Deelruimten van R
nDeelruimten van R
nDefinitie
Een deelruimte van Rn is een deelverzameling H met drie eigenschappen.
a. De nulvector is een vector in H.
b. Als u en v vectoren zijn in H dan is u + v een vector in H.
c. Als u een vector is in H en c is een scalar dan is cu een vector in H.
Voorbeeld
Wat is een meetkundige beschrijving van alle deelruimten van R2? En van R3?
Voorbeeld
Laten v1, v2, . . . , vp vectoren zijn in Rndan is Span{v1, v2, . . . , vp} een deelruimte van Rn.
Voorbeeld (§2.8, opgave 5)
Laat v1=
2 3
−5
, v2=
−4
−5 8
en w =
8 2
−9
.
Onderzoek of w een vector is in de deelruimte van R3 opgespannen door v1en v2.
2 −4 8
3 −5 2
−5 8 −9
∼
1 −1 −6
0 1 −10
0 0 3
en dus w /∈ Span{v1, v2}.
Definitie
Laat A een m × n matrix zijn. De kolomruimte van A bestaat uit alle lineaire combinaties van de kolommen van A.
Dus: is A = [a1a2 . . . an] dan is de kolomruimte van A gelijk aan Span{a1, a2, . . . , an}.
Notatie
Col(A) of Kol(A).
Voorbeeld (§2.8, opgave 7)
Laat v1=
2
−8 6
, v2=
−3 8
−7
, v3=
−4 6
−7
, p =
6
−10 11
en A = [v1v2v3].
a. Hoeveel vectoren zitten er in {v1, v2, v3}?
b. En hoeveel in Col(A)?
c. Is p een vector in Col(A)? Waarom wel of waarom niet?
a. 3,
b. overaftelbaar veel,
c.
2 −3 −4 6
−8 8 6 −10
6 −7 −7 11
∼
2 −3 −4 6
0 2 5 −7
0 0 0 0
en dus p ∈ Col(A). Leg deze antwoorden nog wel uit.
Definitie
Als A een m × n matrix is dan heet de oplossingsverzameling van de matrixvergelijking Ax = 0 ({x ∈ Rn| Ax = 0}) de nulruimte van A.
Notatie
Nul(A).
Stelling
Als A een m × n matrix is dan is Nul(A) een deelruimte van Rn. (De naam ‘nulruimte’ suggereert dit al.)
Opgave
§2.8, opgave 9
Laat v1=
2
−8 6
, v2=
−3 8
−7
, v3=
−4 6
−7
, p =
6
−10 11
en A = [v1v2v3].
Is p een vector in Nul(A)? Waarom wel of waarom niet?
Als Ap = 0 dan p ∈ Nul(A). Het is eenvoudig te controleren dat dit niet het geval is.
Voorbeeld (zie ook: §2.8, opgave 23)
Laat A = [a1a2a3a4] =
4 5 9 −2 6 5 1 12 3 4 8 −3
.
Col(A) wordt opgespannen door 4 vectoren. Wordt deze deelruimte van R3ook opgespannen door minder vectoren? Zo ja, welke? En wat is het kleinste aantal?
Worden op A rij-operaties toegepast dan:
4 5 9 −2 6 5 1 12 3 4 8 −3
∼
1 1 1 1
6 5 1 12 3 4 8 −3
∼
1 1 1 1
0 −1 −5 6
0 1 5 −6
∼
1 1 1 1
0 1 5 −6 0 1 5 −6
∼
1 1 1 1
0 1 5 −6
0 0 0 0
∼
1 0 −4 7
0 1 5 −6
0 0 0 0
Voor elk van deze matrices geldt:
‘derde kolom = -4 (eerste kolom) + 5 (tweede kolom)’ en
‘vierde kolom = 7 (eerste kolom) − 6 (tweede kolom)’.
Dit komt omdat rij-operaties de relaties tussen de kolommen niet be¨ınvloeden.
De matrix
1 0 −4 7
0 1 5 −6
0 0 0 0
maakt duidelijk dat elke vector in de kolomruimte niet alleen een lineaire combinatie is van de vier kolommen maar ook een lineaire combinatie van de eerste twee. En dus
Col(A) = Span{a1, a2, a3, a4} = Span{a1, a2}.
Merk op dat {a1, a2} een verzameling lineair onafhankelijke vectoren is.
Stelling
Als A een matrix is dan wordt Col (A) opgespannen door de
pivotkolommen van A (de kolommen waarin na rij-operaties de pivots komen te staan!).
Deze pivotkolommen vormen een lineair onafhankelijke verzameling vectoren.
Voorbeeld (zie ook: §2.8, opgave 23,vervolg)
Laat A = [a1a2a3a4] =
4 5 9 −2 6 5 1 12 3 4 8 −3
.
Van welke ruimte is Nul(A) een deelruimte? Bepaal het kleinste aantal vectoren waardoor Nul(A) wordt opgespannen.
Worden op de aangevulde matrix [A|0] rij-operaties toegepast dan:
4 5 9 −2 0
6 5 1 12 0
3 4 8 −3 0
∼
1 0 −4 7 0
0 1 5 −6 0
0 0 0 0 0
x1en x2zijn basisvariabelen en x3en x4zijn vrije variabelen.
Als x3= t en x4= s (t, s ∈ R) dan
Nul(A) = {
x1
x2
x3
x4
= t
4
−5 1 0
| {z }
b1
+s
−7 6 0 1
| {z }
b2
|(t, s ∈ R)}.
Dus Nul(A) is een deelruimte van R4en Nul(A) = Span{b1, b2}.
Definitie
Een basis voor een deelruimte H van Rnis een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant.
Opmerkingen
Laat A een m × n matrix zijn.
Col(A) is een deelruimte van Rm en een basis wordt gevormd door de pivotkolommen van A.
Nul(A) is een deelruimte van Rn en een basis wordt gevonden door Ax = 0 op te lossen. Iedere vrije variabele correspondeert met een vector uit de basis.
Opgaven
§2.8, opgave 25
Hieronder staan A en een echelonmatrix bij A.
1 4 8 −3 −7
−1 2 7 3 4
−2 2 9 5 5
3 6 9 −5 −2
∼
1 4 8 0 5
0 2 5 0 −1
0 0 0 1 4
0 0 0 0 0
Bepaal een basis voor Col(A) en Nul(A).
§2.8, opgave 17
Gegeven zijn de vectoren
0 1
−2
| {z }
v1
,
5
−7 4
| {z }
v2
en
6 3 5
| {z }
v3
.
Is {v1, v2, v3} een basis voor R3?
