Definitie 5.3.1. AlsG een groep is, en (Gi | i ∈ I) een familie deelgroepen is van G
dan noteren we voorJ ⊂ I :
GJ:=∩j∈JGj
We herinneren dat de nevenklassenstructuurΓ(G, (Gi | i ∈ I)) de incidentiestructuur
is met typenverzamelingI en waarbij voor elke i ∈ I de rechtse nevenklassen (Gig | g ∈ G) de elementen zijn van type i en waarbij 2 nevenklassen incident zijn als hun
doorsnede niet ledig is. We zeggen dat de nevenklassenstructuurΓ(G, (Gi | i ∈ I))
een nevenklassemeetkunde is als aan de volgende3 condities voldaan is : • (G1) ∀J, K ⊆ I geldt GJ= GK⇔ J = K.
• (G2) ∀J ⊆ I met |J| < |I| − 1 geldt GJ =hGJ∪{k}| k ∈ I \ Ji.
• (G3) Als de paarsgewijze doorsnede van rechtse nevenklassen uit een familie
nevenklassenF (Gjxj | j ∈ J) nooit ledig is dan is er een element van g dat
behoort tot elke nevenklasse inF .
De Borel deelgroep van de nevenklassemeetkundeΓ(G, (Gi| i ∈ I)) is B = GI
Stelling 5.3.2. Buekenhout en Hermand formuleerden (G3) in termen van de deelgroe-penGi, i∈ I :
• (BH) Voor elke deelverzameling J van I, met orde minstens 3, en elke j ∈ J
geldt :
Gj(∩k∈J\{j}Gk) =∩k∈J\{j}GjGk
• (BH)=(G3)
• Als (BH) geldt voor een j ∈ J dan geldt (BH) voor elke j ∈ J
Definitie 5.3.3. We noemen een nevenklassemeetkundeΓ(G, (Gi | i ∈ I)) residueel
zwak primitief, of RWPRI, als ook (G4) geldt :
• (G4) Voor elke echte deelverzameling J van I bestaat er een k ∈ I \ J zodat GJ∪{k}een maximale deelgroep is vanGJ.
Stelling 5.3.4. Eigenschap van de rang van een nevenklassemeetkunde.
• (1) De rang |I| van een nevenklassemeetkunde Γ(G, (Gi | i ∈ I)) met Borel
deelgroepB is ten hoogste m(G, B).
• (2) De rang |I| van een RWPRInevenklassemeetkundeΓ(G, (Gi | i ∈ I)) met
Borel deelgroepB is ten hoogste µ(G, B).
Bewijs.
(1.1) We construeren een verzamelingS := {si | i ∈ I} door voor elke i ∈ I een
elementsi ∈ GI\{i}\ Gite kiezen. Dit kan steeds want stel dat voori∈ I elke s van GI\{i}ook totGibehoort, dan isGI\{i}⊆ Gien bekomt menGI = GI\{i}∩ Gi = GI\{i}wat in tegenspraak is met (G1).
(1.2) S is een B-relatieve onafhankelijke verzameling van G want we kunnen
aanto-nen dat voor elkei∈ I geldt :
si∈ hB, s/ j | j ∈ I \ {i}i • per constructie is si∈ G/ i
• uit B = ∩k∈IGkvolgtB⊂ Gi
• voor j ∈ I \ {i} hebben we sj ∈ Giwant :
– voorj∈ I \ {i} hebben we per constructie sj∈ GI\{j}
– voorj∈ I \ {i} is i ∈ I \ {j} en hebben we dus GI\{j}⊂ Gi
• uit si ∈ G/ i enhB, sj | j ∈ I \ {i}i ⊂ Gi volgt dan dat si ∈ hB, s/ j | j ∈ I\ {i}i .
(1.3) Aangezien we eenB-relatieve onafhankelijke verzameling S hebben van orde |I| geldt dus :
rang(Γ) =|I| = |S| ≤ m(G, B)
(2) Als (G4) geldt dan kunnen we per inductie op|I \ J| bewijzen dat : ∀J ⊆ I : GJ =hB, sk | k ∈ I \ Ji
(2.1) De stelling geldt voor|I \ J| = 0 want dan is J = I en GJ = GI = B.
(2.2) We tonen nu aan dat als de de stelling geldt voor elkeK met|I \ K| < |I \ J|
dan geldt ze ook voor|I \ J|. Uit J ⊂ I en (G4) volgt dat er een k ∈ I \ J bestaat
zodatGJ∪{k}een maximale deelgroep is vanGJ. Aangezien|I \ (J ∪ {k})| < |I \ J|
hebben we volgens de inductiehypothese dat
GJ∪{k} =hB, sl| l /∈ J ∪ {k}i (2.1)
Uit de constructie vanskvolgt :
• sk∈ G/ ken dus ooksk∈ G/ J∪{k}(2.2.1) omdatGJ∪{k} ⊆ Gk; • uit k ∈ I \ J volgt dat sk ∈ GJ (2.2.2);
• uit (2.2.1) en (2.2.2) volgt dat sk ∈ GJ\ GJ∪{k}(2.2).
Aangezien volgens (G4)GJ∪{k}een maximale deelgroep is vanGJvolgt uit (2.1) en (2.2) dat :
∀J ⊆ I : GJ =hB, sk| k ∈ I \ Ji (2.3)
S is dan een B-relatieve onafhankelijke genererende verzameling van G want uit
(2.3) volgt :
G = G∅=hB, sk| k ∈ Ii = hB, Si
Hieruit volgt dan :
Opmerking. Het bewijs toont ook aan dat voor een RWPRInevenklassemeetkunde de verzamelingS = {si | i ∈ I} een sterke B-relatieve onafhankelijke genererende
verzameling vanG is want uit :
• GJ =hB, sl| l ∈ I \ Ji wegens (2.3) • GK =hB, sl| l ∈ I \ Ji wegens (2.3)
• GJ∪K =hB, sk | k ∈ I \ (J ∪ K)i wegens (2.3)
volgt datGJ∪K = GJ ∩ GK. Het omgekeerde is echter niet altijd waar. Als S een
sterkeB-relatieve onafhankelijke verzameling is van G, en we Gi gelijkstellen aan
hB, sj | j 6= ii, dan zijn de condities (G1),(G2) en (G3) voldaan maar (G4) kan
falen. We toonden aan dat de4 condities wel gelden in het geval dat S een minimax
verzameling is vanSym(n).
Stelling 5.3.5. Alsn≥ 7 dan is er, op een conjugatie en invertie van de generatoren
na, een bijectie tussen de minimax verzamelingen van de groepSym(n) en de RWPRI nevenklassemeetkunden van rangn− 1 van de groep Sym(n)
Bewijs
(1) ZijC(Sym(n), (Gi| i ∈ I)) met |I| = n−1 een RWPRInevenklassemeetkunde van groepSym(n). In de vorige stelling hebben we gezien dat we voor elke i∈ I een si ∈ GI\{i}\ Gi kunnen kiezen zodat de verzamelingS ={s1, ..., sn−1} een sterke B-onafhankelijke verzameling is van Sym(n) met :
Sym(n) =hB, si| i ∈ Ii µ(Sym(n), B) = n− 1
wegensn− 1 ≤ µ(Sym(n), B) ≤ µ(Sym(n)) = n − 1. Anderzijds hebben we voor n≥ 7 reeds bewezen dat B = {1} voor B ≤ Sym(n) en µ(Sym(n), B) = n − 1. We
hebben dus :
Sym(n) =hsi| i ∈ Ii = hSi
AangezienS een onafhankelijke verzameling is van Sym(n) volgt uit de stelling van
Whiston datS een minimax verzameling is van Sym(n).
Voor elke andere keuze vanS′={s′
i| i ∈ I geldt ook dat voor elke i ∈ I de keuze s′
i moet behoren totGI\{i}\ Gi. Dit betekent datsiens′
i op een maximale vlag na identiek zijn of dat in het geval datsieen3-cykel is, geldt dat s′
i= s−1i .
(2) We veronderstellen nu datS = {si | i ∈ I} een minimax verzameling is van Sym(n) en we gaan bewijzen dat C(Sym(n), (Gi | i ∈ I)), met Gi :=hS \ {si}i en sJ :={si∈ S | i /∈ J}, een RWPRInevenklassemeetkunde is van rangn− 1.
(2.1) We tonen nu aan datC voldoet aan (G1).
Voor2 verschillende deelverzamelingen J en K van I geldt dat GJ=hsJi 6= hsKi = GKomdatS een onafhankelijke verzameling is van Sym(n). De deelgroepen GJmet
(2.2) We tonen nu aan datC voldoet aan (G2).
We hebben reeds bewezen dat voor n ≥ 7 een minimax verzameling van Sym(n)
een sterke onafhankelijke verzameling is van Sym(n). Aangezien S dus een sterke
minimax verzameling is vanSym(n) geldt dat|I| = n − 1 en dat voor elke J, K ⊆ I
geldt datGJ∩ GK = GJ∪K. AlsJ⊆ I is en |J| < n − 2 dan is : GJ∪{k}= GJ∩ GkenhGJ∪{k} | k /∈ Ji =
hGJ∩ Gk | k /∈ Ji = hsJ∩ sk| k /∈ Ji = hsk | k /∈ Ji = hsJi = GJ
(2.3) We tonen nu aan datC voldoet aan (BH) voor S = S(T ) van type (1).
Als we voorJ, K⊆ I en i /∈ J ∪ K kunnen aantonen dat : Gi(GJ∩ GK) = GiGJ∩ GiGK
dan volgt per inductie dat (BH) voldaan is want we hebben voor eenl∈ J \ j : Gj(∩k∈J\{j}Gk) = Gj(∩k∈J\{j,l}Gk∩ Gl) =
Gj(Gk∈J\{j,l}∩ Gl) = GjGk∈J\{j,l}∩ GjGl= ∩k∈J\{j,l}GjGk∩ GjGm=∩k∈J\{j}GjGk
AangezienGJ∩GKzowel deelverzameling is vanGJals vanGKhebben we reeds :
Gi(GJ∩ GK)⊆ GiGJ∩ GiGK
We gaan nu de omgekeerde ongelijkheidGiGJ∩ GiGK ⊆ Gi(GJ∩ GK) bewijzen. • We stellen de verzameling Tigelijk aan de verzameling van de samenhangende
componenten van het bos dat bekomen wordt door de boogei uit boomT te
verwijderen. ZijA een maximale samenhangende component in Ti.Giis dan de verzamelingsgewijze stabilisator van de maximale samenhangende component
A in Tiomdat voorj 6= i de toppen van boog {xj, yj} steeds in eenzelfde Gi -component liggen.
• We stellen TJgelijk aan de verzameling van de maximale samenhangende com-ponenten van het bos dat bekomen wordt door alle bogenejmetj∈ J uit boom T te verwijderen. We herinneren ons dat GJdan het direct product is van de per-mutatiegroepenSym(B) met B∈ TJ. Aangezieni /∈ J ∪ K is elke component B ∈ TJ, behalve die ene componentBJ dieeibevat, een deelverzameling van
A of van het complement ACvanA.
• Analoog stellen we TKgelijk aan de verzameling van de maximale samenhan-gende componenten van het bos dat bekomen wordt door alle bogenek met
k ∈ K uit boom T te verwijderen. We hebben dan dat GK het direct pro-duct is van de permutatiegroepenSym(C) met C ∈ TK. Aangezieni /∈ J ∪ K
is elke componentC ∈ TK, behalve die ene componentCK dieei bevat, een deelverzameling vanA of van het complement ACvanA.
(2.4) We tonen nu aan dat uitg∈ GiGJ∩ GiGK volgt datg∈ Gi(GJ∩ GK). • uit g ∈ GiGJvolgt dat[Ag\ \BJ] = [A\ \BJ]
• uit g ∈ GiGK volgt dat[Ag\ \CK] = [A\ \CK] [Ag\ \BJ∩ CK] = [A\ \BJ∩ CK]
MaarBJ∩ CK is juist die ene component van het bosTJ∪K dieeibevat. Aangezien
GJ∩ GK = GJ∪Kis er dus een elementh∈ GJ∩ GK met een triviale actie buiten
BJ∩ CK zodat(Ag∩ (BJ∩ CK))h = A∩ (BJ ∩ CK). Dit wil zeggen dat gh−1
de componentA fixeert en dus element is van Gi. We hebben uiteindelijk dat g = (gh−1)h een element is van Gi(GJ∩ GK).
(2.5) We tonen nu aan datC voldoet aan (G4) voor S van type (1).
We moeten nu aantonen dat alsJ ⊂ I er een k ∈ I \ J bestaat zodat GJ∪{k} een maximale deelgroep is vanGJ. AangezienJ 6= I en G = Sym(n) is de actie van GJ
op eender welke van zijn banen equivalent met de actie vanSym(n) op dezelfde baan.
Voor een takek in het woudTJ is de actie vanGJ op de nevenklassen vanGJ∪{k}
dan ook equivalent met de actie vanSym(n) op deze nevenklassen. Dit betekent dat GJ∪{k}een maximale deelgroep is vanGJ
(2.6) We tonen nu aan datC voldoet aan (BH) voor S = S∗(T, ǫ, s1) van type (2).
We mogen aannemen dats1een transpositie is terwijl de andere elementen3-cykels en
dubbele transposities zijn.
• Als 1 /∈ J dan is zoals bij S(T ) de minimax verzameling S∗(T ) het direct
product van de permutatiegroepen op de componenten vanTJ. (BH) volgt nu onmiddelijk.
• Als 1 ∈ J dan bewijzen we (BH) voor j = 1 en G1= Alt(n) : An(∩k∈J\{1}Gk) =∩k∈J\{1}Alt(n)Gk
AangezienGJ\{1}een oneven permutatie bevat zijn beide leden van de vergelij-king gelijk aansnen geldt de gelijkheid.
(2.7) We tonen nu aan datC voldoet aan (G4) voor S = S∗(T, ǫ, s1) van type (2). • Als 1 /∈ J kunnen we k=1 nemen en is GJ∪{1}met index 2 maximaal inGJ.
• Als 1 ∈ J dan is de actie van GJ op elk van zijn banen equivalent met de actie vanSym(n) of Alt(n) op dezelfde baan en is het bewijs verder analoog aan
(G4a).
Gevolg 5.3.6. Voorn≥ 7 is elke nevenklassemeetkunde van rang n − 1 RWPRI.
Bewijs. Dit is een onmiddelijk gevolg van de stelling van Whiston en de vorige stel-lingen.