1 0 0 0 −1 0 0 0 0 , E1:= 0 1 0 0 0 0 0 0 0 , F1:= 0 0 0 1 0 0 0 0 0 K2:= 0 0 0 0 1 0 0 0 −1 , E2:= 0 0 0 0 0 1 0 0 0 , F2:= 0 0 0 0 0 0 0 1 0
AlsAi,j de3× 3 matrix is met enkel een 1 op de kruising van i-de rij met de j-de
kolom, en overal elders0’en dan hebben we voor i∈ {1, 2} : Ki= Ai,i− Ai+1,i+1, Ei= Ai,i+1, Fi= Ai+1,i
(3) We onderzoeken nu sln(K).
AlsAi,j de n× n matrix is met enkel een 1 op de kruising van i-de rij met de
j-de kolom, en overal elj-ders0’en dan hebben we voor i ∈ {1, ..., n − 1} per inductie
volgende voortbrengers vansln(K) :
Ki= Ai,i− Ai+1,i+1, Ei= Ai,i+1, Fi= Ai+1,i
UitAijAkl= δjkAilbekomen we dat het stelsel :
• KiKj− KjKi= (δi,j+ ...)− (δj,i+ ...) = 0 • Uit KiEj− EjKi− MijEj= 0, KiFj− FjKi+ MijFj= 0,EiFj− FjEi− δijKi=0, • [Ei, [Ei, ..., [Ei, | {z } Ej] = 0 en [Fi, [Fi, ..., [Fi, | {z } Fj] = 0,
telkensMij− 1 keer hetzelfde symbool EiofFiboven het onderhaakje voldaan is enkel en alleen als :
∀i ∈ {1, ..., n−1} : Mi,i= 2, Mi,i+1= Mi+1,i=−1, ∀j /∈ {i−1, i, i+1} : Mi,j = 0
Dit betekent dat Cartan matrixM van sln(K) overeenkomt met de Cartan matrix van
de quiverAn−1. Volgens de hoofdstelling van de Lie-theorie is sln(K) dan een simpele
algebra met Dynkin-diagramAn−1.
3.6 De Chevalley Groepen
De theorie over de simpele Lie-algebra’s werd in het midden van de jaren 1950 verhel-derd door de theorie van de algebraische groepen en het werk van Claude Chevalley over Lie-algebra’s. Als gevolg hiervan werd het concept van een Chevalley-groep ge-isoleerd. Chevalley construeerde een Chevalley-basis (een soort van integrale vorm) voor al de complexe enkelvoudige Lie-algebra’s (of beter gezegd van hun universeel omhullende algebra’s), die kunnen worden gebruikt om de corresponderende bijbeho-rende algebraische groepen over de gehele getallen te definieren. In het bijzonder nam hij punten met waarden in een eindig veld. Voor de Lie-algebra’sAn, Bn, Cn, Dngaf dit bekende klassieke groepen, maar zijn constructie gaf ook groepen die geassocieerd zijn met de uitzonderlijke Lie-algebra’s : E6,E7,E8,F4en G2. (Sommige van deze groepen waren al eerder geconstrueerd door Dickson.)
Definitie 3.6.1. De Chevalley groepG van een Lie-algebra g over een veld Fq wordt bepaald door :
G :=hexp(λad(x)) | x ∈ g, λ ∈ Fqi met ∀y ∈ g : ad(x)(y) = [x, y]
met : exp(λ[x, .]) := X i∈F∗ q λi i!.ad(x) i ∈ g
Stelling 3.6.2. AlsL een simpele Lie algebra is over C en K een willekeurig veld is dan
is de Chevalley groepG = L(K) een simpele groep behalve voor A1(2),A1(3),B2(2)
enG2(2).
We herhalen eerst de definities van de klassieke lineaire groepen en geven hierbij een eenvoudig voorbeeld om de methode beter te begrijpen.
Definitie 3.6.3. Lineaire groepen.
De algemene lineaire groepGLn(q) van graad n over een veld Fqis de verzameling van de inverteerbaren× n matrices, met als groepsoperatie de
matrixvermenigvuldi-ging.
GLn(q) :={M ∈ Fn×n
q | det(M ) 6= 0}
De actie van de algemene lineaire groepGLn(q) op de vectorruimte V = Fn
q induceert ons de projectieve lineaire groepPGLn(q) die de corresponderende actie uitvoert op
de projectieve ruimtePG(V ) : P GLn(q) := GLn(q)
Z(GLn(q))met Z(GLn(q)) = F
∗
q.En ∼= Cyclicq−1
De speciale lineaire groepSLn(q) van graad n over een veld Fqis de verzameling van den×n matrices met determinant 1 en als groepsoperatie de matrixvermenigvuldiging.
SLn(q) :={g ∈ GLn(q)| det(g) = 1}
De actie van de speciale lineaire groepSL(V ) op de vectorruimte V induceert ons
de projectieve lineaire groepPSL(V ) die de corresponderende actie uitvoert op de
projectieve ruimtePG(V ) :
PSLn(q) := sln(q) Z(sln(q))
met
Z(sln(q)) ={λ.En| λn= 1} ∼= Cyclic(n,q−1)
Oefening 3.6.4. Toon aan datPSL2(q) de Chevalleygroep is over een veld Fqvan de simpele Lie-algebra sl2(C).
Bewijs. We beschouwen sl2(q) = hf, h, eiFq als een vectorruimte met Chevalley basis : f := 0 0 1 0 , h := 1 0 0 −1 , e := 0 1 0 0 .
Uitad(e) : f → ef − f e = h, h → eh − he = −2e, e → ee − ee = 0.E3volgt dat
ad(e) de matrix is die (a, b, c) = af + bh + ce stuurt naar (b,−2c, 0) Hieruit volgt dan
: ad(e) = 0 1 0 0 0 −2 0 0 0 , ad(e)2:= 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 , ad(e)3= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0.E3.
We kunnen nuexp(λ.ad(e)) berekenen :
exp(λ.ad(e)) = E3+ λ.ad(e) +λ 2 2 .ad(e) 2= 1 λ −λ2 0 1 −2λ 0 0 1
Uit de symmetrie tussene en f volgt :
exp(λ.ad(f )) = E3+ λ.ad(f ) +λ 2 2 .ad(f ) 2= 1 0 0 2λ 1 0 −λ2 −λ 1
We kunnenSL2(q) genereren door transvecties :
SL2(q) =hx(λ), y(λ) | λ ∈ Fqi met : x(λ) := 1 λ 0 1 , y(λ) := 1 0 λ 1
We hebben dan een geconjugeerde actie vanSL2(q) op SL2(q) met : x(λ) : f → f + λh − λ2e h→ h − 2λe e→ e; y(λ) : e→ e − λh − λ2f h→ h + 2λf f → f ;
Dit betekent dat de ChevalleygroepA1(q) isomorf is met PSL2(q) : A1(q) :=hexp(λ.ad(e)), exp(λ.ad(f )) | λ ∈ F i ∼= PSL2(q)
Definitie 3.6.5. Symplectische groepen.
In de meetkunde is de symplectische groepSp2n(q) = Sp(F2n
q ) de groep van de
li-neaire transformaties van een2n-dimensionale vectorruimte V over het veld Fq , die een niet-ontaarde scheef-symmetrische bilineaire vormf vasthouden. Zulk een
vector-ruimte noemt men dan een symplectische vectorvector-ruimte. De symplectische Chevalley
groepCn(q) is de projectieve symplectische groep
PSp2n(q) : Cn(q) = PSp2n(q) = Sp2n(q) Z(Sp2n(q))
met Z(Sp2n(q)) ={En,−En}
Opmerking 3.6.6. De symplectische groepenSp2n(q) en PSp2n(q) zijn
automorfis-megroepen van de polaire ruimte∆ ingebed in P G(F2nq ). De punten van de polaire
ruimte ∆ zijn de punten van de projectieve ruimte P G(F2n
q ). De projectieve
pun-ten p = Fqv en q = Fqw met v, w ∈ F2n
q zijn collineair in ∆ enkel en alleen als f (w, v) = 0. De rechten van de polaire ruimte ∆ zijn enkel die projectieve rechten van P G(F2n
Oefening 3.6.7. Bewijs volgende eigenschappen van de symplectische groepen : • (1) |Sp2n(q)| = qn2 .Qni=1(q2i− 1) • (2) |PSp2n(q)| = 1 (2,q−1).|Sp2n(q)| • (3) Sp2(q) ∼= SL2(q) • (4) Sp4(2) ∼= Sym(6) Oplossing. (1) Sp2n(q) = {g ∈ GL2n(q) | ∀u, v ∈ F2n
q : f (ug, vg) = f (u, v) waarbij f een
symplectische vorm is zodat voor een symplectische basis{e1, ..., en, F1, ..., Fn} van F2nq geldt :
∀i, j ∈ {1, ..., n} : f (ei, Fj) =−f (Fj, ei) = δ(i, j), f (ei, ei) = f (Fi, Fi) = 0 Sp2n(q) bestaat dus uit de matrices
(e1...enF1...Fn)T
waarvoor
{e1, ..., en, F1, ..., Fn} ∈ GL2n(q)
een symplectische basis is van F2nq . Om de orde vanSp2n(q) te bepalen moeten we
dus het aantal mogelijke symplectische basissen van F2nq berekenen. Voor de keuze vane1heeft menq2n− 1 mogelijkheden want enkel de 0-vector kan geen basisvector
zijn. Voor de keuze vanF1heeft menq2n−1mogelijkheden want :
• F1∈ e/ ⊥
1, dit wil zeggenf (e1, F1)6= 0; • |e⊥
1| = q2n−1wantf (e1, X1e1+ ...YnFn) = 0 is de vergelijking van een
hyper-vlak inmathrbF2n q ;
• van de q2n− q2n−1resterende mogelijkheden voorF1metf (e1, F1)6= 0 zijn
erq2n−qq−12n−1 = q2n−1mogelijkheden die voldoen aanf (e1, F1) = 1.
Verder moete2, ..., en, F2, ..., Fneen symplectische basis zijn van F2n−2q . Per inductie hebben we dan : |Sp2n(q)| = n Y i=1 (q2i− 1)q2i−1= qn2 n Y i=1 (q2i− 1)
(2) Het centrum{E2n,−E2n} bestaat uit 1 element als q even is en uit 2 elementen
alsq oneven is want enkel voor p = 2 geldt a =−a in Fp. We hebben dus :
|PSp2n(q)| = 1
(3) PSp2(q) ∼= PSL2(q) want : σ = a b c d ∈ Sp2(q)⇔ f (eσ 1, F1σ) = f (e1, F1), ...
Maar dit betekentf (ae1+ cF1, be1+ dF1) = 1 en dus ad− bc = 1. De symplectische
matrices komen hier dus overeen met de speciale lineaire matrices. (4) Sp4(2) ∼= Sym(6) want :
• we beschouwen de actie van de coordinaatpermutaties van Sym(6) op de
6-dimensionele vectorruimte F26:
voorbeeld : (a1, a2, a3, a4, a5, a6)(14)(2356)= (a4, a3, a5, a1, a6, a2) • Sym(6) stabiliseert verzamelingsgewijs de 5-dimensionele deelruimte
W ={(x1, ..., x6)∈ F26| x1+ ...x6= 0}
• Sym(6) stabiliseert verzamelingsgewijs de 1-dimensionele deelruimte U =h(1, 1, 1, 1, 1, 1)i
• Sym(6) stabiliseert dan ook verzamelingsgewijs de 4-dimensionele
quotien-truimte
W U • op W en W
U kunnen we de niet-ontaarde symplectische vormf bepalen : f ((x1, ..., x6), (y1, ..., y6)) =
6
X
i=1
xiyi
• aangezien de coordinaten behoren tot F2isf ook een symplectische vorm • via de actie van Sym(6) opW
U kunnen weSym(6) inbedden in Sp4(2) • deze inbedding is een isomorfisme wegens
|Sp4(2)| = 24(22− 1)(24− 1) = 720 = 6! = |Sym(6)|
Definitie 3.6.8. In de meetkunde zijn de algemene orthogonale groepen
GO2n+1(q), GO2n(q)+enGO2n(q)−
de groepen van de lineaire transformaties van respectievelijk de vectorruimtes
F2n+1q , F2nq , F2nq
over een veld Fq, die respectievelijk een niet-ontaarde kwadratische vormk1, k2enk3
vasthouden met :
• k1(X−n, ..., X−1, X0, X1, ...Xn) = X2
• k2(X−n, ..., X−1, X1, ...Xn) =Pni=1XiX−i
• k3(X−n, ..., X−1, X1, ...Xn) = (X2
1 + X1X−1+ aX2
1) +Pni=2XiX−imaar dit enkel alsT2+ T + a niet oplosbaar is in Fq
De speciale orthogonale groep son(q) is de deelgroep van de algemene orthogonale
groepGOn,q() bestaande uit de matrices met determinant 1. De actie van de algemene
orthogonale groepGOn,q() op de vectorruimte V = Fn
q induceert ons de projectieve
orthogonale groepP G0n(q) die de corresponderende actie uitvoert op de projectieve
ruimtePG(V ). De actie van de speciale orthogonale groep son(q) op de vectorruimte V = Fn
q induceert ons de projectieve speciale orthogonale groepPSOn(q) die de
corresponderende actie uitvoert op de projectieve ruimtePG(V ).
De projectieve speciale orthogonale groepPSOn(q) is geen simpele groep. We
gaan op zoek naar een deelgroep van de projectieve speciale orthogonale groep die wel simpel is. Hiervoor moeten we een onderscheid maken tussen het geval datq oneven
is en het geval datq even is.
Orthogonale groepen van oneven karakteristiek q
Definitie 3.6.9. De reflectie rond een niet-singuliere vectorw∈ V wordt gegeven door rw: V → V : v → v −f (v, w)
k(w) .w
De spinor norm van een reflectierwheeft :
• de waarde 1 ∈ (C2, .) als k(rw) een kwadraat is in F∗q;
• de waarde −1 ∈ (C2, .) als k(rw) geen kwadraat is in F∗ q.
Aangezien we elk elementg van GOn,q() kunnen schrijven als een eindig product van
reflecties :
g =Y
i∈I
rwi
kunnen we gelijkaardig aan de definitie van het teken van een permutatie de spinor
norm van een algemene orthogonale transformatieg∈ GOn,q() bepalen : S : GOn,q(→)C2: g = rw1...rwm → S(rw1). ... .S(rwm)∈ (Cyclic2, .)
Definitie 3.6.10. De oneven karakteristieke orthogonale groep
Ωn(q)
bestaat uit de elementen van de groep son(q) waarvan de spinor norm 1∈ (C2, .) is : Ωn(q) := Ker(S)∩ PSOn(q).
De oneven karakterisitieke orthogonale projectieve groep wordt dan bepaald door :
PΩn(q) := Ωn(q) Z(Ωn(q))
Orthogonale groepen van even karakteristiek q Propositie 3.6.11. GO2n+1,q(∼=)sp2n(q)
Schets van het bewijs.
UitGOn,q(=)son(q) = PGOn(q) = PSOn(q) volgt GO2n+1,q(∼=)sp2n(q)
We hoeven dus nog enkel het evendimensionele geval te bekijken.
Definitie 3.6.12. De orthogonale transflectie rond een niet-singuliere vectorw∈ V
wordt gegeven door
tw: V → V : v → v + f (v, w).w
De quasideterminant van een transflectietwheeft de waarde−1 ∈ (Cyclic2, .).
Aan-gezien we elk element g van GOn,q() kunnen schrijven als een eindig product van
transflecties :
g =Y
i∈I
twi
kunnen we gelijkaardig aan de definitie van het teken van een permutatie de
quaside-terminant van een algemene orthogonale transformatieg∈ GOn,q() bepalen : Q : GOn,q(→)C2: g = tw1...twm → (−1)m∈ (C2, .)
Definitie 3.6.13. De even karakteristieke orthogonale groep
Ω2nǫ(q)
bestaat uit de elementen van de groepGO2nǫ(q) waarvan de quasideterminant 1 is in (Cyclic2, .).
Ω2nǫ(q) := Ker(Q)