We hebben reeds bewezen dat een transitieve maar imprimitieve groepH steeds een
deelgroep is van een sliertproduct van twee groepen. Aangezien een eindige groep steeds een deelgroep is van een symmetrische groep hebben we steeds een verzameling
Γ en een verzameling ∆ zodat :
H ≤ Sym(Γ) ≀ Sym(∆)
Per definitie heeft het sliertproductSym(Γ)≀ Sym(∆) een actie op een verzameling Σ
die een partitie is vanu =|∆| blokken Γ1, . . . , Γuwaarbij elk van deze blokken een kopie is van de verzamelingΓ. Dit betekent :
n =|Σ| = |Γ|.|∆| = vu |Γ| = v |∆| = u
Volgens de definitie van een imprimitieve actie beeldt elk element vanH een blok Γi
af op een blokΓj metΓi = ΓjofΓi∩ Γj =∅, vandaar de partitie van de blokken op Σ.
Lemma 4.3.1. AlsH een imprimitieve deelgroep is van Sym(Γ)≀ Sym(∆) met |Γ| = v,|∆| = u < |Σ| = |Γ|.|∆| = n en als de stelling van Whiston geldt voor k < n en H een onafhankelijke genererende verzameling S′={g1, . . . , gl} heeft dan bestaat er
een onafhankelijke genererende verzamelingM = {h1, . . . , hk, hk+1, . . . , hl} van H
zodat :
• {h1, ..., hk} met k ≤ u − 1 een onafhankelijke genererende verzameling is voor
de blokoperaties;
• de elementen van {hk+1, ..., hl} de blokken verzamelingsgewijs vasthouden.
Bewijs.
(1) Aangezien|∆| = u en er u blokken Γ1, . . . , Γu zijn kunnen we de actie van
H op de blokkenverzameling {Γ1, . . . , Γu} beschouwen als een actie van H∆ = hg∆
1, . . . , g∆
l i op ∆. {g∆
1, . . . , g∆
l } is dan een genererende verzameling van H∆omdat
S′ een genererende verzameling is vanH. We hebben dan na een herindexatie dat er
een deelverzameling{g∆
1, . . . , gk∆} van {g∆
1, . . . , g∆l } een onafhankelijke genererende
verzameling is vanH∆. Dit betekent dat de verzameling{g1, . . . , gk} een
onafhan-kelijke genererende verzameling is voor de blokpermutaties. Aangezien de actie van
H op de verzameling blokken{Γ1, ..., Γu} een actie is op u < n blokken volgt uit
de stelling van Whiston voork < n dat de onafhankelijke verzameling van deze actie
hoogstensu− 1 elementen heeft. Dit betekent dus : k≤ u − 1
(2) Voor elkei > k hebben we een wi ∈ {g1, . . . , gk} zodat g∆ i .w∆
i = 1H∆ de blokkenΓ1, . . . , Γuverzamelingsgewijs vasthoudt. We definieren nu een verzameling
M ={h1, . . . , hk, hk+1, . . . , hl} via :
hj= gj j ≤ k hj= gjwj j≥ k + 1
(3) We hoeven nu nog slechts te bewijzen datM een onafhankelijke genererende
verzameling is vanH. We hebben nu dus dat S′= M1∪ M3enM = M1∪ M2met :
• M1:={h1, . . . , hk} = {g1, . . . , gk} • M2:={hk+1, . . . , hl}
• M3:={gk+1, . . . , gl}
Aangezien elk elementhi ∈ M2 geschreven kan worden alsgiwi metgi ∈ M3 en
wi∈ hM1i hebben we dat M2⊆ hM1, M3i en dus is M een genererende verzameling
vanH wegens :
hM i = hM1, M2i = hM1, M3i = hS′i = H
(4) Als we voorr ≤ k de gelijkheid hr = hi1...him hebben, dan kunnen we de elementen vanM2in het rechterlid verwijderen omdat ze een triviale actie hebben op de blokken. De gelijkheidg∆
r = g∆ i1...g∆
im is dan in tegenspraak met het feit datM1
een onafhankelijke genererende verzameling is van de blokacties.
Als we voorr ≥ k + 1 de gelijkheid hr = hi1...him hebben, waarbijhr nergens in het rechterlid voorkomt dan hebben we ookgr = hi1...himw−1r . Omdatgrnergens in het rechterlid voorkomt is dit in tegenspraak met het feit datS′een onafhankelijke verzameling is vanH.
Propositie 4.3.2. AlsH een transitieve imprimitieve groep is met blokken Γ1, . . . , Γu
dan zijn de groepenHΓ1, . . . , HΓu isomorf.
Bewijs. Het volstaat dat we bewijzen datHΓ1 ∼= HΓu. AangezienH een transitieve
imprimitieve groep is, bestaat er eenh∈ H zodat Γh
1 = Γu. Het elementh kan dan
opgevat worden als een bijectie tussenΓ1enΓ2. Voor elkex∈ Γuen elkeg∈ HΓ1
geldt :
x∈ Γu =⇒ xh−1 ∈ Γ1=⇒ xh−1g∈ Γ1=⇒ xh−1gh∈ Γu
Uith−1HΓ1h ∼= HΓ1volgt dusHΓu ∼= HΓ1.
Propositie 4.3.3. Als de stelling van Whiston geldt voork < n en S een onafhankelijke
verzameling is vanSym(n), met G =hSi, en er bestaat een s ∈ S zodat H = hS′i
metS′= S\ {s} transitief imprimitief is dan hebben we : m(H)≤ n − 3.
Bewijs.
UitH imprimitief volgt dat H een deelgroep is van Sym(Γ)≀ Sym(∆) met |Γ| = v
en|∆| = u < |Σ| = |Γ|.|∆| = n. We hebben reeds bewezen dat H een onafhankelijke
genererende verzamelingM ={h1, . . . , hk, hk+1, . . . , hl} heeft zodat :
• {h1, ..., hk} een onafhankelijke genererende verzameling is voor de
blokopera-ties;
• de elementen van {hk+1, ..., hl} de blokken verzamelingsgewijs vasthouden.
En tevens dat :
Aangezienhk+1, . . . , hl de blokkenΓ1, . . . , Γu verzamelingsgewijs vasthouden is de actie vanhk+1, . . . , hlopΓ1∪ . . . ∪ Γuequivalent met de actie van een deelgroep vanK := Sym(Γ1)× . . . × Sym(Γu) op Γ1∪ . . . ∪ Γu. We hebben dus 2 gevallen. (1) Eerste geval. Als de actie vanhk+1, . . . , hlopΓ1∪ . . . ∪ Γuovereenkomt met de actie van een echte deelgroep vanK op Γ1∪ . . . ∪ Γudan volgt uit de stelling van Whiston voork < n en het isomorfisme tussen de groepen HΓ1, . . . , HΓldat :
m(H)≤ k + u(v − 2)
Samen met (1) geeft dit in dit geval dat :
m(H)≤ (u − 1) + u(v − 2) ≤ u(v − 1) − 1 ≤ uv − u − 1 ≤ uv − 3
Aangezien m(G) = m(H) + 1 en uv = n =|Σ| hebben we in dit geval dat : m(G)≤ n − 2
(2) Tweede geval. Als de actie vanhk+1, . . . , hlopΓ1∪ . . . ∪ Γuovereenkomt met de actie vanK op Γ1∪. . .∪Γudan kiezen we na herindexatie een kleinste verzameling
{hk+1, . . . , hr}, met r ≤ s die Sym(Γ1) genereert. Aangezien de stelling van Whiston
geldt voor|Γ1| = v < n is het duidelijk dat :
r≤ k + (v − 1) (2)
We weten dat er voor elkei∈ [2..l] een ki ∈ hh1, . . . , hki is die blok 1 afbeeldt in
bloki en dat dus Sym(Γi) gegenereert kan worden door de elementen h1, . . . , hrvia :
HΓi = ki−1∗ HΓ1∗ ki
. Maar dit betekent niet dat het direct product van de groepen gegenereert kan worden doorh1, . . . , hr. Om bijvoorbeeldSym(Γ1)× Sym(Γ2) te genereren hebben we nog
elementen vanH nodig die Sym(Γ1) puntsgewijs vasthouden en Sym(Γ2) genereren.
Met deze elementen enhk+1, . . . , hrkunnen we danSym(Γ1)× Sym(Γ2) genereren.
Voor elkei∈ [r + 1, . . . , l] hebben we een wi∈ hh1, . . . , hri zodat wihialle blokken verzamelingsgewijs vasthoudt en het blokΓ1 puntsgewijs vasthoudt. Uit (S1) blijkt nu dat 1 element uit{wr+1hr+1, . . . , wlgl} volstaat om samen met de elementen van {h1, . . . , hr} de groep Sym(Γ1)× Sym(Γ2) te genereren. De actie vanhh1, . . . , hli
opΓ1∪ Γ2is dan equivalent met de actie vanhh1, . . . , hr+1i op Γ1∪ Γ2.
Als we zo verder redeneren hebben we voor elk bijkomend blok 1 bijkomend ele-ment nodig. Uiteindelijk hebben we dat de actie vanhh1, . . . hli op Γ1 ∪ . . . ∪ Γu
equivalent is met de actie van hh1, . . . , hr+1, . . . , hr+(u−1)i op Γ1∪ . . . ∪ Γu. Dit betekent :
r + (u− 1) = l
Samen met (1) en (2) geeft dit :
m(H) = l = r+(u−1) ≤ k+(v−1)+(u−1) ≤ (u−1)+(v−1)+(u−1) = 2u+v−3
• Voor v ≥ 3 en u ≥ 2 en (u, v) 6= (2, 3) is 2u + v ≤ uv en dit betekent : m(H)≤ n − 3.
• Voor (u, v) = (2, 3) is H ≤ Sym(3) ≀ Sym(2) en bewijzen we in (S2) dat m(G)≤ 5 met gelijkheid enkel en alleen als G = Sym(6).
• Voor v = 2 en u ≥ 3 is H ≤ Sym(Γ) ≀ Sym(∆) met |Γ| = 2 en |∆| ≥ 3
en bewijzen we in (S3) dat m(G) ≤ |Σ| − 1 met gelijkheid enkel en alleen als G = Sym(Σ).
• Voor v = 2 en u = 2 is G ≤ Sym(4) en volgt uit (S4) dat m(G) ≤ 3 met
gelijkheid enkel en alleen alsG = Sym(4).
Bewijs van (S1). Wegens de transitiviteit vanH hebben we een h∈ hh1, . . . hki die
blokΓ1afbeeldt op blokΓ2. De verzamelingV := h−1.hhk+1, . . . , hri.h genereert
dan al de permutaties opΓ2.
Alswr+1hr+1een oneven permutatie opΓ2is dan genereert de verzamelingW := {g−1wr+1hr+1.g | g ∈ V } alle permutaties op blok Γ2die blokΓ1puntsgewijs vast-houden. We mogen dus in dit geval besluiten dathh1, . . . hr+1i een groep bevat met
een actie equivalent aanSym(Γ1)× Sym(Γ2) op Γ1∪ Γ2.
Als voori > r alle wihieven permutaties zijn opΓ2dan genereertW voor zo een
even permutatie niet alle permutaties op blokΓ2. We kunnen echterwr+1 vermenig-vuldigen met een element v ∈ V en een h ∈ hh1, . . . , hki nemen zodat v.wr+1.h
een oneven permutatie is op Γ2, welke blok Γ1 puntsgewijs vasthoudt. Aangezien
v.wr+1h ook een element is vanhh1, . . . , hr+1i mogen we in dit geval ook besluiten
dathh1, . . . hr+1i een groep bevat met een actie equivalent aan Sym(Γ1)× Sym(Γ2)
opΓ1∪ Γ2.
Bewijs van (S2). We gaan aantonen dat uitH ≤ Sym(3)≀Sym(2) volgt dat m(G) ≤ 5 met gelijkheid enkel en alleen als G = Sym(6).
We hebben dan 2 mogelijke gevallen :
• (1) H = Sym(3) ≀ Sym(2); • (2) H < Sym(3) ≀ Sym(2).
(1) We onderzoeken eerst het geval waarbijH = Sym(3)≀ Sym(2).
Dit betekent datH en dus ook G een actie uitvoert op n := 3.2 = 6 elementen.
We weten uit een gevolg van de stelling van O’Nan Scott datSym(3)≀ Sym(2) een
maximale deelgroep is vanSym(6). Uit H = Sym(3)≀ Sym(2) < G ≤ Sym(6) volgt
dan :
G = Sym(6)
Aangezien|Sym(3) ≀ Sym(2)| = (3!)22 = 72 = 32.23hebben we dat :
Verder volgt uit {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} een onafhankelijke verzameling
vanSym(6) dat
5≤ m(G) = m(H) + 1 ≤ 6 4≤ m(H) ≤ 5
(1.1) Als m(H) = 4 dan valt er niets meer te bewijzen want we hebben dan : m(G) = m(H) + 1 = 5 en G = Sym(6)
(1.2.1) Als m(H) = 5 kunnen we uitsluiten dat er een s′ ∈ S′van orde 4 is, omdat er hoogstens 4 deelgroepen vanH kunnen voorkomen in een keten van deelgroepen
met ondergroephs′i van orde 4 :
4|8|24|72 of 4|12|24|72 of 4|12|36|72
(1.2.2.1) Er rest ons dus nog het geval datS′ ={g1, g2, g3, g4, g5} waarbij elk
ele-ment vanS′ ofwel orde 2 ofwel orde 3 heeft. Als we de twee blokken van de im-primitieve actie als {1, 2, 3} en {4, 5, 6} noteren kunnen we S′ herschrijven zodat
g1 = (14)(25)(36) de blokken wisselt en g2, g3, g4 eng5 de blokken verzamelings-gewijs vasthoudt. Aangezien we enkel een keten deelgroepen vanH, van lengte 5,
kunnen hebben als voor elke 2 elementens′, s′′∈ S′geldt dat|hs′, s′′i| = |s′|.|s′′| is,
bestaan er geen transposities inS′, noch inS, want de groephg1i is reeds van orde 8
en dus kunnen de andere elementeng2, g3, g4, g5net zoalsg1geen transposities zijn. (1.2.2.2) OpSym(6) hebben we een uitzonderlijk uitwendig automorfisme, een
au-tomorfisme dat niet van de vormFh: g → hgh−1is :
F : Sym(6)→ Sym(6) : : [(5, 6), (1, 2, 3, 4, 5)]− > [(1, 2)(3, 5)(4, 6), (1, 2, 3, 4, 5)]
UitF een automorfisme van Sym(6) en S een onafhankelijke genererende verzameling
vanSym(6) volgt dat F (S) ook een onafhankelijke genererende verzameling is van Sym(6). F (S) bevat echter het element F (g1) = F ((1, 4)(2, 5)(3, 6)) = (1, 3) :
_______________________________________ gap> genlst:= GeneratorsOfGroup(AutomorphismGroup(SymmetricGroup(6))); [ ˆ(1,2,3,4,5,6), ˆ(1,2), [ (5,6), (1,2,3,4,5) ] -> [ (1,2)(3,5)(4,6), (1,2,3,4,5) ] ] gap> F:=genlst[3]; [ (5,6), (1,2,3,4,5) ] -> [ (1,2)(3,5)(4,6), (1,2,3,4,5) ] gap> Image(F,(1,4)(2,5)(3,6)); (1,3) _______________________________________
Maar dit kan niet want (1, 3) is een transpositie. We kunnen dus de mogelijkheid m(H) = 5 uitsluiten.
(2) We onderzoeken nu het geval waarH een echte deelgroep is van Sym(3)≀Sym(2)
AangezienH nu een echte deelgroep is van Sym(3)≀Sym(2) hebben we dat de orde van H 1, 2, 3, 22, 2.3, 23, 32, 22.3, 2.32, 23.3 of 22.32. Dit betekent dat m(H)≤ l(H) ≤ 4
is.
(2.1) Als m(H) = 3 dan is m(G) = 4 en hoeven we niets meer te bewijzen want
wegens de onafhankelijke genererende verzameling
{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}
is m(Sym(6))≥ 5 en kan G dus niet gelijk zijn aan Sym(6).
(2.2) Als m(H) = 4 dan hebben we net als in het vorige geval dat de elementen
vanS′ = {g1, g2, g3, g4} van orde 2 of 3 zijn. Volgens de stelling van Sylow moet
de overgroepG vanhS′i ook een transpositie of een drie-cykel bevatten. De groep G
kan niet imprimitief zijn want de enigste imprimitieve deelgroep vanSym(6) die een
transpositie of een drie-cykel bevat isSym(3)≀ Sym(2) maar we hebben in het geval H = Sym(3)≀ Sym(2) reeds aangetoond dat m(Sym(3) ≀ Sym(2)) ≤ 4, wat niet
overeenstemt met m(G) = m(H) + 1 = 5. Dus is G primitief en hebben we : G = Sym(6) m(G) = 5
Bewijs van (S3). Voorv = 2 en u ≥ 3 is H ≤ Sym(Γ) ≀ Sym(∆) met |Γ| = 2
en|∆| ≥ 3 en bewijzen we dat m(G) ≤ |Σ| − 1 met gelijkheid enkel en alleen als G = Sym(Σ).
We tonen aan dat m(G)≤ n − 1 met gelijkheid enkel als G = Sym(Σ).
(1) AangezienS′ een onafhankelijke genererende verzameling vanH is, bestaat er
een onafhankelijke genererende verzamelingM :={g1, . . . , gk, gk+1, . . . , gl} met l = |S′| zodat :
• M1 := {g1, . . . , gk}, met k ≤ n, een onafhankelijke genererende verzameling
is voor de blokoperaties opΓ1, . . . , Γuwaarbij elk blok 2 elementen bevat ;
• de elementen van M2 :={gk+1, ..., gl} houden de blokken verzamelingsgewijs
vast.
We hebben dus nu reeds dat :
|M1| = k ≤ u − 1 (1)
(2) AangezienSym(Γ) = Sym(2) en in elk blok dus 2 elementen zitten, kunnen we hM2i beschouwen als een deelruimte van de u-dimensionale vectorruimte over F2met als basisM2. Per blok van 2 elementen is er hoogstens 1 permutatie verschillend van de triviale permutatie. Omdat eru blokken zijn en M2een onafhankelijke verzameling is vanhM2i hebben we nu ook :
(3) Volgens (1) en (2) hebben we nu 3 mogelijkheden :
• (3.1) k ≤ u − 2 en l − k ≤ u − 1; • (3.2) k ≤ u − 2 en l − k = u; • (3.3) k = u − 1.
(3.1) Alsk≤ u − 2 en l − k ≤ u − 1 dan hebben we wegens |Σ| = |Γ||∆| = 2u dat m(G) = m(H)+1 = l+1 = (l−k)+k +1 ≤ (u−1)+(u−2)+1 = |Σ|−2 = n−2
(3.2) Alsk≤ u − 2 en l − k = u dan is hM2i = Fu
2. In (3.2.1) en (3.2.2) tonen we aan dat dit niet kan.
3.2.1) Als voor elkeg∈ M2geldt datg1g(g1)−1= g dan zou g1alle elementen van de basis van Fu2 vasthouden en dus ook alle blokken vasthouden. Dit kan niet omdat
g1∈ M1enM1een onafhankelijke verzameling is van de blokpermutaties. We hebben dus eengi∈ M2zodatgieng1gig1−1lineair onafhankelijk zijn over het veld F2. (3.2.2) Maar de verzamelingM2∪ {g1gig1−1} is niet lineair onafhankelijk want M2
is reeds een basis van Fu2. Er moet dus een elementgj ∈ M2, verschillend vangi en
g1gig1−1zijn, zodatgj ∈ hg1, M2\ {gj}i. Maar dit kan niet omdat M een
onafhanke-lijke verzameling is vanH.
(3.3) Als k = u − 1 dan volgt uit de stelling van Whiston voor k < n dat hM1i = Sym(∆). hM1, gk+1i of hM1, gk+2i bevatten dan een deelgroep K die alle
blokken verzamelingsgewijs vasthoudt. Dit betekent datK isomorf is met een
deel-ruimte van codimensie 1 in Fu2. Maar dan ishM1, gk+1i = Sym(2) ≀ Sym(∆) of hM1, gk+1, gk+2i = Sym(2) ≀ Sym(∆). Dit geeft ons l ≤ (u − 1) + 2 = u + 1.
AangezienSym(2)≀ Sym(∆) een maximale deelgroep is van Sym(Σ) hebben we dan
alsu≥ 3 dat :
m(G)≤ u + 2 ≤ 2u − 1 ≤ |Σ| − 1
Alsu = 2 dan is G≤ Sym(4). Dit wordt in het volgende geval behandeld.
Bewijs van (S4). Voorv = 2 en u = 2 is G≤ Sym(4) en bewijzen we dat m(G) ≤ 3 met gelijkheid enkel en alleen als G = Sym(4).
Uit|Sym(4)| = 24 = 23.3 volgt dat l(Sym(4))≤ 4 en dus : m(G)≤ m(Sym(4)) ≤ l(Sym(4)) ≤ 4
Als m(G) = 4 of (m(G) = 3 en G < Sym(4)) dan hebben we enkel volgende
mogelijkheden voor de orden van de deelgroepen van een keten deelgroepen vanG : 2|4|8|24 2|4|12|24 2|6|12|24 3|6|12|24
Aangezien elke mogelijkheid start met een deelgroep van orde 2 of 3 hebben de ele-menten van de onafhankelijke genererende verzamelingS = {g1, g2, g3, ...} van G
allen ofwel orde 2 ofwel orde 3. Als voor {a, b, c, d} = {1, 2, 3, 4} het element g1= (a, b, c) van orde 3 is, dan is g2een transpositie want voor alle mogelijke vormen vang2geldt :
• voor g2 = (a, b) is h(a, b, c), (a, b)i = Sym({a, b, c}) en is m(G) = 4 of m(G) = 3 en G < Sym(4) nog mogelijk;
• voor g2= (a, d) ish(a, b, c), (a, d)i = Sym({a, b, c, d}) en zijn we niet meer in
het geval dat m(G) = 4 of m(G) = 3 en G < Sym(4);
• voor g2 = (a, b)(c, d) ish(a, b, c), (a, b)(c, d)i = Sym({a, b, c}) : 2 en zijn we
niet meer in het geval dat m(G) = 4 of m(G) = 3 en G < Sym(4);
• voor g2 = (a, b, d) ish(a, b, c), (a, b, d)i = Sym({a, b, c}) : 2 en zijn we niet
meer in het geval dat m(G) = 4 of m(G) = 3 en G < Sym(4);
Maarg3zou dan ook een transpositie van de vorm(a, c) zijn. Dit is niet mogelijk want (a, b, c), (a, b) en (a, c) zijn niet onafhankelijk. Dit betekent dat onze veronderstelling
onjuist is. Dus :
• m(G) ≤ 3