Sporadische groepen van de eerste generatie
Definitie 3.9.1. In zijn zoektocht naar multi-transitieve permutatiegroepen maakte Ma-thieu gebruik van Steiner systemen. De MaMa-thieu groepen zijn namelijk de automorfis-megroepen van Steiner systemen :
• M12:= Aut(S(5,6,12)) een 5-transitieve permutatiegroep op 12 punten; • M11:= Aut(S(4,5,11)) een 4-transitieve permutatiegroep op 11 punten; • M24:= Aut(S(5,8,24)) een 5-transitieve permutatiegroep op 24 punten; • M23:= Aut(S(4,7,23)) een 4-transitieve permutatiegroep op 23 punten; • M22:= Aut(S(3,6,22)) een 3-transitieve permutatiegroep op 22 punten.
Stelling 3.9.2. Een gevolg van de stelling van Burnside :
Een minimale niet-triviale normaaldeler van een eindige2-transitieve groep is : • ofwel elementair-abels en regulier
Sporadische groepen van de tweede generatie
Definitie 3.9.3. De HexacodeG6 is een3-dimensionele deelruimte van F4
4 voortge-bracht door de vectoren
(ω, ¯ω, ¯ω, ω, ¯ω, ω), (¯ω, ω, ω, ¯ω, ¯ω, ω), (¯ω, ω, ¯ω, ω, ω, ¯ω)
Definitie 3.9.4. De Golay codeG24is een12-dimensionele deelruimte van F24 2 zodat x = (x1, ..., x24)∈ G24 m (x1.0+x7.1+x13.ω +x19.¯ω, x2.0+x8.1+x14.ω +x20.¯ω, x3.0+x9.1+x15.ω +x21.¯ω, x4.0 + x10.1 + x16.ω + x22.¯ω, x5.0+ x11.1 + x17.ω + x23.¯ω, x6.0 + x12.1+ x18.ω + x24.¯ω)∈ G6
We kunnen de Golay code woorden ook beschouwen als deelverzamelingen van
{1, ..., 24} via de injectie
f : x = (x1, ..., x24)→ {i ∈ {1, ..., 24} | xi= 1}
Definitie 3.9.5. Het Leech roosterΛ24is een rooster inZ24:
• waarbij de elementen x = (x1, ..., x24)∈ Λ24voldoen aan : – ∀i ∈ {1, ..., 24} : xi= x1 (mod 2);
– P24i=1xi = 4x1 (mod 8);
– ∀k ∈ Z : {i ∈ {1, ..., 24} | xi = k (mod 4)} ∈ G24(als Golay verzame-ling).
• met groepsoperatie ∀x, yΛ24: x.y = 1 8
P24 i=1.
Met de theorie van de modulaire vormen kan men bewijzen dat Λ24 het unieke unimodulair even rooster is in Z24dat geen wortels heeft.
Definitie 3.9.6. Conway (1968) berekende de orde vanCo0:= Aut(Λ24) en ontdekte 3 nieuwe sporadische groepen als bijproduct, namelijk de Conway groepen Co1, Co2
enCo3.
• Co1:=Z(Co0)Co0 met Z(Co0) ={−1, +1} de scalaire matrices 1 en −1; • Co2:= StabCo0(v) met v∈ Λ4;
• Co3:= StabCo0(w) met w∈ Λ6.
Definitie 3.9.7. Aan de hand van de Conway groepen kan men nog3 andere simpele
groepen ontdekken.
• de Higman-Sims groep HS := StabCo0((w, w′)) een stabilisator is van Co0die een transitieve actie uitvoert op de verzameling{(w, w′)∈ Λ6× Λ6| w + w′ ∈ Λ4};
• de McLaughlin groep McL := StabCo0(v + v′) een stabilisator is van Co0die een transitieve actie uitvoert op de verzameling{(v, v′)∈ Λ4× Λ4| w + w′ ∈ Λ6};
Sporadische groepen van de derde generatie
Definitie 3.9.8. G is een 3-transpositiegroep enkel en alleen als G voortgebracht is
door eenG-invariante verzameling D (een conjugatieklasse van involuties) bestaande
uit elementen van orde2 waarbij de orde van het product van 2 elementen uit D 1, 2 of 3 is :
• ∀a ∈ D : a2= 1
• ∀a, b ∈ D : ab = 1 of (ab)2= 1 of (ab)3= 1
Stelling 3.9.9. Stelling van Fischer.
AlsG een eindige 3-transpositiegroep is dan is de groep Z(G)G isomorf met :
• Sym(n), PSUn(22), Sp2n(2), GO2nǫ(2), PΩ2nǫ(3) : 2, Ω2n+1(3), SO2n+1(3); • of een van de Fischer groepen Fi22, Fi23, Fi′24.2.
Stelling 3.9.10 (1955). Brauer-Fowler.
AlsG een eindige simpele groep is van even orde die een involutie t bevat dan geldt : |CG(t)| = c ⇒ |G| ≤ (c2)!
Volgens de stelling van Feit-Thompson uit 1963 is elke eindige niet abelse simpele groep van even orde en bevat dus volgens de stelling van Sylow steeds een involutiet.
Op het eerste zicht blijkt deze stelling niet zo praktisch te zijn in onze zoektocht naar de simpele groepen. Toch kan men op basis van deze stelling een strategie bepalen om te bewijzen dat men alle simpele groepen reeds heeft gevonden :
• stap 1) bepaal alle mogelijke structuren van involutiecentra van eindige simpele
groepen;
• stap 2) bepaal voor elke gevonden structuur alle simpele groepen met zo’n
invo-lutiecentrum.
De stelling helpt ons bij stap2. Het moeilijke gedeelte van CFSG is natuurlijk stap 1.
Verder bestaat het bewijs van CFSG dan uit een reekst stellingen in de zin van : ”Als het involutiecentrum van een simpele groep G van de vorm V is dan is G een van de volgende simpele groepen...”
Een conjugatieklasse van een groep waarbij de elementen van orden zijn noteert
men alsnA. We gebruiken bijvoorbeeld nA en nB als het om 2 verschillende
conju-gatieklassen gaat. Het is duidelijk dat2 geconjugeerde elementen steeds dezelfde orde
hebben want alsb = gag−1dan isbm= (gag−1)m= gag−1...gag−1= gamg−1= 1
vooram= 1.
Gevolg 3.9.11. Met deze strategie kunnen verscheidene sporadische simpele groepen worden ontdekt :
• Janko groep J1: CJ1(2A) ∼= 2 × Alt(5); • Janko groep J3: CJ3(2A) ∼= 21+4− : Alt(5);
• Janko groep J2: CJ2(2A) ∼= CJ3(2A); • Held groep He : CHe(2A) ∼= 21+6: PSL3(2); • Lyons groep Ly : CLy(2A) ∼= 2.Alt(11);
• Harada-Norton groep HN : CHN(2B) ∼= 21+8+ .(Alt(5)× Alt(5)).2; • Thompson groep Th : CTh(2A) ∼= 21+8+ .Alt(9);
• Baby Monster B : CM(2A) ∼= 2.B;
• Janko groep J4: CJ4(2A) ∼= 21+12+ .(3.M22: 2); • Monster groep M : CM(2B) ∼= 21+24+ .Co1;
• Rudvalis groep Ru : CRu(t) = Z
4Z × Sz(8) voor t /∈ Z(Ru) waarbij Ru 2
conjugatieklassen2A en 2B heeft met elementen van orde 2.
Stelling 3.9.12. AlsG een eindige groep is met juist een conjugatieklas 3A van
ele-menten van orde3 met
CG(A3) = Z
9Z× PSL2(9)
dan isG isomorf met de O’Nan groep ON.
CFSG : classificatie van de eindige simpele groepen
Stelling 3.9.13 (CFSG). Elke niet abelse eindige simpele groep is van1 van de
vol-gende types :
• een alternerende groep Alt(n) met n ≥ 5; • een groep van het Lie type;
• een sporatische groep.
Zonder Bewijs.
Vorige versies van het bewijs bestaan uit ongeveer 15000 bladzijden verspreid over boeken en artikels. Het revisieprogramma, opgestart door de inmiddels overleden Da-niel Gorenstein en voortgezet door Ron Solomon en Richard Lyons, is bezig om dit bewijs te herconstrueren in zowat 5000 bladzijden. Een paar volumes werden reeds gepubliceerd.
De groepen die we in de vorige sectie hebben gezien zijn dus allen simpel en het zijn ook de enigste simpele groepen. Ter informatie geven we in bijlage enkele ta-bellen weer met eigenschappen over de simpele groepen, waarbij we de belangrijkste methoden hebben behandeld.
Hoofdstuk 4
STELLING VAN WHISTON
4.1 Stelling van Whiston
Stelling 4.1.1. (Whiston)
AlsS een onafhankelijke verzameling is van Sym(k) dan geldt : • |S| ≤ k − 1
• |S| = k − 1 ⇔ hSi = Sym(k)
Bewijs.
We gaan nu inductief bewijzen dat deze stelling voor elkek∈ N geldt.
(1) De stelling geldt voork≤ 3.
Omdat∅ de enigste onafhankelijke en genererende verzameling is van Sym(1) hebben
we :
m(Sym(1)) = 0
Omdat∅ de enigste niet-genererende onafhankelijke verzameling is van Sym(2), en
omdat{(1, 2)} de enigste genererende onafhankelijke verzameling is van Sym(2),
heb-ben we :
m(Sym(2)) = 1
Omdat ∅ , {(1, 2)} , {(1, 3)} , {(2, 3)} , {(1, 2, 3)} en {(1, 3, 2)} de enigste
niet-genererende onafhankelijke verzamelingen zijn vanSym(3),
en omdat {(1, 2), (1, 3)} , {(1, 2), (2, 3)} , {(1, 2), (1, 2, 3)} , {(1, 2), (1, 3, 2)} , {(1, 3), (2, 3)} , {(1, 3), (1, 2, 3)} , {(1, 2), (1, 3, 2)} , {(2, 3), (1, 2, 3)}
en {(2, 3), (1, 3, 2)} de enigste genererende onafhankelijke verzamelingen zijn van Sym(3), hebben we :
(2) Als de stelling geldt voork < n dan geldt ze ook voor k = n.
AlsS een onafhankelijke verzameling is van Sym(n) dan hebben we een groep G≤ Sym(n) met :
G :=hSi.
Verder kiezen we dan eens∈ S zodat we een deelgroep H van groep G hebben met : H :=hS \ {s}i.
We gaan verder in het hoofdstuk, door gebruik te maken van de stelling voork < n,
aantonen dat :
• m(H) ≤ n − 2; (1)
• m(H) = n − 2 ⇔ G = Sym(n). (2)
AangezienS\ {s} een onafhankelijke verzameling is van H hebben we dan : • |S \ {s}| ≤ n − 2;
• |S \ {s}| = n − 2 ⇔ G = Sym(n).
Aangezien S juist 1 element meer heeft dan S\ {s} kunnen we wegens G = hSi
besluiten met de stelling voork = n : • |S| ≤ n − 1;
• |S| = n − 1 ⇔ hSi = Sym(n).
Er rest ons dus nog aan te tonen dat de groepH voldoet aan (1) en (2) als de stelling
geldt voork < n.
AangezienH een transitieve of een intransitieve actie heeft op Σ met|Σ| = n, en
elke transitieve actie ofwel een primitieve of een imprimitieve actie is moeten we in de rest van het hoofdstuk slechts volgens de stelling van O’Nan Scott enkel de volgende gevallen behandelen :
• H is intransitief; • H is imprimitief; • H is niet-basis primitief;
• H is basis primitief. Volgens de stelling van O’Nan Scott is dit identiek met :
– H is affien;
– H is diagonaal;
– H is bijna simpel. Volgens CFSG hebben we dan een simpele groep T ,
metT ≤ H ≤ Aut(T ) die een van volgende types heeft : ∗ T = Alt(k) met k ≥ 5;
∗ T is van Lie type;
∗ T is 1 van de 26 sporadische groepen.
Propositie 4.1.2. Voor een onafhankelijke verzamelingS , kunnen we uit S steeds een
elements weglaten zodat :
Bewijs. Stel dat we door het verwijderen vans uit S toch Alt(n) genereren dan bevat S\ {s} als deelverzameling van Alt(n) enkel even permutaties. Als we nu in plaats
vans zo een even permutatie s′verwijderen dan kanS\ {s′} onmogelijk nog Alt(n)
genereren omdatS een onafhankelijke verzameling is, wat in tegenspraak is met : s′ ∈ Alt(n) = hS \ {s′}i
Merk op dat het bewijs steunt op een keuze vans. In het vervolg kunnen we dus gerust