dat de groep GJ een primitieve actie heeft op minstens 1 type van elementen in het residu van de standaard vlagFJ ={Gj|j ∈ J} van type J.

2.4 Projectieve en Polaire Ruimten

Voor meer detail verwijzen we naar de cursussen [5] en [6] of eender welk boek over incidentiemeetkunde. De klassieke lineaire groepen zijn transformatiegroepen van pro- jectieve en polaire ruimten. Dit is dan ook de reden waarom deze 2 laatste secties in deze thesis zijn opgenomen.

Definitie 2.4.1. De incidentiegraaf van een incidentiestructuurΓ(P, L, F ) van rang 2 is de graaf :

(V, E) := (P∪ L, {{p, l} | (p, l) ∈ F }

Aan de hand van incidentiegraaf(V, E) van de incidentiestructuur Γ kan men het vol- gende overdragen opΓ :

• De diameter van Γ is de grootst mogelijk afstand tussen 2 toppen in de inciden- tiegraaf vanΓ.

• Vermits 2 elementen van hetzelfde type in Γ nooit incident zijn, zal een cykel steeds even lengte hebben. De helft van de lengte van de kortste niet-triviale cykel in de incidentiegraaf vanΓ heet de gonaliteit van Γ. Een cykel van lengte 2g wordt ook wel een gewone g-gon of een gewone g-hoek genoemd.

• Twee punten zijn collineair als ze incident zijn met een gemeenschappelijke rechte. Twee rechten zijn concurrent als ze incident zijn met gemeenschappe- lijk punt.

Definitie 2.4.2. Een incidentiestructuurΓ(P, L, F ) van rang 2 is een partiele lineaire ruimte

m

• Γ is incidentiestructuur.

• Elke rechte is incident met minstens 2 punten.

• Twee verschillende punten incideren met hoogstens 1 rechte.

Definitie 2.4.3. Een incidentiestructuurΓ(P, L, F ) van rang 2 met incidentiegraaf(V, E) is een veralgemeende n-gon

m

• alle 2 elementen van P ∪ L kunnen verbonden worden door een n-hoek, diam(Γ) = n;

• er zijn geen k-hoeken met k < n in de partieel lineaire ruimte Γ, gon(Γ) = n;

•

Indien er in de veralgemeenden-hoek Γ bovendien een (n+1)-hoek bestaat dan noemt menΓ een dikke veralgemeende n-hoek.

Stelling 2.4.4. Γ(P, L, F ) is een dikke veralgemeende driehoek

⇓

• Door elke 2 punten gaat juist 1 rechte.

• Elke 2 rechten snijden in juist 1 punt.

• Er bestaan 4 punten waarvan er geen 3 collineair zijn.

Elke incidentiestructuur die aan bovenstaande drie axioma’s voldoet, noemen we een axiomatisch projectief vlak.

Bewijs.

Omdat elke2 punten kunnen verbonden worden door een driehoek gaat er door elke 2 punten een rechte. De uniciteit van die rechte volgt uit de definitie van een partieel lineaire ruimte.

Omdat elke2 rechten kunnen verbonden worden door een driehoek hebben elke 2 rechten een snijpunt dat uniek is omdatΓ een partiele lineaire ruimte is.

OmdatΓ dik is, zijn er 4 punten waarvan geen 3 collineair.

Stelling 2.4.5. Γ(P, L, F ) is een dikke veralgemeende vierhoek (GQ)

⇓

Γ(P, L, F ) is een partieel lineaire ruimte met volgende eigenschappen :

• (BS1) Elke rechte heeft ten minste 3 punten.

• (BS2) Geen enkel punt is collineair met elk ander punt.

• (BS3’) Γ is van rang 2.

• (BS4) ∀ anti-vlag (p, l) ∈ (P × l) \ F ∃! vlag (q, r) ∈ F : (p, r), (q, l) ∈ F Elke incidentiestructuur die aan bovenstaande vier axioma’s voldoet, noemen we een polaire ruimte van rang 2 of een veralgemeende vierhoek.

Bewijs.

(BS1) Elke rechte heeft minstens3 punten want Γ is dik.

(BS2) Geen enkel punt collineair met elk ander punt want er zijn geen driehoeken in Γ.

(BS3’) Γ is van rang 2.

(BS4) Een puntx niet gelegen op een rechte L kunnen we met elkaar verbinden door een vierhoek. Er is geen andere rechte diex verbindt met L want er zijn geen tweehoeken en driehoeken inΓ.

2.5 Automorfismegroepen

In deze sectie beginnen we uiteindelijk te begrijpen waarom meetkunden van belang zijn bij de bestudering van groepen.

Definitie 2.5.1. De automorfismegroep van een incidentiestructuurΓ(V, T, t,∗) is de groep van alle permutaties van de puntenverzamelingV die het type en de incidentie bewaren.

Aut(Γ) :={g ∈ Sym(V ) | ∀x, y ∈ V : tg(x) = t(x), x ∗ y ⇒ g(x) ∗ g(y)}

Een automorfismegroep is een deelgroep vanAut(Γ).

Voorbeeld 2.5.2. Van de desarguesiaanse projectieve vlakkenPG2(Fq) is bekend dat hun automorfismegroepPSL3(q) de groep lineaire afbeeldingen van de onderliggende vectorruimte is, uitgedeeld naar de scalaire matrices en voorzien van een eventueel lichaamsautomorfisme. Dit is de fundamentaalstelling van de Projectieve Meetkunde.

Voorbeeld 2.5.3. Een affien vlakΓ kunnen we op een unieke manier complementeren tot een projectief vlakΓ, waartoe elk automorfisme van het affien vlak zal uitbreiden.

Deze uitbreiding zal noodgedwongen de toegevoegde rechte op oneindig op zichzelf afbeelden. Elke automorfisme van het projectief vlak, datl∞vasthoudt, zal een auto- morfisme definieren op de affiene punten. Zijn werking op de punten vanl∞vertaalt zich dan in een permutatie van de parallelklassen. We besluiten dat :

Aut(Γ) = Aut(Γ)l∞.

Definitie 2.5.4. ZijV een vectorruimte over een lichaam L. Zij σ : L→ L een anti- automorfisme, d.w.z. een isomorfismeL, +, .→ L, +, ∗ met a ∗ b = b.a :

• (a + b)^σ= a^σ+ b^σ

• (ab)^σ= b^σa^σ

Een afbeelding g : V × V is een (σ,id)-lineaire afbeelding indien voor elke v, v^′, w, w^′∈ V en elke a, b ∈ L geldt dat :

• g(v + v^′, w + w^′) = g(v, w) + g(v, w^′) + g(v^′, w) + g(v^′, w^′)

• g(va, wb) = a^σg(v, w)b

Voorǫ∈ {1, −1} definieren we dan de (σ,ǫ)-hermitische vorm f : V × V → L als : f (v, w) = g(v, w) + ǫg(w, v)^σ

We stellen doorLσde deelgroep voor van de additieve groep van L gevormd door de verzameling

{t − t^σ | t ∈ L}

We onderscheiden volgende soorten bilineaire vormen :

• f is symmetrisch ⇔ σ = id en f (w, v) = f (v, w);

• f is hermitisch ⇔ σ 6= id en f (w, v) = f (v, w)^σ;

• f is symplectisch ⇔ σ = id en f (w, v) = −f (v, w);