In deze sectie beginnen we uiteindelijk te begrijpen waarom meetkunden van belang zijn bij de bestudering van groepen.
Definitie 2.5.1. De automorfismegroep van een incidentiestructuurΓ(V, T, t,∗) is de
groep van alle permutaties van de puntenverzamelingV die het type en de incidentie
bewaren.
Aut(Γ) :={g ∈ Sym(V ) | ∀x, y ∈ V : tg(x) = t(x), x ∗ y ⇒ g(x) ∗ g(y)}
Een automorfismegroep is een deelgroep vanAut(Γ).
Voorbeeld 2.5.2. Van de desarguesiaanse projectieve vlakkenPG2(Fq) is bekend dat
hun automorfismegroepPSL3(q) de groep lineaire afbeeldingen van de onderliggende
vectorruimte is, uitgedeeld naar de scalaire matrices en voorzien van een eventueel lichaamsautomorfisme. Dit is de fundamentaalstelling van de Projectieve Meetkunde. Voorbeeld 2.5.3. Een affien vlakΓ kunnen we op een unieke manier complementeren
tot een projectief vlakΓ, waartoe elk automorfisme van het affien vlak zal uitbreiden.
Deze uitbreiding zal noodgedwongen de toegevoegde rechte op oneindig op zichzelf afbeelden. Elke automorfisme van het projectief vlak, datl∞vasthoudt, zal een auto-morfisme definieren op de affiene punten. Zijn werking op de punten vanl∞vertaalt zich dan in een permutatie van de parallelklassen. We besluiten dat :
Aut(Γ) = Aut(Γ)l∞.
Definitie 2.5.4. ZijV een vectorruimte over een lichaam L. Zij σ : L→ L een
anti-automorfisme, d.w.z. een isomorfismeL, +, .→ L, +, ∗ met a ∗ b = b.a : • (a + b)σ= aσ+ bσ
• (ab)σ= bσaσ
Een afbeelding g : V × V is een (σ,id)-lineaire afbeelding indien voor elke v, v′, w, w′∈ V en elke a, b ∈ L geldt dat :
• g(v + v′, w + w′) = g(v, w) + g(v, w′) + g(v′, w) + g(v′, w′) • g(va, wb) = aσg(v, w)b
Voorǫ∈ {1, −1} definieren we dan de (σ,ǫ)-hermitische vorm f : V × V → L als : f (v, w) = g(v, w) + ǫg(w, v)σ
We stellen doorLσde deelgroep voor van de additieve groep van L gevormd door de verzameling
{t − tσ | t ∈ L}
We onderscheiden volgende soorten bilineaire vormen :
• f is symmetrisch ⇔ σ = id en f (w, v) = f (v, w); • f is hermitisch ⇔ σ 6= id en f (w, v) = f (v, w)σ;
• f is alternerend ⇔ σ = id en f (v, v) = 0;
Stelling 2.5.5. Zij nu q een σ-kwadratische vorm met geassocieerde (σ,id)-lineaire
afbeeldingg en f de bijhorende σ-hermitische vorm, dan is Γ(P, L,∗) met : • P := {hvi ∈ PG(V ) | q(v) = 0}
• L := {hv, wi ⊂ P G(V ) | f (v, w) = 0}
een veralgemeende vierhoek.
Voor het bewijs verwijzen we naar[5]. We vermelden hier wel bij dat niet elke
veralgemeende vierhoek zomaar ingebed kan worden in een projectieve ruimte. Voorbeeld 2.5.6. De automorfismegroepH van een veralgemeende vierhoek, als
pro-jectieve deelstructuur bepaald door een een kwadratische vormq met geassocieerde
bilineaire vormf , is een deelgroep van de projectieve automorfismegroep. Elk
auto-morfisme van het projectief vlak, dat de kwadratische vormq respectievelijk de
biline-aire vormf vasthoudt, zal een automorfisme definieren op de veralgemeende vierhoek.
Definitie 2.5.7. Een Steiner systeemS(t,k,n)met1 < t < k < n is een
incidentie-structuurΓ(V, T, t,∗) waarbij V drie typen elementen bevat : • de elementen van S := {1, . . . , n} zijn elementen van type 0; • de deelverzamelingen van S, van orde t, zijn elementen van type 1;
• een aantal deelverzamelingen van S, van orde k, zodat elk element van type 1 incideert met juist 1 element van type k waarbij onze incidentierelatie∗ de
natuurlijke incidentie via∈ of ⊆ is.
Voorbeeld 2.5.8. Steiner systemen en Mathieu groepen.
Er is een uniek Steiner systeemS(5,6,12). Om deze incidentiestructuurΓ(X,∗, I, t)
van rang2 te construeren nemen we een verzameling van 12 punten{0, 1, 2, ..., 10, ∝}
en identificeren we deze met de punten van de projectieve rechte over F11:
{(1, 0), (1, 1), ..., (1, 10), (0, 1)}
Met andere woorden, de getallen modulo11 samen met het punt∝. F11heeft6 perfecte
kwadraten :
{0, 1, 3, 4, 5, 9}
We noemen deze verzameling een blok. Van dit blok bekomen we de andere blokken door de fractionele lineaire transformaties :
z→ az + b
cz + dmet ad6= bc
Deze blokken vormen het Steiner systeemS(5,6,12).
De automorfismegroep van dit Steiner systeem is de scherpe5-transitieve
Mathieu-groepM12.
In de actie vanM12op het Steiner systeemS(5,6,12) isM11de stabilisator van een punt. De scherpe4-transitieve Mathieugroep M11 is dan ook de automorfismegroep van het Steiner systeemS(4,5,11).
M11:= Aut(S(4,5,11))
Definitie 2.5.9. AlsP1enP2twee deelgroepen zijn van G dan is de
nevenklassemeet-kunde de incidentiestructuurΓ(G; P1, P2) waarbij : • de punten de nevenklassen P1g met g∈ G zijn, • de rechten de nevenklassen P2h met h∈ G zijn,
• de incidentie bepaald wordt door P1g∗ P2h⇔ P1g∩ P2h6= ∅.
Definitie 2.5.10. We noemen een incidentiestructuurΓ(P, B) samenhangend indien
de incidentiegraaf samenhangend is, dus als er voor elke twee objectenx, y∈ P ∪ B
een eindige keten bestaat van de vorm :
x = x0∗ x1∗ ... ∗ xn= y
We hebben dan volgende stelling.
Stelling 2.5.11. G =hP1, P2i als en slechts als Γ(G; P1, P2) samenhangend is.
Bewijs.
We bewijzen eerst dat uitΓ samenhangend volgt dat G =hP1, P2i.
We hebben dus voor elkeg∈ G een pad tussen P1enP1g : P1∗ P2h1∗ P1h2∗ ... ∗ P2hn∗ P1g
UitP1∗ P2h1volgt het bestaan van een puntp1∈ P1en een rechter2∈ P2zodat
h1= r−12 p1∈ hP1, P2i
Zo behoren ook de elementenh2, ..., hn en in het bijzonderg tothP1, P2i en hebben
we :
G =hP1, P2i
We bewijzen nu dat uitG =hP1, P2i volgt dat Γ samenhangend is. Aangezien we
een willekeurigeg∈ G kunnen schrijven als :
g = a1b1...anbnmet∀i : ai∈ P1, bi∈ P2
hebben we steeds een pad tussenP1g en P2:
P1g = P1a1b1...anbn∗ P2b1...anbbn = P2a2b2...anbn...∗ P1anbn = P1bn∗ P2bn= P2
Op dezelfde manier vinden we een pad tussenP1enP2h. Aangezien P1∗ P2vinden we een pad tussenP1g en P2h.
Stelling 2.5.12. G werkt vlag-transitief opΓ(G; P1, P2) door rechtse
AangezienG het type en de incidentie bewaart is G een automorfismegroep van Γ.
We tonen nu aan dat er een elementr in G bestaat dat de vlag (P1, P2) afbeeldt op de
vlag(P1g, P2h) met r∈ P1g∩ P2h. Maar hieruit volgt dat P1g = P1r en P2h = P2r
en hebben we dus eenr∈ G zodat :
Hoofdstuk 3
CLASSIFICATIE VAN
SIMPELE GROEPEN (CFSG)
Dit hoofdstuk dient opgevat te worden als een werkcollege. Het is onze bedoeling om de belangrijkste methoden en begrippen, die gebruikt worden in de studie van simpele groepen, aan de hand van een reeks oefeningen en methoden uit te leggen. We hebben niet geopteerd voor een strikt formele volledige opbouw omdat dit reeds een thesis op zichzelf is, en wij de problematiek van de simpele groepen enkel nodig hebben om de stelling van Whiston uit te werken.
3.1 Stelling van H¨older
De geschiedenis van de simpele groepen loopt volledig parallel met de geschiedenis van de groepen. Als we de de groepentheorie laten aanvangen met de stelling van Ga-lois is het duidelijk dat de simpele groepen reeds van in het begin aanwezig waren. Galois koppelde aan elken-de graadsvergelijking in een veranderlijke een groep,
na-melijk de alternerende groepAlt(n). De Stelling van Galois luidt dat voor n≥ 5 een
n-de graadsvergelijking niet oplosbaar is in radikalen. De reden hiervoor is dat voor
n≥ 5 Alt(n) een simpele groep is en dus niet oplosbaar is.
Definitie 3.1.1. G is een simpele groep enkel en alleen als {1G} en G de enigste
normaaldelers vanG zijn.
G heeft een compositierij van lengte n als en slechts als er groepen G0, G1, . . . , Gn
bestaan zodat voor elkei∈ {1, ..., n} de groep Gi
Gi−1 een simpele groep is en
{1} = G0⊳ G1⊳ ... ⊳ Gn= G
We noemenG oplosbaar als voor elke i ∈ {1, ..., n} de compositiefactor Gi−1Gi abels is.
Volgens de stelling van Jordan-Holder is de verzameling van de compositiefactoren onafhankelijk van de keuze van de compositierij. We hebben dan ook dat een groepG
simpel is enkel en alleen als de lengte vanG gelijk is aan 1. Een niet-abelse simpele
Oefening 3.1.2. Bepaal de compositiefactoren van
Z 6Z.
Oplossing De enigste priemgetallen die de orde vanG = Z
6Z delen zijn2 en 3. Dit
geeft ons2 mogelijke compositiereeksen :
• G0={0} ⊳ G2={0, 3} ⊳ G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} • G0={0} ⊳ G3={0, 2, 4} ⊳ G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
In beide gevallen vormen de simpele groepen 2ZZ = G2G0 = G3G en 3ZZ = G3G0 = G2G de compositiefactoren van 6ZZ. We kunnen de groep 6ZZ dus noteren als2.3