4.5 Het Basis Primitief Geval
4.5.3 Het Bijna-Simpele Geval
Geval van een bijna-simpele groep van het lineaire type
Voorp priem en q = pr en m ≥ 2 en (m, q) 6= (2, 2), (2, 3) is PSLm(q) = Am−1(()q) een simpele groep met :
• (1’) |PSLm(q)| = q m(m−1) 2 (m,q−1) Qm−1 i=1 (qi+1− 1); • (2’) voor m = 2 is |Out(PSLm(q))| = r(m, q − 1); • (3’) voor m > 2 is |Out(PSLm(q))| = 2r(m, q − 1);
• (4’) d(PSLm(q)) = qq−1m−1, het aantal punten van de projectieve ruimte
PG(Fqm) waarop PSLm(q) een transitieve actie heeft.
Propositie 4.5.3. Als de stelling van Whiston geldt voork < n en S een onafhankelijke
verzameling is vanSym(n), met G =hSi, en er bestaat een s ∈ S zodat T ≤ H = hS \ {s}i ≤ Aut(T ) ≤ Sym(n) met T = PSLm(q), dan is m(H) ≤ n − 3 en dus m(G)≤ n − 2.
Bewijs. AangezienH een bijna-simpele groep is met T = PSLm(q) en T ≤ H ≤ Aut(T ) volstaat het dat we voor elke mogelijkheid van T aantonen dat :
l(Aut(T ))≤ dT − 3 of m(G) ≤ d(G) − 2
(1) Voor(m, q) in het domein (m ≥ 3, q ≥ 5) ∪ (m = 4, q ≥ 4) ∪ (m ≥ 5, q ≥ 2)
is l(Aut(T ))≤ dT − 3 want : • (1.1) dT = qq−1m−1 (cfr. (T4));
• (1.2) |Aut(T )| ≤ 2qm2
(cfr. (1.2));
• (1.3) 1 + m2log2(q)≤qq−1m−1− 3 (cfr. (1.3));
• (1.4) l(Aut(T )) ≤ log2|Aut(T )| ≤ 1 + m2log2(q)≤ qq−1m−1− 3 ≤ dT − 3.
(2) Voor de volgende specifieke gevallen is l(Aut(T ))≤ d(T ) − 3 want uit (1’) en
(3’) volgt : • (2.1) d(PSL3(4)) = 64−14−1 = 21,|Aut(T )| = 4.64(16−1)(64−1) = 28.33.5.7, l(Aut(T ))≤ 8 + 3 + 1 + 1 = 13 ≤ 18 ≤ dT − 3 • (2.2) d(PSL3(3)) = 27−13−1 = 13,|Aut(T )| = 2.27(9 − 1)(27 − 1) = 25.33.13, l(Aut(T ))≤ 5 + 3 + 1 = 9 ≤ 10 ≤ dT − 3 • (2.3) d(PSL4(3)) = 81−13−1 = 40,|Aut(T )| = 2.36(9− 1)(27 − 3)(81 − 1) = 211.37.5, l(Aut(T ))≤ 11 + 7 + 1 = 19 ≤ 37 ≤ dT − 3
(3) Voor(m, q) = (3, 2) is m(G)≤ d(G) − 2 want : • (3.1) m(PSL3(2))≤ 4 (cfr. AT)
• (3.2) d(PSL3(2)) = 23− 1 = 7
• (3.2) uit (3.1) en (3.2) volgt m(G) ≤ 4 ≤ 7 − 2 = d(PSL3(2))− 2
(4) Voorm = 2 en q≥ 23 is l(Aut(T )) ≤ dT − 3 want : • (4.1) dT = qq−12−1 = q + 1,
• (4.2) |Aut(T )| ≤ 2q4,
• (4.3) l(Aut(T )) ≤ 1 + 4log2(q), • (4.4) 1 + 4log2(q)≤ q − 2,
• (4.5) l(Aut(T ) ≤ 1 + 4log2(q)≤ q − 2 ≤ dT − 3.
(5) Voor m=2 en11≤ q ≤ 19 of q = 8 is l(Aut(T )) ≤ dT − 3 want : • (5.1) dT = qq−12−1 = q + 1,
• (5.2) |Aut(T )| = rq(q2− 1),
• (5.3) voor T = PSL2(8) is dT = 9 en l(Aut(T )) = 6 (cfr. AT) en dus l(Aut(T )≤ dT − 3,
• (5.4) voor T = PSL2(11) is dT = 12 en|Aut(T )| = 11.120 = 23.3.5.11 en
dus l(Aut(T ))≤ 6 en dus ook l(Aut(T )) ≤ dT − 3,
• (5.5) voor T = PSL2(13) is dT = 14 en|Aut(T )| = 13(13 − 1)(13 + 1) = 12.13.14 = 23.3.7.13 en dus l(Aut(T ))≤ 6 en dus ook l(Aut(T )) ≤ dT − 3, • (5.6) voor T = PSL2(16) is dT = 17 en|Aut(T )| = 4.16(16 − 1)(16 + 1) =
25.3.5.17 en dus l(Aut(T ))≤ 8 en dus ook l(Aut(T )) ≤ dT − 3,
• (5.7) voor T = PSL2(17) is dT = 18 en|Aut(T )| = 16.17.18 = 25.32.17 en
dus l(Aut(T ))≤ 8 en dus ook l(Aut(T )) ≤ dT − 3,
• (5.8) voor T = PSL2(19) is dT = 20 en|Aut(T )| = 18.19.20 = 23.32.5.19 en
dus l(Aut(T ))≤ 7 en dus ook l(Aut(T )) ≤ dT − 3.
(1.2) Aangezien in ons domeinm > 2 is, hebben we wegens (1’) en (3’) dat :
|Aut(T )| = |T |.|Out(T )| = 2rqm(m−1)/2
m−1
Y
i=1
(qi+1− 1)
We kunnen nu de orde vanAut(T ) afschatten :
|Aut(T )| ≤ (2q)qm(m−1)/2 m−1 Y i=1 qi+1 |Aut(T )| ≤ (2q)qm(m−1)/2qm(m+1)/2−1≤ 2qm2
(1.3) In ons domein geldt de ongelijkheid2m + 1 ≤ qm−1 want ze geldt voor
(m, q) = (3, 5) of (4,4) of (5,2) wegens respectievelijk 7 ≤ 25, 9 ≤ 64, 11 ≤ 16
en het rechterlid van de ongelijkheid stijgt sneller dan het linkerlid van deze ongelijk-heid. Uiteindelijk bewijzen we per inductie de ongelijkheid die we nodig hebben :
1 + m2log2(q)≤ q
m− 1 q− 1 − 3
De stelling geldt voorm = 3 en q≥ 5 want :
1 + 9log2(q)≤ q2+ q− 2
De stelling geldt voorm = 4 en q≥ 4 want :
1 + 16log2(q)≤ q3+ q2+ q− 2
De stelling geldt voorm = 5 en q≥ 2 want :
1 + 25log2(q)≤ q4+ q3+ q2+ q− 2
Als de stelling geldt voor m ≤ M dan geldt ze ook voor m = M + 1 want uit log2(q)≤ q volgt :
1 + (m + 1)2log2(q) = 1 + m2log2(q) + (2m + 1)log2(q)≤q
m− 1
q− 1 − 3 + (2m + 1)q
en wegens2m + 1≤ qm−1hebben we dan :
1 + (m + 1)2log2(q)≤q m− 1 q− 1 − 3 + q m−1q = qm− 1 q− 1 − 3 + qm+1− qm q− 1 = qm+1− 1 q− 1 − 3 (4.4) Voorq≥ 23 is log2(q+1q )≤ 1 4want : (q + 1)4 q4 ≤ 1 + 41 q + 6. 1 q2 + 4.1 q3 + 1.1 q4 ≤ 1 + 4.23 3+ 6.232+ 4.23 + 1 234 = 1 + 51933 279841 ≤ 2
Voorq≥ 23 is 4log2(q) + 1≤ q − 2 want : • de ongelijkheid geldt voor q = 23 :
4log2(23) + 1≤ 4.5 + 1 ≤ 21 = 23 − 2
• als de ongelijkheid geldt voor Q = q dan geldt ze ook voor Q = q + 1 : 4log2(q + 1) + 1 = 4log2(q) + 1 + 4log2(q + 1
q )≤ q − 2 + 4(1 2)
Geval van een bijna-simpele groep van het symplectische
type.
Voorp priem en q = pren(m, q)6= (1, 2), (1, 3), (2, 2) is PSp2m(q) = Cm(q) een
simpele groep met :
• (1’) |PSp2m(()q)| = 1
(2,q−1)qm2Qm
i=1(q2i− 1); • (2’) |Out(()PSp2m(()q))| = r(2, q − 1);
• (3’) voor q ≥ 3 is d(PSp2m(()q)) = q2mq−1−1, het aantal punten van de projectieve ruimtePG(F(q2m) waarop PSLm(q) een transitieve actie heeft. We herinneren
ons datPSLm(q) een transitieve actie heeft op de punten van de ingebedde
po-laire ruimte∆ bepaald door een symplectische vorm waarbij de punten van ∆
overeenkomen met de punten van de projectieve ruimtePG(Fq2m). • (4’) voor q = 2 is d(PSp2m(q)) = 22m−1− 2m−1
Propositie 4.5.4. Als de stelling van Whiston geldt voork < n en S een onafhankelijke
verzameling is vanSym(n), met G =hSi, en er bestaat een s ∈ S zodat T ≤ H = hS\{s}i ≤ Aut(T ) ≤ Sym(n) , met T een symplectische groep, dan is m(H) ≤ n−3
en dus m(G)≤ n − 2.
Bewijs. AangezienH een bijna-simpele groep is met T = Sp2m(()q) en T ≤ H ≤ Aut(T ) volstaat het dat we voor elke mogelijkheid van T aantonen dat :
l(Aut(T ))≤ dT − 3 of m(G) ≤ d(G) − 2
(1) Voorm = 2 is l(Aut(T ))≤ dT − 3 want : • (1.1) PSp2(q) ∼= PSL2(q),
• (1.2) de ongelijkheid is reeds bewezen voor T = PSL2(q).
(2) Alsm≥ 3 en q ≥ 3 dan is l(Aut(T )) ≤ dT − 3 want : • (2.1) dT = q2m−1
q−1 ,
• (2.2) |Aut(T )| ≤ q2m2+m+1,
• (2.3) (2m2+ m + 1)log2(q)≤ q2m−1,
• (2.5) q2m−1≤q2mq−1−1 − 3,
• (2.6) l(Aut(T )) ≤ log2(|Aut(T )| ≤ (2m2 + m + 1)log2(q) ≤ q2m−1 ≤
q2m−1
q−1 − 3 ≤ dT − 3.
(3) Alsq = 2 en m≥ 3 dan is l(Aut(T )) ≤ dT − 3 want : • (3.1) dT = 22m−1− 2m−1,
• (3.2) l(Aut(T )) ≤ log2(|Aut(T )| ≤ 2m2+ m + 1, • (3.3) 2m2+ m + 1≤ 22m−1− 2m−1− 3,
(4) Alsq = m = 2 dan is l(Aut(T ))≤ dT − 3 want : • (4.1) PSp4(2) ∼= Sym(6) is reeds bewezen,
• (4.2) dit hebben we reeds bewezen voor T = Sym(6).
(2.2) |Aut(T )| ≤ q2m2+m+1want : |Aut(T )| = |T |.|Out(T )| = rqm2 m Y i=1 (q2i− 1) ≤ qqm2 m Y i=1 q2i |Aut(T )| ≤ qm2+1qm(m+1)≤ q2m2+m+1
(2.3) Voorm≥ 3 en q ≥ 3 is (2m2+ m + 1)log2(q)≤ q2m−1want :
• deze ongelijkheid geldt voor m = 3 en q ≥ 3 wegens 22log2(q)≤ 22q ≤ 34q≤ q5,
• als deze ongelijkheid geldt voor M = m geldt ze ook voor M = m + 1 wegens (2(m + 1)2+ (m + 1) + 1)log2(q) = (2m2+ m + 1)log2(q) + (4m + 3)log2(q) ≤ 2(2m2+ m + 1)log2(q)≤ 2q2m−1≤ q2m.
(2.4) Voorm≥ 3 en q ≥ 3 is q2m−1≤ q2mq−1−1− 3.
Uit3q−2 ≤ q2−2 ≤ q2≤ q2m−1volgt(q2m−1+3)(q−1) = q2m−q2m−1+3q−3 ≤ q2m− q2m−1+ q2m−1− 1 ≤ q2m− 1 en dus q2m−1+ 3≤q2mq−1−1
(3.3) Voorm≥ 3 is 2m2+ m + 1≤ 22m−1− 2m−1− 3.
• de ongelijkheid geldt voor m = 3 wegens 22 ≤ 32 − 4 − 3 = 25 • het rechterlid stijgt veel sneller dan het linkerlid.
Geval van een bijna-simpele groep van het orthogonale
type.
Voorp oneven priem en q = prenm > 1 is P Ω2m+1(q) = Bm(q) een simpele
groep met : • (1’) |P Om2m + 1q| = (2,q−1)1 qm2Qm i=1(q2i− 1); • (2’) |Out(PΩ2m+1(q))| = r(2, q − 1); • (3’) voor q ≥ 5 is dPΩ2m+1(q) =(q2mq−1−1): • (4’) voor q = 3 is dP Om2m + 1q = 3m(3m2−1))
Voorp priem en q = prenm > 3 is PΩ2m(q)+= Dm(q) een simpele groep met : • (1+) |PΩ2m(q)+| = (4,qm1−1)qm(m−1)Qm−1
i=1 (q2i− 1); • (2+) voor m = 4 is |Out(PΩ2m(q)+)| = 6r(2, q − 1)2;
• (3+) voor even m > 4 is |Out(PΩ2m(q)+)| = 2r(2, q − 1)2;
• (4+) voor oneven m > 4 is |Out(PΩ2m(q)+)| = 2r(4, qm− 1); • (5+) voor q 6= 2 is d(PΩ2m(q)+) = (qm−1)(qq−1m−1+1):
• (6+) voor q = 2 is d(PΩ2m(q)+) = 2m−1(2m− 1))
Voorp priem en q = prenm > 3 is PΩ2m(q)−=2Dm(q2) een simpele groep met
: • (1-) |PΩ2m(q)−| = 1 (4,qm+1)qm(m−1)(qm+ 1)Qm−1i=1 (q2i− 1); • (2-) |Out(PΩ2m(q)−)| = 2r(4, qn+ 1); • (3-) voor m ≥ 4 is d(PΩ2m(q)−)≥ q2m−3; • (4-) voor q = 2 en m = 4 is d(PΩ2m(q)−)≥ (24+ 1)(23− 1) = 116
Stelling 4.5.5. Als de stelling van Whiston geldt voork < n en S een onafhankelijke
verzameling is vanSym(n), met G =hSi, en er bestaat een s ∈ S zodat T ≤ H = hS \ {s}i ≤ Aut(T ) ≤ Sym(n) en T een orthogonale groep is, dan is m(H) ≤ n − 3
en dus m(G)≤ n − 2.
Bewijs. Aangezien H een bijna-simpele groep is met T = O(q) en T ≤ H ≤ Aut(T ) volstaat het dat we voor elke mogelijkheid van T aantonen dat :
(1) VoorT = Ω2m+1(q) en m≥ 3 en q = 3 hebben we l(Aut(T ))| ≤ dT − 3 want
:
• (1.1) dT = 1
23m(3m− 1),
• (1.2) |Aut(T )| ≤ q2(m2+1)wegens|Aut(T )| = |Aut(PSp2m(q))|, • (1.3) 2(m2+ 1)log2(q)≤1
23m(3m− 1) − 3, • (1.4) l(Aut(T )) ≤ 2(m2+ 1)log2(q)≤1
23m(3m− 1) − 3 ≤ dT − 3.
(2) VoorT = Ω2m+1(q) en m≥ 3 en q = pr≥ 5 hebben we l(Aut(T )) ≤ dT − 3
want :
• (2.1) dT = q2mq−1−1,
• (2.2) |Aut(T )| ≤ q2(m2+1),
• (2.3) 2(m2+ 1)log2(q)≤q2mq−1−1− 3,
• (2.4) l(Aut(T )) ≤ 2(m2+ 1)log2(q)≤q2mq−1−1 − 3 ≤ dT − 3.
(3) VoorT = PΩ2m(q)+enm≥ 4 en q = 2 hebben we l(Aut(T )) ≤ dT − 3 want
:
• (3.1) dT = 2m−1(2m− 1), • (3.2) |Aut(T )| ≤ 6q2(m2+1),
• (3.3) 2(m2+ 1)log2(q) + log2(6)≤ 2m−1(2m− 1) − 3,
• (3.4) l(Aut(T )) ≤ 2(m2+ 1)log2(q) + log2(6)≤ 2m−1(2m− 1) − 3 ≤ dT − 3.
(4) VoorT = PΩ2m(q)+enm≥ 4 en q 6= 2 hebben we l(Aut(T )) ≤ dT − 3 want
:
• (4.1) dT = (qm−1)(qq−1m−1+1),
• (4.2) |Aut(T )| ≤ 6q2(m2+1),
• (4.3) 2(m2+ 1)log2(q) + log2(6)≤(qm−1)(qq−1m−1+1)− 3,
• (4.4) l(Aut(T )) ≤ 2(m2+1)log2(q)+log2(6)≤(qm−1)(qq−1m−1+1)−3 ≤ dT −3.
(5) VoorT = PΩ2m(q)−enm = 4 en q = 2 hebben we l(Aut(T ))≤ dT − 3 want
:
• (5.1) dT ≥ (24+ 1)(23− 1) = 119,
• (5.2) |Aut(T )| ≤ 212(24− 1)(26− 1)(24+ 1).2,
(6) VoorT = PΩ2m(q)+enm≥ 4, q ≥ 3 of m ≥ 5, q = 2 hebben we l(Aut(T )) ≤ dT− 3 want :
• (6.1) dT ≥ q2m−3,
• (6.2) |Aut(T )| ≤ 6q2(m2+1),
• (6.3) 2(m2+ 1)log2(q) + log2(6)≤ q2m−3− 3,
• (6.4) l(Aut(T )) ≤ 2(m2+ 1)log2(q) + log2(6)≤ q2m−3− 3 ≤ dT − 3.
(1.3) Voorm≥ 3 hebben we 2(m2+ 1)log2(3)≤1
232m+1(32m+1− 1) − 3 omdat : • deze ongelijkheid geldt voor m = 3 wegens 20log2(3)≤ 37(37− 1) − 3 • als deze ongelijkheid geldt voor M ≤ m dan geldt ze ook voor M = m wegens
:
2((m+1)2+1)log2(3)≤ 34(2(m2+1)log2(3)≤ 32(m+1)+1(32(m+1)+1−1)−3
(2.3) Voorl≥ 3 en q ≥ 5 hebben we 2(m2+ 1)log2(q)≤ q2mq−1−1 − 3 omdat : • deze ongelijkheid geldt voor m = 3 en q ≥ 5 wegens 20log2(q)≤ qq−16−1− 3 • als deze ongelijkheid geldt voor M ≤ m dan geldt ze ook voor M = m wegens
:
2((m + 1)2+ 1)log2(q)≤ q2(2(m2+ 1)log2(q)≤ q
2(m+1)−1
Geval van een bijna-simpele groep van het unitaire type.
Voorp priem en q = prenm≥ 2 en (m, q) 6= (3, 2) is PSUm(q) =2Am−1(q2)
een simpele groep met :
• (1’) |PSUm(q)| = 1
(m,q+1)qm(m−1)2 Qm−1
i=1 (qi+1− (−1)i+1); • (2’) |Out(PSUm(q))| = 2r(m, q + 1); • (3’) voor m ≥ 5 en (m, q) 6= (6k, 2), (6k, 3) is d(PSUm(q))≥(qm−1)(qq2m−1−1); • (4’) voor m = 6k en q ∈ {2, 3} is d(PSUm(q)) = qm−1q+1(qm−1); • (5’) voor m = 4 is d(PSUm(q)) = (q + 1)(q3+ 1); • (6’) voor m = 3 en q /∈ {2, 5} is d(PSUm(q)) = q3+ 1 • (7’) d(PSU3(5)) = 50 (cfr. AT)
Stelling 4.5.6. Als de stelling van Whiston geldt voork < n en S een onafhankelijke
verzameling is vanSym(n), met G =hSi, en er bestaat een s ∈ S zodat T ≤ H = hS \ {s}i ≤ Aut(T ) ≤ Sym(n) en T een simpele unitaire groep is, dan is m(H) ≤ d(H)− 3 en dus ook m(G) ≤ d(G) − 2.
Bewijs. AangezienH een bijna-simpele groep is met T = Um(q) en T ≤ H ≤ Aut(T ) volstaat het dat we voor elke mogelijkheid van T aantonen dat :
l(Aut(T ))≤ |T | − 3 of m(G) ≤ d(G) − 2 |Aut(PSUm(q))| = 2rqm(m−1)2 m−1 Y i=1 (qi+1− (−1)i+1) en |Aut(PSUm(q))| ≤ 2(q + 1)m2want : • |Aut(PSUm(q))| = |PSUm(q)|.|Out(PSUm(q))| =
rqm(m−1)2 Qm−1
i=1 (qi+1− (−1)i+1)
• en dus |Aut(PSUm(q))| ≤ 2(q + 1)(q + 1)m(m−1)2 Qm−1
i=1 (q + 1)i+1
• en dus |Aut(PSUm(q))| ≤ 2(q + 1)(q + 1)m(m−1)2 (q + 1)m(m+1)2 −1
• en dus |Aut(PSUm(q))| ≤ 2(q + 1)m2
(1) VoorT = PSU3(5) hebben we l(Aut(T ))≤ dT − 3 want : • (1.1) dT = 50,
• (1.2) |Aut(T )| = 2.53.(52− 1)(53+ 1) = 2.53.(23.3)(2.32.7) = 2533537, • (1.3) l(Aut(T )) ≤ 5 + 3 + 3 + 1 = 12 ≤ 47 = dT − 3.
(2) VoorT = PSU3(3) hebben we l(Aut(T ))≤ dT − 3 want : • (2.1) dT = q3+ 1 = 28,
• (2.2) |Aut(T )| = 2.33.(32− 1)(33+ 1) = 2.33.(23)(22.7) = 26337, • (2.3) l(Aut(T )) ≤ 6 + 3 + 1 = 10 ≤ 25 = dT − 3.
(3) VoorT = PSU3(q) met q≥ 4 en q 6= 5 hebben we l(Aut(T )) ≤ dT − 3 want : • (3.1) dT = q3+ 1,
• (3.2) |Aut(T )| ≤ 2q9,
• (3.3) 9log2(q) + 1≤ q3− 2,
• (3.4) l(Aut(T ) ≤ 9log2(q) + 1≤ q3− 2 = dT − 3.
(4) VoorT = U4(q) hebben we l(Aut(T ))≤ dT − 3 want : • (4.1) dT = (q + 1)(q3+ 1),
• (4.2) |Aut(T )| ≤ 2q16,
• (4.3) 16log2(q) + 1≤ q4+ q3+ q− 2 = (q + 1)(q3+ 1)− 3, • (4.4) l(Aut(T )) ≤ 16log2(q) + 1≤ (q3+ 1)(q + 1)− 3 ≤ d(H) − 3.
(5) VoorT = U6m(2) hebben we l(Aut(T ))≤ dT − 3 want : • (5.1) dT = 26m−1(26m− 1)/3,
• (5.2) |Aut(T )| ≤ 2.336m2
,
• (5.3) voor k ≥ 6 is k2log2(3) + 1≤ 2k−1(2k− 1)/3 − 3
• (5.3) en dus voor k = 6m is l(Aut(T )) ≤ 36m2log2(3) + 1≤ 26m−1(26m− 1)/3− 3 ≤ d(H) − 3.
(6) VoorT = U6m(3) hebben we l(Aut(T ))≤ dT − 3 want : • (6.1) dT = 36m−1(36m− 1)/4,
• (6.2) |Aut(T )| ≤ 2.436m2
,
• (6.3) l(Aut(T )) ≤ 36m2log2(4) + 1≤ 36m−1(36m− 1)/4 − 3 ≤ d(H) − 3.
(7) VoorT = Um(q) met m≥ 5 en (m, q) 6= (6k, 2), (6k, 3) is l(Aut(T )) ≤ dT −3
want : • (7.1) dT ≥ (qm− 1)(qm−1− 1)/q2, • (7.2) |Aut(T )| ≤ 2(q + 1)m2 , • (7.3) m2log2(q + 1) + 1≤ (qm− 1)(qm−1− 1) − 3, • (7.4) l(Aut(T )) ≤ m2log2(q + 1) + 1≤ (qm− 1)(qm−1− 1) − 3 ≤ dT − 3.
(3.3) Voorq≥ 4 geldt 9log2(q) + 1≤ q3− 2 want :
• de ongelijkheid geldt voor q = 4 wegens 18 + 1 ≤ 64 − 2
• als de ongelijkheid geldt voor q ≤ Q dan geldt ze ook voor q = Q + 1 wegens : 9log2(q + 1) + 1 = 9log2(q) + 1 + 9log2(q + 1
q )≤ (q3− 2) + q2log2(2)≤ q3− 2 + (3q2+ 3q + 1) = (q + 1)3− 2
(4.3) Voorq ≥ 2 hebben we de ongelijkheid 16log2(q) + 1 ≤ q4+ q3+ q− 2 = (q + 1)(q3+ 1)− 3 want :
• de ongelijkheid geldt voor q = 2 wegens 16 + 1 ≤ 27 − 3
• als de ongelijkheid geldt voor q ≤ Q dan geldt ze ook voor q = Q + 1 wegens : 16log2(q + 1) + 1 = 16log2(q) + 1 + 16log2(q + 1
q )≤ (q4+ q3+ q− 2) + 4q3log2(2)≤
q4+ 5q3+ 9q2+ 8q + 1 = (q + 1)4+ (q + 1)3+ (q + 1)− 2
(5.3) Voorn≥ 6 geldt n2log2(3) + 1≤ 2n−1(2n− 1)/3 − 3 want :
• de ongelijkheid geldt voor n = 6 wegens 36log2(3) + 1 ≤ 217.3 + 18 = 31.21 + 18 = 32.21− 3
• het rechterlid van de ongelijkheid stijgt sneller dan het linkerlid.
(7.3) Voorm ≥ 5 en q ≥ 2 geldt m2log2(q + 1) + 1 ≤ (qm− 1)(qm−1− 1) − 3
want :
• de ongelijkheid geldt voor m = 5 en q = 1 wegens 25log2(3) + 1 ≤ 51 ≤ 31.15− 3
Geval van een bijna-simpele groep van het uitzonderlijke
type.
Tabel 4.1: De uitzonderlijke groepen
GroepT m(H)≤ d(H)− 3 ≥ 2B2(q) = Sz(q) q = 22m+1, m≥ 1 6log2(q + 1) q2− 2 3D4(2) 20 21 3D4(q) q≥ 3 33log2(q) q3(q2− 1) − 3 E6(q) 80q q9 2E6(q) 80(q + 1) q9 E7(q) 134q q15 E8(q) 249q q27 F4(2) 54 64 2F4(2) 18 1597 F4(q) q≥ 3 54q q6 2F4(q) q = 22m+1, m≥ 1 27log2(q + 1) q4 G2(3) 32 348 G2(4) 32 413 G2(q) q≥ 5 16log2(q) q2(q− 1) 2G2(q) q = 32m+1, m≥ 1 8log2(q + 1) (q− 1)2
Stelling 4.5.7. Als de stelling van Whiston geldt voork < n en S een onafhankelijke
verzameling is vanSym(n), met G =hSi, en er bestaat een s ∈ S zodat T ≤ H = hS′= S\{s}i ≤ Aut(T ) ≤ Sym(n) en T een uitzonderlijke groep is, dan is m(H) ≤ n− 3 en dus m(G) ≤ n − 2.
Bewijs. Uit de tabel kunnen we afleiden dat voor elke deelgroepH van de
automor-fismegroep van een uitzonderlijke groep geldt :
m(H)≤ d(H) − 3
Aangezien zowelG als H een actie uitvoeren op n elementen hebben we : m(H)≤ n − 3
Aangezien de onafhankelijke verzameling vanG 1 element meer telt dan de
onafhan-kelijke voortbrengende verzameling vanH hebben we dus : m(G) = m(H) + 1≤ n − 2
Geval van een bijna-simpele groep van het sporatische
type.
Tabel 4.2: De 26 sporadische groepen
H: M11 M12 M22 M23 M24 J1 J2 J3 J4 l(H)≤ 7 9 11 11 14 6 11 11 34 d(H)≥ 11 12 22 23 24 266 100 6156 110 H: HS McL He Ru Suz O′N Co3 Co2 Co1 l(H)≤ 12 13 21 17 18 14 23 30 26 d(H)≥ 20 21 2058 28 1782 31 276 2300 98280 H: Fi22 Fi23 Fi′ 24 HN Ly Th BM M l(H)≤ 22 38 48 20 15 33 69 95 d(H)≥ 27 234 702 56 110 48 234 729
Stelling 4.5.8. Als de stelling van Whiston geldt voork < n en S een onafhankelijke
verzameling is vanSym(n), met G =hSi, en er bestaat een s ∈ S zodat T ⊆ H = hS′= S\ {s}i ≤ Aut(T ) ≤ Sym(n) met n = |T |k−1enT een sporadische groep is,
dan is m(H)≤ n − 3 en dus m(G) ≤ n − 2.
Bewijs. Uit de tabel kunnen we afleiden dat voor elke sporadische groepH geldt : l(H)≤ d(H) − 3
Aangezien zowelG als H een actie uitvoeren op n elementen hebben we : m(H)≤ l(H) ≤ n − 3
Aangezien de onafhankelijke verzameling vanG 1 element meer telt dan de
onafhan-kelijke voortbrengende verzameling vanH hebben we dus : m(G) = m(H) + 1≤ n − 2