1 2 3 9 8 5 4 7 6 ❅ ❅ ❅ ❅ Figuur 5.1:S(T ) ={(13), (23), (34), (45), (56), (58), (78), (89)}
Stelling 5.1.1. Verband tussen minimax verzamelingen en bomen.
• (1) Voor elke onafhankelijke genererende verzameling S van Sym(n) bestaat er
een boomT met n toppen zodat S een van volgende vormen heeft :
– ofwel vorm 1 :S = S(T ) ={(p, q) | {p, q} boog van T }
– ofwel vorm 2 : S = S∗(T, ǫ, s):={s} ∪ {(st)ǫ(t) | t ∈ S(T ) \ {s}} voor
eens∈ S(T ) en een functie ǫ met waarden ±1 afhankelijk van t ∈ S(T ). • (2) Voor elke boom T met n toppen zijn S(T ) en S′(S(T ), ǫ, s) onafhankelijke
Bewijs van (2). We tonen aan dat alsT een boom is, dat S(T ) en S∗(T, ǫ, s) met s∈ S onafhankelijke genererende verzamelingen zijn van Sym(n).
• De boom T met toppenverzameling {1, ..., n} heeft geen cykels. Dus is S(T )
een onafhankelijke verzameling vanSym(n).
• De boom T met n toppen heeft n − 1 bogen. Dus is S(T ) een onafhankelijke
verzameling vanSym(n) met n− 1 elementen. Volgens de stelling van Whiston
isS(T ) dan een onafhankelijke genererende verzameling van Sym(n).
• Uit s ∈ S(T ) volgt dat hS(T )i = hS∗(T, ǫ, s)i. Volgens de stelling van
Whis-ton isS∗(T, ǫ, s) met n− 1 elementen dan ook een onafhankelijke genererende
verzameling vanSym(n).
Bewijs van (1). We tonen aan dat alsS een onafhankelijke genererende verzameling
is vanSym(n), dat er dan een boom T is zodat S = S(T ) of S = S∗(T, ǫ, s) voor een s∈ S en een functie ǫ
(1.1) Als we de onafhankelijke genererende verzamelingS van Sym(n) indexeren
doorI :={1, . . . , n − 1} krijgen we S := {si|i ∈ I} en kunnen we voor elke i ∈ I de
groepGials volgt definieren :
Gi:=hS \ {si}i.
AangezienS een onafhankelijke genererende verzameling is van G bestaat de
verza-meling groepenV :={Gi|i ∈ I} uit maximale deelgroepen van G. Voor de maximale
deelgroepenH ∈ {Gi| i ∈ I} van G hebben we per definitie 3 mogelijkheden : • H is een intransitieve deelgroep van Sym(n). Merk op dat dit het geval is als
S = S(T ) omdat het weghalen van de boog, geassocieerd aan een transpositie,
de boomT verdeelt in 2 andere bomen.
• H is een transitieve imprimitieve deelgroep van Sym(n). In dit geval is H ≤ 2m: Sym()m met n = 2m.
• H is een primitieve deelgroep van Sym(n). In dit geval is H = Alt(n). Merk
op dat dit het geval is alsS = S∗(T, ǫ, s) en H =hS \ {s}i en H dus enkel uit
even permutaties bestaat.
(1.2) We bewijzen nu datH ∈ V geen transitieve imprimitieve deelgroep kan zijn
voorn≥ 7.
Stel datH ∈ V een transitieve imprimitieve deelgroep is van Sym(n) dan is : • (1) µ(H) = n − 1 omdat H ∈ V ;
• (2) H ≤ 2m: Smmetn = 2m omdat H een transitieve imprimitieve deelgroep
is vanSym(n) en H ∈ V .
We hebben dan een natuurlijk homomorfismeF : H → Sym(m) met een
• (3) uitH
N ∼= F (H) ≤ Sym(m) en de stelling van Whiston volgt : µ(H
N) = µ(F (H))≤ m − 1
.
• (4) aangezien de actie van H op N niet triviaal is voor |N | ≥ 3 hebben we ook : mH(N ) < m(2m) = m
omdatX1, . . . , Xm de grootste onafhankelijke verzameling is van de abelse groep2mmetX2
1 = . . . = X2
m= 12m.
AangezienN een abelse normaaldeler is van H hebben we : µ(H)≤ µ(H
N) + mH(N )
Uit (1)(3) en (4) volgt dan datµ(HN) = m− 1 en mH(N ) = m− 1 en dus hebben we
wegens de stelling van Whiston dat :
H
N ∼= F (H) = Sym(m).
Per definitie is mH(N ) de orde van de grootste deelverzameling van N waarvan geen
enkel element afhankelijk is van de H-geconjugeerden van de andere elementen van die deelverzameling. In de transitieve imprimitieve actie vanH op de m blokken van
orde 2 waarbijHN = Sym(m) de blokpermutaties zijn is elke bloksgewijze permutatie
op een blok viaSym(m) geconjugeerd aan een bloksgewijze permutatie op een ander
blok. Dit betekent dus :
mH(N )≤ 2.
De betrekkingµ(H)≤ µ(H
N) + mH(N ) wordt dan : 2m− 2 ≤ m − 1 + 2
wat enkel kan voorm ≤ 3 en dus n ≤ 6. Voor n ≥ 7 zijn er dus geen transitieve
imprimitieve groepen inV .
(1.3) UitGi = Alt(n) en Gi = hsj | j 6= ii volgt dat elke sj, metj 6= i, een
even permutatie is. AangezienS een genererende verzameling is van Sym(n) hebben
we datsidan een oneven permutatie moet zijn. Voor elke j 6= i bevat de groep Gj
per definitie de oneven permutatiesi. Dit betekent dat voor elkej 6= i we steeds Gj 6= Alt(n) hebben. Samen met (1.2) volgt hieruit dat voor n ≥ 7 alle groepen Gj, metj6= i intransitief zijn. We kunnen de indexatie dus zo veranderen dat G2, ..., Gn−1
intransitief zijn enG1ofwelAlt(n) ofwel intransitief is.
(1.4) We construeren nu een graafT met toppenverzameling{1, . . . , n} die voor elke
generatorsi, i∈ I een boog eiheeft :
• e1 := {x1, y1} waarbij x1 een willekeurig top is vanT die niet wordt
vastge-houden doorsi. De topy1wordt dan bepaald doory1= xs11 .
• ei:={xi, yi} waarbij de generator sieen puntxiafbeeldt naar een puntyi gele-gen in een andereGi− baan dan de baan die xibevat. Dit kan steeds omdatGi
voori > 1 intransitief is en sidus de enigste generator is, die wegens de transi-tiviteit vanSym(n), 2 elementen uit verschillende Gi-banen moet verbinden.
(1.5) Om te bewijzen datT een boom is moeten we aantonen dat de graaf T
samen-hangend is en geen cykels bevat.
Voor elkej 6= i en i > 1, is sj ∈ Gi, en verbindt de boogej de toppenxj en
yj = xsjj , gelegen in dezelfdeGi-baan. Wegens de constructie verbindt de boogei
2 toppenxi en yi = xsii uit verschillendeGi-banen. Aangezien elkeej metj 6= i
steeds 2 toppen verbindt binnen een zelfdeGi-baan en enkelei2 toppen verbindt uit verschillendeGi-banen, bestaat er in de graafT geen enkele cykel die de boog eibevat. De booge1is dan de enigste boog die rest welke tot een cykel kan behoren. Maar er bestaat geen cykel die 1 enkele boog bevat.
Aangezien de onafhankelijke genererende verzamelingS van Sym(n) volgens de
stelling van Whistonn− 1 elementen bevat, en we voor elk element si∈ S telkens een
boogeihebben meti∈ {1, . . . , n−1} hebben we juist n−1 bogen als voor i 6= j geldt
datei 6= ej. We kunnen aantonen dat voori6= j de verzameling {xi, yi} 6= {xj, yj}
is. Uiti6= j volgt namelijk dat si ∈ Gj en dus ook datxienyi = xsii in een zelfde
Gj-baan liggen. Anderzijds liggenxjenyjin verschillendeGj-banen. OmdatT een
graaf is metn toppen en n− 1 bogen is T een samenhangende graaf.
(1.6) We tonen nu aan dat voor elkei 6= 1 de permutatie si een transpositie, een 3-cykel, of een dubbele transpositie is.
• siis een transpositie⇔ voor elke u /∈ {xi, yi} geldt usi= u;
• siis een 3-cykel⇔ ysii ∈ {x/ i, yi} en voor elke u /∈ {xi, yi, ysii } geldt usi = u; • si is een dubbele transpositie⇔ er bestaan 2 elementen u, v /∈ {xi, yi} met
usi= v en voor elke w /∈ {xi, yi, u, v} geldt wsi = w.
Alsu en v van T op elkaar kunnen worden afgebeeld door een element vanhsii, dan
hebben we 2 mogelijkheden die we in (1.6.1) en (1.6.2) behandelen.
(1.6.1) Eerste geval : u behoort tot de Gi-baan vanxienv behoort tot de Gi-baan vanyi.
In de samenhangende boomT is er een pad van xi naaru en een pad van yinaar v. Als nu in de unie van deze 2 paden een boogej metj 6= 1 voorkomt dan kunnen we xjnaaryjafbeelden door enkel gebruik te maken van elementen vanS\ {sj} ⊆ Gj. Maar dit kan niet wantxj enyj liggen in verschillendeGj-orbieten. Dit betekent dat zowel in het pad vanxi naaru als in het pad van yi naarv enkel de bogen e1 enei
kunnen voorkomen. Aangezien we met 2 samenhangende bogen hoogstens 3 punten van T kunnen verbinden is het duidelijk dat de verzameling{xi, yi, u, v} hoogstens
3 elementen heeft. Verder wordt elk puntw van boom T dat niet tot de verzameling {xi, yi, u, v} behoort door sivastgehouden. Dit is zo omdat de padene1 enei geen nieuwe puntenw en wsi 6= w kunnen bevatten. We bekijken nu alle mogelijke paden
vanu naar xien vanv naar yi:
• e1 = {u, xi} , ei = {xi, yi} en yi = v met ysii = x1. In dit geval issi = (u, xi, yi= v). Aangezien de permutatie s12 punten moet verbinden in dezelfde
sicyclus en in dezelfdeGi-orbiet rest er ons enkels1= (u, xi) = (x1, y1). • si= (x1, y1)(xi, y1) met yi= y1ens1= (x1, y1)
• si= (x1, y1)(x1, yi) met xi= x1ens1= (x1, y1) • si= (x1, y1)(y1, yi) met xi= y1ens1= (x1, y1)
(6.2) Tweede geval :u en v behoren tot dezelfde Gi-baan. In dit geval ise1= (u, v). Dit betreft dus de gevallen :
• si= (xi, yi)(x1, y1) en s1= (x1, y1) • si= (xi, yi) en s1= (x1, y1)
(1.7) Uit het voorgaande volgt dus dats1een transpositie is.
(1.8) Als alle deelgroepenGi, i ∈ I intransitief zijn dan kan men bij de indexering
vanS ={si| i ∈ {1..n − 1}} voor s1elk element uitS kiezen. In dat geval is dus elk
element vanS een transpositie en hebben we : S = S(T )
In het andere geval isG1 = Alt(n) en is s1een transpositie en zijn de andere gene-ratorssi 3-cykels of dubbele transposities van even pariteit. UitS een onafhankelijke
genererende verzameling vanSym(n) volgt dat S′:={s1, s1s2, . . . , s1sn−1} een
on-afhankelijke genererende verzameling is vanSym(n) bestaande uit permutaties van
oneven pariteit. Aangezien ook S’ als onafhankelijke genererende verzameling van
Sym(n) enkel transposities, 3-cykels en dubbele transposities kan bevatten, bestaat de
verzamelingS′enkel uit transposities. Hieruit volgt dat :
S = S∗(T, ǫ, s1)
Gevolg 5.1.2. Aantal minimax verzamelingen vanSym(n). • (1) De enige minimax verzameling van Sym(2) is {(12)}
• (2) Voor n 6= 2 zijn er juist nn−1minimax verzamelingen vanSym(n) :
– (2.1)nn−2minimax verzamelingen vanSym(n) welke enkel transposities
bevatten;
– (2.2)nn−2(n−1) minimax verzamelingen van Sym(n) die niet enkel
trans-posities bevatten.
– (2.3) Als we geen onderscheid maken tussen een 3-cykel en zijn invers dan zijn er n2(n− 1)n−3minimax verzamelingen vanSym(n) die niet enkel
transposities bevatten. Bewijs.
(1) Sym(2) bevat enkel de transpositie (12) als niet triviaal element. De verzameling {(12)} is dan ook de enigste minimax verzameling van Sym(2).
(2.1) Volgens de vorige stelling bestaat er een bijectie tussen denn−2bomenT met
toppen in {1, ..., n} en de minimax verzamelingen S(T ) van Sym(n) waarvan alle
elementen transposities zijn. Aangezien ernn−2bomen zijn met toppenverzameling
{1, ..., n} zijn er dus ook nn−2minimax verzamelingen vanSym(n) waarvan de
(2.2) Volgens de vorige stelling bestaat er voor elke minimax verzameling S van Sym(n), welke niet uit enkel transposities bestaat, een boom T en een element s ∈ S(T ) zodat :
S ={s} ∪ {st | t ∈ S(T ) \ {s}} (1)
Elke van denn−2bomenT met toppenverzameling{1, ..., n} geeft ons een unieke
mi-nimax verzameling transpositiesS(T ) van Sym(n). Elk van de n− 1 elementen s van S(T ) geeft ons een unieke minimax verzameling S, die niet enkel transposities bevat
vanSym(n). Dit betekent dat er nn−2(n− 1) minimax verzamelingen van Sym(n)
zijn die niet enkel transposities bevatten.
(2.3) We beschouwen nu al de verzamelingenS∗(S(T ), ǫ, s) over de verschillende
keuzes van de functieǫ en de verschillende keuzes van de transpositie s als een
iden-tieke minimax verzameling vanSym(n). Voor elke keuze van ǫ hebben we : s−1.S∗(S(T ), ǫ, s)\ {1} = S \ {s}
Het gezochte aantal wordt dus enkel bepaald door het aantal keuzes van transpositiess
vermenigvuldigt met het aantal bomen metn− 1 toppen : n2(n− 1)n−3.
Gevolg 5.1.3. Voorn≥ 7 is elke onafhankelijke genererende verzameling S = {si | i∈ I} van Sym(n), met |I| = n − 1, sterk onafhankelijk.
Bewijs.
We bewijzen dit voor de 2 mogelijke vormen vanS : • (1) S = S(T ) met T een boom met n toppen.
• (2) S = {s} ∪ {(st)ǫ(t)| t ∈ S(T ) \ {s}} met s ∈ S(T )
(1) We onderzoeken eerst het geval waarbijS = S(T ) met T een boom met n toppen. S bestaat dan enkel uit transposities.
Als we voorsj= (xj, yj)∈ S de boog {xj, yj} verwijderen uit boom T bekomen
we een woudTjbestaande uit 2 bomenT′enT′′. Aangezien de verzamelingen toppen vanT′enT′′een partitie vormen van de verzameling toppen vanT is het duidelijk dat
elke transpositie uithS(T′)i commuteert met elke transpositie uit hS(T′′)i. We hebben
dan ook :
Gj =hsi ∈ S | i 6= ji = hS(T′)ihS(T′′)i = Sym(T′)× Sym(T′′)
Voor een deelverzamelingJ van I bepaalt TJeen partitie opI door de samenhangende
componenten vanTJ te beschouwen als equivalentieklassen. AlsTJhet woud is dat ontstaat door voor elkesj = (xj, yj) met j ∈ J de boog {xj, yj} uit T te verwijderen
dan volgt per inductie dat :
GJ =hsi∈ S | i /∈ Ji = Sym(T′)× . . . × Sym(T′′)
met[T′, . . . , T′′] partitie op de toppenverzameling van T . Voor elke J ⊆ I is GJdus het direct product van de symmetrische groepen van de samenhangende componenten van het bosTJ.
Voor 2 deelverzamelingenJ en K van I behoudt een permutatie de partities TJ en
TKenkel en alleen als die permutatie de doorsnede bewaart van elke equivalentieklasse uit de ene partitie met elke equivalentieklasse uit de tweede partitie. Dit betekent :
GJ∩ GK=×T′∈TJSymT′∩ ×T′′∈TKSym(T′′) = ×T′∈TJ,T′′∈TK|T′∩T′′6=∅Sym(T′∩ T′′)
AlsT′een samenhangende component is uitTJenT′′een samenhangende compo-nent is uitTKdan is de niet ledige doorsnedeT′∩ T′′een samenhangende component vanTJ∪Kwant alsx en y 2 toppen zijn uit T′∩ T′′dan is er in boomT een uniek pad
vanx naar y , dat nergens langs takken gelabeld door elementen van J of K, loopt. We
hebben dus : We kunnen dus besluiten datS = S(T ) sterk onafhankelijk is wegens : GJ∩ GK =×T′∈TJ∪KSym(()T′) = GJ∪K
(2) We onderzoeken nu het geval waarbijS(T, s, ǫ) ={s} ∪ {(st)ǫ(t) | t ∈ S(T ) \ {s}} met s ∈ S(T ).
VoorJ ⊆ {2, . . . , n − 1} hebben we :
• GJ∪{1}is de deelgroep van de even permutaties vanGJ.
• GJ =hSJi = hs1, s1si| i /∈ J ∪ {1}i = hsi| i /∈ Ji = hS(T )Ji
En dus voldoen de groepenGJ metJ ⊆ {2, . . . , n − 1} aan de eigenschappen van
paragraaf (1) en hebben we voorJ, K ⊆ {2, . . . , n − 1} : • GJ∩ GK = GJ∪K;
• GJ∪{1}∩ GK = GJ∪K∪{1}want elke even permutatie vanGJ∪K is een even permutatie vanGJdie ook totGK behoort.
• GJ∩ GK∪{1} = GJ∪K∪{1}want elke even permutatie vanGJ∪K is een even permutatie vanGKdie ook totGJbehoort.
• GJ∪{1}∩ GK∪{1} = GJ∪K∪{1} want elke even permutatie vanGJ∪K is een even permutatie vanGKdie ook tot de even permutaties vanGJ behoort. We kunnen dus besluiten datS = S(T, s, ǫ) sterk onafhankelijk is wegens :
GJ∩ GK = GJ∪K
Gevolg 5.1.4. AlsB ≤ Sym(n) en µ(Sym(n), B) = n − 1 ≥ 6 dan is B = {1}.
Bewijs.
Aangezienµ(Sym(n), B) = n− 1 bestaat er een B-relatieve onafhankelijke
gene-rerende verzamelingS ={si| i ∈ I} van Sym(n) met |I| = n−1. Volgens de stelling
van Whiston isS, bestaande uit n− 1 onafhankelijke elementen, een onafhankelijke
Als voor eeni ∈ I met si ={xi, yi} de boog {xi, yi} verwijderen uit de boom T
metS = S(T ) wordt de boom T verdeelt 2 delen. We hebben nu 2 mogelijkheden : • (1) beide delen zijn even groot;
• (2) beide delen zijn niet even groot;
(1) Als voor eeni∈ I de boog eiverwijderen uit de boomT met S = S(T ) wordt
de boomT verdeeld in 2 samenhangende componenten. Als deze 2 componenten van
ongelijke lengte zijn, dan isGi:=hsj | j 6= ii een maximale deelgroep van Sym(n).
AangezienS een B-relatieve onafhankelijk genererende verzameling is van Sym(n)
en Gi = hS \ {si}i hebben we dat si ∈ hB ∪ G/ ii en dus hB ∪ Gii 6= Sym(n).
AangezienGieen maximale verzameling is vanSym(n) hebben we dus : B≤ Gi (1)
(2) Als voor eeni ∈ I de boog ei verwijderen uit de boomT met S = S(T ) dan
wordt de boomT verdeelt in 2 componenten T en T′. Als deze componenten van gelijke lengte zijn dan kunnen we in plaats van boogeieen tak (loshangende boog)ej
uit boomT verwijderen zodat Gj = Sym(n− 1). Wegens de B-onafhankelijkheid van
de elementen vanS moet B het n-de punt vasthouden. Dit betekent dat B ⊆ Gj = Sym(n−1). Maar nu is S′= S\{sj} een onafhankelijke genererende verzameling van Sym(n−1) met G′
i=hS′
ii = Gi∩Sym(n−1) en hebben we volgens de argumentatie
uit paragraaf (1) (omdat n-1 nu oneven is) dat :
B⊆ G′
i= Gi∩ Sym(n − 1) ⊆ Gi
Dus ook in het geval datGigeen maximale deelgroep is vanSym(n) hebben we : B≤ Gi (2)
(1) en (2) Uit (1) en (2) mogen we besluiten dat :
B≤ ∩n−1i=1Gi= G{1,...,n−1}=h∅i = 1
Opmerking 5.1.5. Via een GAP-programmaatje kan men nagaan dat het verband tus-sen een boom en een minimaxset ook geldt voorn = 2, 3 of 5. Een
minimaxverzame-ling vanSym(6) kan echter ook een product van 3 transposities of 2 3-cykels bevatten.
De minimaxverzameling{(1, 2), (1, 3), (1, 4)(2, 3)} van Sym(4) is de enigste die niet
rechtstreeks overeenkomt met een boomstructuur.