Definitie 5.5.1. De Frattini deelgroepΦ(G) van een groep G is de doorsnede van alle
maximale deelgroepen van G. Een elementx∈ G is een nongenerator als voor elke
deelverzamelingS van G uithx, Si = G volgt dat hSi = G
De volgende propositie geeft ons een verband tussen de Frattini deelgroep en de genererende verzamelingen van G.
Propositie 5.5.2.
hΦ(G) ∪ Si = G ⇔ hSi = G
Bewijs. De verzameling van alle nongenerators is juist de groepΦ(G) want : • x ∈ Φ(G) ⇒ x nongenerator van G.
Uithx, Si = G en hSi 6= G volgt dat S bevat is in een maximale deelgroep M van G. Anderzijds volgt uit x ∈ Φ(G) dat x ∈ M . Maar dan hebben we hx, Si ≤ M 6= G, een condradictie, en dus is hSi = G.
• x nongenerator van G ⇒ x ∈ Φ(G).
Alsx /∈ Φ(G) dan bestaat er een maximale deelgroep M van G zodat x /∈ M .
Dit betekent dathx, M i = G. Aangezien x een nongenerator is van G volgt
hieruit de contradictie dathM i = G. Dus x ∈ Φ(G).
AangezienΦ(G) ={x1, . . . , xn} hebben we :
hSi = G ⇔ hx1, Si = G ⇔ h. . . , x2, x1, Si = G⇔ hx1, . . . , xn, Si = G ⇔ hΦ(G) ∪ Si = S
De volgende propositie geeft ons een verband tussen onafhankelijke genererende verzamelingen vanG en onafhankelijke genererende verzamelingen van G
Φ(G). Stelling 5.5.3. S ={s1, . . . , sn} is een B-relatieve onafhankelijke genererende
verza-meling van G
m
{Φ(G)s1, . . . , Φ(G)sn} is een Φ(G)BΦ(G) -relatieve onafhankelijke genererende verzame-ling vanΦ(G)G
Definitie 5.5.4. G is een Frattini vrije groep indien Φ(G) ={1G}.
Stelling 5.5.5. Als Γ(G, (Gi)i∈I) een ferme RWPRI nevenklassemeetkunde is dan geldt voor elkei∈ I dat Φ(G) ⊂ Gi
Bewijs. Voor de ferme RWPRI nevenklassemeetkundeΓ(G, (Gi)i∈I hebben we steeds een onafhankelijke genererende verzamelingS := {gi ∈ G | i ∈ I} van G
zodat voor elkei∈ I geldt :
Gi=hS \ {gi}i.
Maar dit betekent dat voor elkei∈ I de groep Gieen maximale deelgroep is vanG.
Uit de definitie van een Frattini deelgroep volgt dan :
Als we nu voor eeni∈ I zouden hebben dat Φ(G) = Gidan hebben we ook voor een
j ∈ I \ {i} dat Gi = Φ(G) ⊆ Gj maar dit kan niet omdat in een ferme meetkunde geldt datGi6= GjenGienGjmaximale deelgroepen zijn van G. Dus hebben we :
Φ(G)⊂ Gi
Stelling 5.5.6. Elke ferme RWPRImeetkunde is isomorf met een ferme RWPRI meet-kunde van een Frattini vrije groep :
Γ1:= Γ(G, (Gi)i∈I) ∼= Γ2:= Γ( G Φ(G), (
Gi
Φ(G)))i∈I).
Bewijs. Een meetkunde waar alle stabilisatorenGieen normale deelgroepΦ(G) van
G bevatten is isomorf met de meetkunde van de Frattini vrije quotientgroepΦ(G)G .
F : Γ1→ Γ2: Gig→ Gi Φ(G)
is een isomorfisme want :
• t(Gig) = i = t(Φ(G)Gi g) • Gig1∩ Gjg2=∅ ⇔ Gi
Φ(G)g1∩Φ(G)Gj g2
Opmerking 5.5.7. Door enkel meetkunden op Frattini vrije groepen te beschouwen wordt het aantal te onderzoeken groep flink uitgedund.
Volgens GAP zijn er 49.500.460.704 eindige groepen met een orde die kleiner is dan 1536. Er zijn echter slechts 7.818 frattini vrije groepen met een orde kleiner dan 1536. Alhoewel er biljoenen groepen van ordepk bestaan, is er slechts een enkele Frattini vrije groep van ordepk, namelijk de elementaire abelse groep.
Hoofdstuk 6
DE PROJECTIEVE
SPECIALE LINEAIRE
GROEP
6.1 M¨obius Transformaties en Deelgroepen
Propositie 6.1.1. De centrumgroep vanPSL2(q) is triviaal.
Bewijs. Het centrum vanGL2(q) bestaat uit alle scalaire matrices λInmetλ∈ F∗ q. Het is dan duidelijk dat het centrum vanPSLn(q) = Z(SLn(q))SLn(q) metSLn(q) = GLn(q)F∗
q
triviaal is.
Definitie 6.1.2. M¨obius transformaties.
We beschouwen de volgende actie vanP GL2(q) op de projectieve rechte P1(q) : P1(q)0={(a, 1) | a ∈ Fq} ∪ {1, 0} x y a b c d = ax + by cx + dy Via de bijectie : PG1(q0)→ Fq∪ {∞} : (a, 1) → a; (1, 0) → ∞
kunnen we de actie vanPGL2(q) op PG1(q0) overdragen naar een actie van PGL2(q)
op Fq∪ {∞}: z a b c d =az + b cz + d
Met deze homogene notatie voorz = xy voor het projectief punt (x,y) enax+bycx+dy = az+bcz+d
voor het projectief punt(ax + by, cz + dy) hebben we dan volgende rekenregels : (1, 0) =1
0 =∞, 1
Voorz = ∞ wordt de homogeniteit met het corresponderend punt bewaart als men
de transformatie schrijft als a+b/zc+d/z. We hebben dan een isomorfisme tussenPGL2(q)
en deze groep transformaties, de zogenaamde M¨obius transformaties. De beperking van dit isomorfisme totPSL2(q) impliceert dan een isomorfisme tussen PSL2(q) en de
M¨obius transformaties waarvan de determinanten een kwadraat zijn in F∗q.
Propositie 6.1.3. PGL2(q) heeft een scherpe 3-transitieve actie op Fq∪ {∞}, via de
M¨obius transformaties
Bewijs. We moeten aantonen dat er juist 1 M¨obius transformatie is die (0, 1,∞)
afbeeldt op zichzelf. Dit is zo, want enkel de matricesM ∈ GL2(q) met waarden a = d6= 0, b = 0, c = 0 ∈ Fqenad− bc 6= 0 voldoen aan onderstaand stelsel :
• 0M = 0 geeft b/d = 0 en dus b=0
• 1M = 1 geeft a + b = c + d en dus a = d6= 0 • ∞M =∞ geeft a/c = ∞ en dus c=0
En verder isPGL2(q) =Z(GL2(q))GL2(q) met Z(GL2(q)) = Fq∗Ende groep van de scalaire matrices. Dit wil zeggen dat de matrixM = Enuniek is inPGL2(q)
Stelling 6.1.4. De maximale deelgroepen vanPSL2(q) = PSL2(pr) behoren tot
vol-gende klassen :
• klasse C1: puntstabilisators opP1(q) = Fq∪ {∞}; • klasse C2:
– Dq−1als q oneven is, – D2(q−1)als q even is;
• klasse C3
– Dq+1als q oneven is, – D2(q+1)als q even is;
• klasse C5: deelveldgroepPSL2(ps).a met s < r en a≤ 2; • klasse C6:Alt(4).a als q=p (of r=1) met p≥ 5 en a ≤ 2; • klasse S: Alt(5) als q = ±1 (mod 10).
Schets van het bewijs. Voor het volledig bewijs verwijzen we naar [17]. We overlo-pen in grote lijnen de mogelijkheden die de stelling van Aschbacher O’Nan Scott ons biedt :
G < PSL2(q)
• Men toont eerst aan dat een maximale deelgroep G geen deelgroep zijn van een
imprimitieve groepGLk(ps)≀ Sym(m) met n = km.
• Als G een deelgroep is van niet-basis primitieve groep dan kan onze vectorruimte Fq = Fpr geschreven worden als Fq = Fq0× . . . × Fq0 en isG = PSLk(q0)≀ Sym(m) < PSL2(q) met m = 1 of 2 en q0= ps, s < r. G noemt men dan een
• Als G een deelgroep is van de affiene groep AGL2(q) dan is G maximaal als G = AGL2(q) waarbij G dan een puntstabilisator AGL2(q) is die 1 punt (oneigenlijk
punt genoemd) vasthoudt van de rechteP1= Fq∪ {∞}.
• Als G een deelgroep is van een diagonale groep Dm dan kanG enkel
maxi-maal zijn inPSL2(q) als G = Dm.Aangezien|Dm| = m en |PSL2(q)| =
q
(2,q−1)(q2− 1) en Dmeen maximale deelgroep moet zijn vanPSL2(q) kan dit
enkel voor :
– m = q− 1 of m = q + 1 als q even is ;
– m = 2(q− 1) of m = 2(q + 1) als q oneven is.
• Als G een bijna-simpele groep is dan moeten we nagaan welke simpele groepen
gebruikt kunnen worden. Dit blijkt enkelAlt(5) te zijn onder bepaalde
voor-waarden voor q.Alt(4).a deelgroep van Alt(6) kan ook de maximaliteit van G
garanderen alsq = p priem is :
– Alt(5) kan enkel deelgroep van PSL2(q) zijn als 60, de orde van Alt(5),
een deler is van|PSL2(q)| = (2,q−1)q (q2−1). Uit 5 deelt (q−1)(q+1) volgt q =±1 (mod 5) en samen met q oneven geeft dit q = ±1 (mod 10);
– Alt(4) kan enkel deelgroep zijn van PSL2(p) voor p ≥ 5 want anders is PSL2(p) niet simpel.
– Alt(4).2 kan enkel deelgroep zijn van PSL2(p) als 24, de orde van Alt(4).2, een deler is van|PSL2(p)| = p2(p2− 1).Dit kan enkel als 16 een
deler is van(p− 1)(p + 1). Dus enkel in het geval dat p = ±1 (mod 8) is.
Gevolg 6.1.5. Uit vorige stelling volgt :
• P GL2(q) heeft minstens 3 deelgroepen;
• Alt(5) is enkel en alleen een maximale groep van PSL2(p) als p = ±1 (mod 10);
• Sym(4) = Alt(4).2 is enkel en alleen een maximale deelgroep van PSL2(p) als p =±1 (mod 8);
• twee isomorfe maximale deelgroepen van PSL2(q) zijn steeds geconjugeerd
in PGL2(q) want dit geldt voor elke klasse van maximale deelgroepen van PSL2(q). Merk ook op dat in PGL2(q) alle groepen isomorf met PSL2(q)
ge-conjugeerd zijn.