Vermoeden 6.4.1. (Cara 2012)
Elke simpele projectieve speciale lineaire groepPSLn(q) heeft een
minimaxverzame-ling of een maximale onafhankelijke genererende verzameminimaxverzame-ling die enkel uit involuties bestaat.
De bedoeling van dit hoofdstukje is een klein zelfstandig onderzoek over dit ver-moeden. Dit om na te gaan hoe we zo een probleem in een korte periode aanpakken. We zijn tot de conclusie gekomen dat het bewijs dat dit vermoeden waar of onwaar is waarschijnlijk niet te doen is op de korte periode van een maand. Dit is dus het resultaat van 45 uren research.
Notatie 6.4.2. AlsS een deelverzameling is van een eindige groep G dan kunnen we S
indexeren door een verzamelingIS :={1, . . . , |S|} en bekomen we S = {g1, . . . , gl}
metl =|IS|. We noteren voor elke j ∈ ISenJ ⊆ IS :
• Sj:={gi|i ∈ IS\ {j}} en Gj :=hSji • SJ:={gi|i ∈ IS\ J} en GJ :=hSJi
Propositie 6.4.3. De machtvervangende eigenschap voor onafhankelijke verzamelin-gen.
AlsS := {gi|i ∈ IS} een onafhankelijke verzameling is van groep G dan geldt voor
elkei∈ ISeng′i∈ hgii \ hSii dat S′ := (S\ {gi}) ∪ {g′
i} een onafhankelijke
verza-meling is vanG.
Bewijs. De verzamelingS′ :={g′
i|i ∈ IS} met g′
i = gi voori6= 1 is een
onafhan-kelijke verzameling van de groepG als voor elke j ∈ IS geldt dat :
g′j∈ hS/ j′i.
Voorj = 1 hebben we dat S′
1 = S1 en uit de voorwaardeg′
1 ∈ hS/ 1i volgt dan dat g′
1 ∈ hS/ ′
1i. Voor j 6= 1 hebben we wegens de onafhankelijkheid van S dat g′
j = gj ∈/ hSji. Aangezien g1∈ Sj voorj 6= 1 hebben we dan ook g′
j = gj ∈ hg/ 1, Sji. Uit de
voorwaardeg′
1∈ hg1i volgt dan dat g′ j∈ hg/ ′
1, Sji en dus g′ j ∈ hS/ ′
ji.
Propositie 6.4.4. Elke groep heeft een maximale onafhankelijke verzameling waarvan de elementen van priemmachtorde zijn.
Bewijs. Zij S := {gi|i ∈ IS} een maximale onafhankelijke verzameling van de
groepG. Voor elke i∈ IS geldt dat alsginiet van een priemmachtorde is, er dan 2 onderling ondeelbare getallenm en n zijn zodat givan ordem.n is. Uit gi∈ G/ ien de stelling van Bezout volgt dat niet beide elementengm
i engn
i totGI\{i}∩ Gi kunnen behoren. We hebben dan bijvoorbeeldgm
i ∈ G/ I\{i}∩ Gi van orden. Wegens de
machtvervangende eigenschap levert de vervanging vangidoorgm
i terug een maximale onafhankelijke verzameling van de groepG waarbij de orde n van gm
i kleiner is dan de ordem.n van gi. Aangezien we een element dat niet van priemmachtorde is steeds kunnen vervangen door een element met een lagere orde is dit proces eindig en zullen we uiteindelijkgivervangen door een element van priemmachtorde.
Propositie 6.4.5. De productvervangende eigenschap voor onafhankelijke verzamelin-gen.
Als S = {g1, . . . , gl} een onafhankelijke verzameling is van G en g2 ∈/ hg1g2, g3, . . . gli dan is S′ := {g1g2, g2, . . . , gl} ook een onafhankelijke verzameling
vanG.
Bewijs Als g1g2 ∈ hg2, . . . , gli dan is g1 ∈ hg2, . . . , gli.(g2)−1 en dus ookg1 ∈ hg2, . . . , gli. Maar dit kan niet omdat S een onafhankelijke verzameling is van G. We
hebben dus reedsg1g2 ∈ hg/ 2, . . . , gli. Verder hebben we ook reeds de voorwaarde g2∈ hg/ 1g2, g3, . . . , gli. We hoeven dus nog enkel te bewijzen dat voor i ≥ 3 geldt dat gi∈ hS/ ′
ii met S′
i :={g1g2, g2, . . . , gi−1, gi+1, . . . , gl}.
Stel dat voori ≥ 3 geldt dat gi ∈ hS′
ii dan geldt wegens g1 = (g1g2)(g2)−1 dat
gi ∈ S. Maar dit kan niet aangezien S een onafhankelijke verzameling is van G. We
hebben dus ook dat voori≥ 3 geldt dat gi∈ hS/ i′i.
Opmerking 6.4.6. Het is duidelijk dat deze stelling ook geldt voor de vervanging van
g1doorg2g1.
We weten ook dat alsS ={g1, g2, . . . , gk} een genererende verzameling is van G
dat danS′ = {g′.g1.g, g2, . . . , gk} voor g en g′ ∈ hg2, . . . , gki ook een genererende
verzameling is vanG.Als S een onafhankelijke verzameling is van G dan is S′ niet noodzakelijk een onafhankelijke verzameling vanG. Deze eigenschap noemen we de
productvervangende eigenschap voor genererende verzamelingen.
Definitie 6.4.7. Een groepG voldoet aan de vervangingseigenschap voor de
genere-rende verzamelingS ={g1, . . . , gk} als voor elke g ∈ G \ {1G} er een i ∈ {1, . . . , k}
bestaat zodatS′={g1, . . . , gi−1, g, gi+1, . . . , gk} de groep G genereert. Een groep G
voldoet aan de vervangingseigenschap alsG voldoet aan de vervangingseigenschap
voor alle onafhankelijke verzamelingen van lengteµ(G).
Propositie 6.4.8. Als de groepG voldoet aan de vervangingseigenschap, dan heeft de
groepG maximale onafhankelijke genererende verzamelingen waarbij elk element van
priemorde is.
Bewijs. We kunnen elk willekeurig elementg1uit een maximaal onafhankelijke ge-nererende verzameling S := {g1, . . . , gk} van G vervangen door een element van
priemorde want als de orde vang1 gelijk is aanmp met p priem, kunnen we de
ver-vangingseigenschap vanG toepassen voor het element gm
1 ∈ G dat van orde p is. De
enige mogelijkheid is de vervanging vang1doorgm
1 want elke andere vervanging geeft ons een verzameling van de vormS′′:={g1, g1m, g3, . . . , gk} die nooit het element g2
kan genereren omdatS een onafhankelijke verzameling van G is. De onafhankelijke
genererende verzameling S wordt dus vervangen door de genererende verzameling S′ := {gm
1 , g2, . . . , gk} waarbij gm
1 van orde p is. Aangezien S′ een genererende verzameling is vanG is g1∈ hS′i. Dit betekent dat S′tevens een onafhankelijke ver-zameling is vanG want uit g1∈ hS′i en de veronderstelling gm
1 ∈ hg2, . . . , gki volgt g1∈ hg2, . . . , gki wat onmogelijk is wegens de onafhankelijkheid van S.
Propositie 6.4.9. Als een niet-abelse simpele groepG voldoet aan de
vervangingsei-genschap en een maximale onafhankelijke genererende verzamelingS heeft, met enkel
elementen van even orde, dan heeftG een maximale onafhankelijke genererende
Bewijs. Elk elementg van S is van even orde 2mg. We hebben in de vorige propo-sitie gezien dat de vervanging vang door de involutie h := gmg terug een maximale onafhankelijke genererende verzamelingS′′:= (S′\ {g}) ∪ {h} oplevert. Als we deze
procedure voor elk element uitS′ uitvoeren, krijgen we uiteindelijk een maximale on-afhankelijke genererende verzameling die enkel uit involuties bestaat.
Propositie 6.4.10. Een niet-abelse simpele groepG bevat minstens 3 onafhankelijke
involuties.
Bewijs. De verzamelingI van de involuties van groep G is niet ledig want de orde
van een niet-abelse simpele groep is even. De groephIi voortgebracht door de
invo-luties I is een normaaldeler van G want voor elke involutie h en elk element g van G bestaat er een involutie h′ := g−1hg zodat hg = gh′. AangezienG een simpele
groep is, enI niet ledig is, hebben we G =hIi. Dit betekent dat elk element g van G
geschreven kan worden als een product van involuties uitI⊆ G.
ZijS ⊆ I een minimale genererende verzameling van G. Dan is S, wegens G = hIi,
een onafhankelijke genererende verzameling vanG die enkel uit involuties bestaat met G =hSi. We moeten nu nog enkel aantonen dat de orde van S groter dan 2 is.
AlsS slechts 1 element bevat dan is G =hSi een cyclische groep. Aangezien een
cyclische groep ook abels is, kan dit niet en heeftS dus minstens 2 elementen.
AlsS slechts 2 involuties r en s bevat, en we H :=hr.si stellen, volgt uit G = hSi
dat
G = H∪ sH ∪ Hr ∪ sHr. (1)
We hebben nu datsHs ⊆ H want voor h := (r.s)m hebben we wegens(r.s)m = r.(s.r)m−1.s en s.r = (r.s)−1:
shs = s.(r.s)m.s = (s.r)m∈ H. (2)
We hebben ook datrHr ⊆ H want voor h := (r.s)mhebben we :
rhr = r.(r.s)m.r = (s.r)m−1.s.r = (s.r)m∈ H. (3)
Uit (1)(2) en (3) volgt dat de cyclische groepH een normaaldeler is van de simpele
groepG . Aangezien H niet triviaal is, zou dit dan betekenen dat G = H. Maar dit
kan niet omdatH cyclisch en dus abels is. We mogen dus besluiten dat S minstens 3
onafhankelijke involuties bevat.
Definitie 6.4.11. Een groepG is involutief enkel en alleen als elke onafhankelijke
ver-zameling involuties die uitbreidbaar is naar een grotere onafhankelijke verver-zameling ook door toevoeging van een involutie uitgebreid kan worden tot een grotere onafhan-kelijke verzameling vanG.
Aangezien ook de ledige deelverzameling door toevoeging van enkel involuties uitgebreid kan worden naar een grotere onafhankelijke genererende verzameling, heeft een involutieve groep een minimaxverzameling die enkel involuties bevat.
Propositie 6.4.12. De symmetrische groepSym(4) en de alternerende groep Alt(5)
Bewijs. Een minimax verzamelingS′:={h1, h1h2, . . . , h1hn−1} van Sym(n), van
de tweede vorm, kan men door de productvervangende eigenschap herleiden tot een minimax verzamelingS := {h1, h2, . . . , hn−1}, van de eerste vorm, die enkel uit de
involutiesh1, . . . , hn−1bestaat.
Enkel de groep Sym(4) heeft een specifieke minimaxverzameling
{(1, 2), (1, 3), (1, 4)(2, 3)} bestaande uit involuties, welke niet gekoppeld zijn
aan een boomstructuur.
In ons project hebben we een functie IsInvolutiveExceptions(G) die bepaalt of de
groepG involutief is. Indien dit niet zo is, krijgt men als resultaat ook een
onafhanke-lijke verzameling involuties die niet door een involutie uitbreidbaar is naar een grotere onafhankelijke verzameling maar waar die uitbreiding wel mogelijk is met een ander element vanG. gap> Read("c:/lib/minimax.txt"); gap> IsInvolutive(SymmetricGroup(4)); [ true, [ ] ] gap> IsInvolutive(AlternatingGroup(5)); [ true, [ ] ] gap> IsInvolutive(SymmetricGroup(5)); [ false, [ (4,5), (2,3)(4,5), (1,2)(4,5) ] ] gap> IsInvolutive(PSL(2,7)); [ true, [ ] ] gap> IsInvolutive(DihedralGroup(10)); [ true, [ ] ] gap> IsInvolutive(DihedralGroup(12)); [ true, [ ] ]
Dit betekent datS1:={(1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4)},S2:={(1, 2)(3, 4), (1, 4)(2, 3)}
enS3 := {(1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} de enigste onafhankelijke verzamelingen
involu-ties van Sym(4) zijn die niet uitgebebreid kunnen worden naar een maximale
onaf-hankelijke genererende verzameling involuties vanSym(4). MaarS1, S2enS3kunnen ook niet uitgebreid worden door toevoeging van eender welk element van de groep. Dus is de groepSym(4) involutief.
Verder isAlt(5) een involutieve groep is.
Merk op datSym(5) niet involutief is omdat de onafhankelijke verzameling
invo-luties{(4, 5), (2, 3)(4, 5), (1, 2)(4, 5)} enkel uitbreidbaar is naar bijvoorbeeld de
mini-maxverzameling{(4, 5), (2, 3)(4, 5), (1, 2)(4, 5), (2, 4)∗(4, 5)} met (2, 4)∗(4, 5) geen
involutie.
Propositie 6.4.13. Elke minimaxverzameling van de dihedrale groepDih(n) kan door
de productvervangende eigenschap herleid worden tot een minimaxverzameling be-staande uit involuties. Daarenboven geldt dit ook voor elke deelgroep van een dihe-drale groep die minstens 1 reflectie bevat. Dit betekent ook dat elke dihedihe-drale groep involutief is.
Bewijs. De dihedrale groepDih(n) wordt algebraisch als volgt gedefinieerd : Dih(n) :=hx, y | x2= y2= (xy)n= 1i
In ons geval is de meetkundige interpretatie van de dihedrale groep veel handiger. De dihedrale groepDih(n) :={R0, . . . , Rn−1, S0, . . . , Sn−1} bestaat uit de symmetrieen
van een regelmatigen-hoek, namelijk de n rotaties R0, . . . , Rn−1rond het middelpunt van dezen-hoek en de n reflecties S0, . . . , Sn−1om de n symmetrieassen door het
middelpunt van dezen-hoek. De samenstelling van deze symmetrieen kan men bondig
samenvatten door de volgende formules :
RiRj = Ri+j RiSj= Si+j SiRj = Si−j SiSj= Ri−j
waarbijR0de identiteit van de groep is en de optelling en aftrekking van de indexen modulo n gebeurt.
AlsS een maximale onafhankelijke (genererende) verzameling is van Dih(n) moet S minstens een reflectie bevatten. Uit SiSi = R0volgt dat elke reflectie een involutie is. Nu kan men door de productvervangende eigenschap de verzamelingS herleiden tot
een maximale onafhankelijke (genererende) verzameling vanDih(n) door elke rotatie
die inS voorkomt samen te stellen met een reflectie Sjuit S. Uit de formules hierboven volgt duidelijk dat een rotatieRi dan wordt vervangen door een involutie Si+j := RiSj.
Definitie 6.4.14. H is een involutieve deelgroep van groep G enkel en alleen als : • µ(G) = µ(H) + 1;
• G heeft een maximale onafhankelijke genererende verzameling involuties S′ := {h1, . . . , hl} met hh2, . . . , hli = H.
Een groep met een involutieve deelgroep heeft duidelijk een maximale onafhanke-lijke genererende verzameling involuties.
Voorbeeld 6.4.15. PSL2(11)
Aangezien
S := [(1, 2, 3)(4, 8, 12)(5, 10, 9)(6, 11, 7), (1, 5)(2, 4)(3, 7)(6, 12)(8, 9)(10, 11) (1, 5)(2, 9)(3, 10)(4, 11)(6, 8)(7, 12), (1, 6)(2, 8)(3, 5)(4, 10)(7, 12)(9, 11)]
een maximale genererende verzameling is van PSL2(11) onderzoeken we via onze
gapfunctie IsInvolutiveSubgroup(PSL2(11), H) of H :=hS[2], S[3], S[4]i een
involu-tieve deelgroep is vanPSL2(11) :
gap>S:=[ (1,2,3)(4,8,12)(5,10,9)(6,11,7), (1,5)(2,4)(3,7)(6,12)(8,9)(10,11), (1,5)(2,9)(3,10)(4,11)(6,8)(7,12), (1,6)(2,8)(3,5)(4,10)(7,12)(9,11) ];; gap> G:=PSL(2,11);; gap> H:=Group(S[2],S[3],S[4]);; gap> IsInvolutiveSubgroup(G,H); [ true, [ (1,2)(3,4)(5,12)(6,11)(7,10)(8,9), (1,2)(3,6)(4,5)(7,12)(8,11)(9,10), (1,3)(2,4)(5,6)(7,9)(8,10)(11,12),(1,4)(2,5)(3,12)(6,7)(8,10)(9,11) ] ]
Dus heeftPSL2(11) een maximale onafhankelijke genererende verzameling
S′:= [(1, 2)(3, 4)(5, 12)(6, 11)(7, 10)(8, 9), (1, 2)(3, 6)(4, 5)(7, 12)(8, 11)(9, 10), (1, 3)(2, 4)(5, 6)(7, 9)(8, 10)(11, 12), (1, 4)(2, 5)(3, 12)(6, 7)(8, 10)(9, 11)]
die enkel uit involuties bestaat.
Propositie 6.4.16. Alsµ(PSL2(p)) = 4 dan heeft PSL2(p) een maximale
onafhanke-lijke genererende verzameling bestaande uit 4 involuties.
Gegevens. We verwijzen hier naar het artikel [18] van Benjamin Nachman.
• (N1) (p 38) Als µ(PSL2(p)) = 4 dan voldoet PSL2(p) aan de
vervangingsei-genschap.
• (N2) (p 43) Als p 6= ±1 (mod 10) en p 6= 7 en p = ±1 (mod 8) dan voldoet PSL2(p) niet aan de vervangingseigenschap.
• (N3) (p 48) De elementen van een maximale onafhankelijke genererende
verza-meling vanPSL2(7) hebben allen orde 2.
• (N4) (p 48) Als µ(PSL2(p)) = 4 en p =±1 (mod 10) dan hebben de
elemen-ten van een maximale onafhankelijke genererende verzameling vanPSL2(p)
en-kel orde 2 of 3.
• (N5) (p 49) Als S := {g1, g2, g3, g4} een maximale onafhankelijke genererende
verzameling is vanPSL2(p) met p =±1 (mod 10) dan kunnen we S zo
orde-nen dat :
– G1:=hS1i ∼= Sym(4) of Alt(5) met S1:={g2, g3, g4}
– G2:=hS2i ∼= Sym(4) of Alt(5) met S2:={g1, g3, g4}
– G3enG4zijn congruent metSym(4), Alt(5), Dih(p− 1) of Dih(p + 1)
Bewijs nog verder uit te werken. Uit deze gegevens volgt datPSL2(p) enkel een
maximale onafhankelijke genererende verzameling involuties kan hebben als een groep isomorf metSym(4) of Alt(5) of Dih(p− 1) of Dih(p + 1) een involutieve deelgroep
is vanPSL2(p). We moeten dus bewijzen dat als geen enkele van deze groepen een
involutieve deelgroep is vanPSL2(p) dat we dan ook geen maximale onafhankelijke
genererende verzamelingS ={g1, g2, g3, g4} van PSL2(p) kunnen hebben.
Stel dus dat geen enkele deelgroep vanPSL2(p) isomorf met Sym(4) of Alt(5)
of Dih(p − 1) of Dih(p + 1) een involutieve deelgroep is van PSL2(p) en dat S := {g1, g2, g3, g4} een maximale onafhankelijke genererende verzameling is van PSL2(p). In PSL2(p) is, elk element dat geen involutie is, een product van 2
involu-ties.
Propositie 6.4.17. Elke simpele groepPSL2(p), met p priem, heeft een maximale
Bewijs. We hebben reeds aangetoond dat :
µ(PSL2(p))∈ {3, 4}. (1)
We weten dat elke simpele niet abelse groep een minimale genererende verzameling involuties heeft. ZijS een minimale genererende verzameling involuties van PSL2(p).
AangezienPSL2(p) een simpele niet-abelse groep is, bevat S minstens 3 involuties.
AangezienS minimaal is, bevat S minstens 3 onafhankelijke involuties h1, h2enh3.
µ(PSL2(p) = 3⇒ PSL2(p) =hh1, h2, h3i. (2)
Uit de vorige propositie weten we dat er vier onafhankelijke genererende involuties
h1, h2, h3, h4zijn zodat :
µ(PSL2(p) = 4⇒ PSL2(p) =hh1, h2, h3, h4i. (3)
Uit (1)(2) en (3) volgt dan onze propositie.
Propositie 6.4.18. De maximale deelgroepen van de simpele groepPSL2(q) die
even-tueel geen maximale onafhankelijke genererende verzameling hebben die enkel uit in-voluties bestaan, zijnAlt(4), de deelveldgroepen en de puntstabilisators.
Bewijs. We weten dat de maximale deelgroepen vanPSL2(q) isomorf zijn met 1 van
de volgende groepen :
• PSL2(q)(1,0)een puntstabilisator;
• een dihedrale groep Dih(q − 1) of Dih(q + 1) voor q oneven; • een dihedrale groep Dih(2(q − 1)) of Dih(2(q + 1)) voor q even; • een deelveldgroep PSL2(q0) of PSL2(q0).2
• Sym(4) of Alt(5) of Alt(4)
We hebben reeds aangetoond dat de groepenAlt(5), Sym(4) en de dihedrale
groe-pen een maximale onafhankelijke genererende verzameling involuties hebben. Propositie 6.4.19. AlsΓ := (G, Gi|i ∈ I) een ferme RWPRInevenklassenmeetkunde is met BoreldeelgroepB, dan geldt voor elke i∈ I dat voor elke keuze si∈ GI\{i}\Gi
de verzamelingS := {si|i ∈ I}, van orde I, een sterke B-relatieve onafhankelijke
genererende verzameling is vanG.
Bewijs. Als we voor elkei∈ I een element sikiezen uitGI\{i}\ Gidan is de verza-melingS :={si|i ∈ I} volgens de voorwaardelijke onafhankelijkheid een B-relatieve
onafhankelijke verzameling vanG. Uit Γ RWPRImogen we volgens Cameron en Cara besluiten datS een sterke B-relatieve onafhankelijke verzameling is van groep G
met volgende eigenschappen :
• Voor elke J ⊆ I geldt dat GJ =hB, sk| k ∈ I \ Ji • In het bijzonder geldt dat G = hB, si| i ∈ Ii.
Propositie 6.4.20. Als S = {gi|i ∈ I} een maximale onafhankelijke genererende
verzameling is van de niet-abelse simpele groepG, die enkel elementen van even orde
heeft, en(G, Gi|i ∈ I}) , met Gi := hS \ {gi}i , een ferme RWPRI -meetkunde is, dan heeftG een maximale onafhankelijke genererende verzameling bestaande uit
Bewijs. AangezienG = hB, Si en S zowel B-relatief als een maximale
onafhan-kelijke genererende verzameling is vanG, hebben we dat B = {1G}. In dit geval is GI\{i}∩ Gi = GI = B ={1G} en kunnen we elke i ∈ I het element givan orde2mi
vervangen door de involutiesi:= gimi zodatS′:={si|i ∈ I} van dezelfde orde als S
een maximale onafhankelijke genererende verzameling van involuties is.
Propositie 6.4.21. Als de groepPSLn(q) een maximale onafhankelijke genererende
verzameling heeft die enkel uit involuties bestaat en alsPSLn+1(q) een maximale
on-afhankelijke genererende verzameling S := {g1, . . . , gl+1} heeft met hS \ gl+1i ∼= PSLn+1(q)x, metx ∈ PGn(q), dan heeft de groep PSLn+1(q) een maximale
onaf-hankelijke genererende verzameling die enkel uit involuties bestaat.
Bewijs. AangezienG := PSLn+1(q) een primitieve groep is, is de puntstabilisator Gx, van een puntx∈ PGn(q), een maximale deelgroep van PSLn+1(q). De actie van
de puntstabilisatorGxop de punten vanPGn(q)\ {x} is een transitieve imprimitieve
actie, waarbij de blokken de rechten doorx zijn waaruit het punt x is weggenomen. De
bijectie tussen de rechten door x en de snijpunten van deze rechten met een hypervlak
HV ∼= PGn−1(q), niet door x, bepaalt een equivalentie tussen de actie van Gxop de blokken (rechten doorx zonder x) en de actie van PSLn(q) op het hypervlak HV ∼= PGn−1(q).
Als we een blok B = B1 kiezen, dan isB ∪ {x} ∼= PG1(q) en is de groep PSLn+1(q)B ∼= PSL2(q)(1,0), de puntstabilisator van(1, 0)∈ PG1(q) van PSL2(q).
We herinneren ons dat we elke maximale onafhankelijke genererende verzameling van een transitieve imprimitieve groepGxkunnen transformen in een maximale onaf-hankelijke genererende verzamelingS′:= S1∪ S2∪ S3vanGxmet :
• S1een maximale onafhankelijke genererende verzameling voor de blokpermu-taties, dit betekenthS1i ∼= PSLn(q);
• S2een maximale onafhankelijke genererende verzameling voor alle blokrespec-terende permutaties op 1 blokB1, dit betekenthS2i ∼= PSL2(q)(1,0); de verza-melingsgewijze stabilisator van blokB.
• S3die voor elk blokBi ∈ {B2, . . . Bu} hoogstens 1 niet-triviale permutatie op
dit blokBibevat die de blokkenB1, . . . , Bi−1puntsgewijs vasthoudt.
hS1i ∩ hS2, S3i = 1GenhS2i ∩ hS1, S3i = 1GenhS3i ∩ hS1, S2i = 1Gomdat de samenstelling van blokrespecterende permutaties steeds een blokrespecterende permu-tatie is en omdat enkel het triviale element vanhS2i het blok B1puntsgewijs vasthoudt. Dit betekent dat alsS1′, S2′ enS3′ maximale genererende verzamelingen zijn van res-pectievelijkhS1i, hS2i en hS3i dan is S′
1∪ S′ 2∪ S′
3ook een maximale onafhankelijke genererende verzameling vanGx.
We nemen nu :
• voor S′
1 de maximale onafhankelijke genererende verzameling van hS1i ∼= PSLn(q) die enkel uit involuties bestaat;
• voor S′
2 de maximale onafhankelijke genererende verzameling van hS2i ∼= PSL2(q)(1,0)die enkel uit involuties bestaat;
• voor elke gi∈ S3welke de blokkenB1, . . . , Bi−1puntsgewijs vasthoudt en een niet-triviale actie heeft op blokBi nemen we inS′
3 een involutiehi welke de blokkenB1, . . . , Bi−1 puntsgewijs vasthoudt en een niet triviale actie heeft op blokBi.
We hebben dus nu een maximale onafhankelijke genererende verzamelingM van Gx die enkel uit involuties bestaat. Aangezien Gx een maximale deelgroep is van
G = PSLn+1(q) genereert elke involutie h uit G\ GxsamenM de groep PSLn+1(q).
Als we voorh een spiegel-involutie nemen welke de punten van het hypervlak HV
puntsgewijs vasthoudt en het puntx afbeeldt op een punt xh 6= x dan is M ∪ {h}
een maximale onafhankelijke genererende verzameling vanPSLn+1(q) die enkel uit
Hoofdstuk 7
PROJECT
Schrijf een GAP-programmaatje dat een minimaxverzameling genereert voor een groep. Dit project bevat ook de functies om met permutatiegetallen te werken en de functie om voor een boomnummer een minimaxverzameling te genereren.
#_________ #
# DEEL 1 : #
# functies om permutatiegetallen van permutaties # te berekenen en omgekeerd.
#
#_________
#
# Geeft de cykelpermutatie die
# overeenkomt met het permutatiegetal n! #
Cykel:=function(n) local
perm,i; perm:=();
for i in [2..n] do perm:=perm*(1,i); od; return perm;
end;
#
# Geeft de permutatie die
# overeenkomt met het permutatiegetal num # NumToPerm:=function(num) local perm,n; perm:=(); if (num=1) then perm:=(1,2); fi; n:=1; while (num>=Factorial(n)) do n:=n+1; od; if (num>1) then
num:=num-Factorial(n-1); perm:=NumToPerm(num)*Cykel(n); fi; return perm; end; #
# Geeft het permutatiegetal dat # overeenkomt met de permutatie perm # PermToNum:=function(perm) local num,n,m,k; num:=0; n:=LargestMovedPoint(perm); if (n<3) then
if perm=() then num:=0; fi; if perm=(1,2) then num:=1; fi; fi; if (n>=3) then perm:=perm*(Cykel(n))ˆ-1; num:=PermToNum(perm)+Factorial(n-1); fi; return(num); end; #
# Geeft de permutatiegetallensom van # de permutatiegetallen a en b # PermSum:=function(a,b) return PermToNum(NumToPerm(a)*NumToPerm(b)); end; #_________ # # DEEL 2 : #
# Geeft de minimaxset van boom treenumber # van type treetype
# #_________ TreeToMinimax:=function(treenumber,numberoftops,treetype,tops) local i,j,top,top1,top2,toplst,minimax; toplst:=[]; minimax:=[]; top:=[];
for j in [1..numberoftops] do toplst[j]:=1; od; for i in [1..numberoftops-2]
do
top[i]:=(treenumber mod numberoftops)+1; toplst[top[i]]:=toplst[top[i]]+1;
treenumber:=(treenumber - (treenumber mod numberoftops)) / numberoftops; od; for i in [1..numberoftops-2] do top1:=top[i]; top2:=numberoftops+1;
for j in [1..numberoftops] do
if (toplst[j]=1) and (j<top2) then top2:=j; fi; od; toplst[top1]:=toplst[top1]-1; toplst[top2]:=numberoftops+1; minimax[i]:=(tops[top1],tops[top2]); od; top1:=0; top2:=0; for j in [1..numberoftops] do
if (top1=0) and (toplst[j]=1) then top1:=j;
fi;
if (top1>0) and (top2=0) and (top1<>j) and (toplst[j]=1) then top2:=j; fi; od; minimax[numberoftops-1]:=(tops[top1],tops[top2]); if (treetype>0) then for i in [1..numberoftops-1] do if (i<>treetype) then minimax[i]:=minimax[treetype]*minimax[i]; fi; od; fi; return minimax; end; # ________ # # DEEL 3 : #
# MAXIMALE ONAFHANKELIJKE VERZAMELINGEN # VAN EEN GROEP
#
# ________
# #
# Converteert een grp naar een permgrp. # # GroupToPermGroup:=function(grp) return Image(IsomorphismPermGroup(grp),grp); end; # #
# Geeft ons de nevenklasse grp*perm # # coSet:=function(grp,perm) local coset,p; coset:=[]; for p in Elements(grp) do
AddSet(coset,p*perm); od; return coset; end; # #
# Converteert een lst naar een lst. # # LstToLst:=function(lst) local element,lst2; lst2:=[]; for element in lst do AddSet(lst2,element); od; return lst2; end; # #
# Converteert een lst naar een set. # # LstToSet:=function(lst) local element,set; set:=[]; for element in lst do AddSet(set,element); od; return set; end; # #
# We testen of de verzameling set # een onafhankelijke verzameling van # permutaties is # # IsIndependentSet:=function(set) local independent,subset,setlength,i; independent:=true; i:=1; setlength:=Length(set);
while (i<=setlength) and independent do subset:=LstToSet(set);
RemoveSet(subset,subset[i]); if (Length(subset)>0) then if (set[i] in Group(subset)) then independent:=false; fi; fi; i:=i+1; od; return independent;
end;
# #
# We krijgen de maximale ketenlengte # van de deelgroepen # van de groep grp. # # MaximalChainLength:=function(grp) local maximalchainlength,maximalchain, chainpair,maxgrps,maxgrp; if Order(grp)<=1 then maximalchainlength:=0; maximalchain:=[]; else maximalchainlength:=0; maximalchain:=[]; maxgrps:=MaximalSubgroupClassReps(grp); for maxgrp in maxgrps do
chainpair:=MaximalChainLength(maxgrp); if chainpair[1]>=maximalchainlength then maximalchainlength:=chainpair[1]+1; maximalchain:=chainpair[2]; Add(maximalchain,grp); fi; od; fi; return [maximalchainlength,maximalchain]; end; # #
# We krijgen een bovengrens voor de orde van een minimax set # van de grp. # # mMax:=function(grp) local grpdegree,mmax,maximalchainlength ; grpdegree:=NrMovedPoints(grp); if grp=SymmetricGroup(MovedPoints(grp)) then mmax:=grpdegree-1; else maximalchainlength:=MaximalChainLength(grp)[1]; if (maximalchainlength<grpdegree-2) then mmax:=maximalchainlength; else mmax:=grpdegree-2; fi; fi; return mmax; end; #
# ROUTINES OM EEN MINIMAXSET VAN EEN GROEP TE BEPALEN DOOR DE # ELEMENTEN VAN DE GROEP AF TE LOPEN.
#
MiniMaxSetOf:=function(grp) local
IsNewIndependentSet,MaximalIndependentSetOf; IsNewIndependentSet:=function(grp,controlset,set) local found,positie,perm; found:=false; positie:=1; RemoveSet(controlset,[()]);
while (positie<=Length(controlset)) and (not found) do if (Length(set)=Length(controlset[positie])) and (Length(controlset[positie])>0) then # if (Group(set)=Group(controlset[positie])) if GroupHomomorphismByImagesNC(grp,grp,set, controlset[positie])<>[] then found:=true; fi; fi; positie:=positie+1; od;
return (not found); end; MaximalIndependentSetOf:=function(grp,lst,submaxset, startposition,maxm) local lstlength,indset,maxindset,position,newsubmaxset,m; lstlength:=Length(lst); maxindset:=[]; m:=Length(submaxset); position:=startposition;
while (position<=lstlength) and (m<maxm) do newsubmaxset:=LstToSet(submaxset); AddSet(newsubmaxset,lst[position]); if IsIndependentSet(newsubmaxset) then if IsNewIndependentSet(grp,controlset,newsubmaxset) then AddSet(controlset,newsubmaxset); if Length(newsubmaxset)>m then m:=Length(newsubmaxset); maxindset:=newsubmaxset;