- Terugkijken en vergelijken
Als ik over wiskundeonderwijs spreek met oudere collega’s van universiteiten en hogescholen van welke discipline ook, dan beginnen hun ogen te glinsteren als ze het over het onderwijs in de Euclidische meetkunde hebben. Daarin hebben ze geleerd om problemen aan te pakken, redeneringen op te zetten en hun denken te ontwikkelen. Op scholen waar voor de Euclidische meetkunde in wiskunde-B2 op het vwo een goede leraar is gevonden, hoor ik weer hetzelfde van leraren en leerlingen. Niet gemakkelijk, wel uitdagend! De praktische opdrachten, de GWA, de profiel- werkstukken enzovoort zijn een nieuw element in onze wiskundeprogramma’s. Mits goed opgezet, stevig begeleid en mede voorzien van een solide wiskundige inhoud, zie je dat leerlingen uitgedaagd worden tot een serieuze wiskundige activiteit, waardoor ze inderdaad onderzoeksvaardigheden leren ontwikkelen. In elk type vervolgonderwijs (zowel bij de gamma’s als bij de bèta’s) wordt wiskunde steeds meer op die manier benut voor het aanpakken van grotere ontwerp- en onderzoeks- opdrachten in de toegepaste hoek. De oproep van Jan van de Craats tijdens de laatste jaarvergadering van onze vereniging om ons voornamelijk te beperken tot het onderwijzen van algebraïsche vaardigheden (terug naar de oude hbs) negeert niet alleen de
ontwikkelingen in alle vakken van havo-vwo maar ook die in het mbo, hbo en wo.
- Kennen en kunnen
In een centraal schriftelijk examen is er weinig ruimte voor het toetsen van deze kennis. Door alle leerjaren heen tot en met het schoolexamen moeten leerlingen leren, steeds grotere en complexere opdrachten aan te pakken en tot een goed einde te brengen. Een wiskundige kern in deze opdrachten, die veelal een onderzoeks- of ontwerpkarakter moeten hebben, is daarbij een vereiste. (Uiteraard geen kopieerwerk van internet.) Een opbouw van meer naar minder gestructureerde opdrachten ligt voor de hand. Uiteindelijk mondt dit traject uit in een profielwerkstuk, ook voor wiskundige opdrachten.
Actiepunt: De wiskundesectie ontwerpt door de jaren heen een lange leerlijn van dit type opdrachten.
- Hoe bereiken de leerlingen dat?
Individueel en in groepjes werken aan grote opdrachten, rapporteren over aanpak en resultaten, een verplichte terugblik op de eigen aanpak en manier van werken, lessen trekken voor de volgende keer, een eigen persoonsgebonden aanpak ontwikkelen. Waar ben ik goed in? Waar moet ik speciaal om denken?
Actiepunt: De wiskundesectie ontwerpt voor de leerlingen een algemeen kader waar de aanpak, het oplossingsproces en de rapportage aan moet voldoen.
- Welke hulp is daarbij nodig?
De docent begeleidt primair het proces en controleert daardoor of de leerlingen binnen het algemene kader opereren en inderdaad zelf productief bezig zijn.
Actiepunt: Binnen de school volgt de
wiskundesectie eenzelfde strategie, waardoor het voor leerlingen duidelijk wordt waar het zwaartepunt in hun werk moet liggen.
- Wat werkt niet goed?
De beoogde leerdoelen worden niet bereikt als de docenten alleen het eindproduct van een groepje of individu beoordelen en niet de manier waarop dat product tot stand is gekomen. Het ontwikkelen van wiskundige onderzoeksvaardigheden stagneert eveneens als er geen duidelijke verantwoording wordt gevraagd van een solide wiskundige kern van de aanpak die tot het resultaat heeft geleid. Als het beoordelingskader van proces en product vaag blijft, leidt deze geringe sturing tot sterk wisselvallige resultaten zonder een duidelijke groei in kwaliteit.
Principes, abstracties, rijke cognitieve
schema’s, overzicht
- Terugkijken en vergelijken
Zeker na 1968 is onder invloed van publicaties van Richard Skemp en Joop van Dormolen het inzicht gegroeid dat leerlingen niet vanzelf in hun
langetermijngeheugen een samenhangend netwerk van wiskundige begrippen en methoden ontwikkelen. Met name het opsplitsen van de leerstof in kleine afzonderlijke eenheden die afzonderlijk werden geoefend en getoetst, bleek bij veel leerlingen tot rampzalige gevolgen in hun ordening van kennis te leiden. Een grafiek in de vorm van een rechte lijn had niets te maken met een eerstegraads functie, en beide stonden weer los van eerstegraads vergelijkingen. Een meer concentrische opbouw, waarbij telkens teruggegrepen wordt op een al eerder opgebouwd cognitief schema, is tegenwoordig in de meeste schoolboeken wel terug te vinden.
- Kennen en kunnen
De wiskundige kennis en methoden moeten in hun onderlinge samenhang en gekoppeld aan een bepaald type toegepaste situaties worden beheerst en gebruikt voor het oplossen van problemen.
Actiepunt: De wiskundesectie ontwerpt voor zichzelf samenhangende netwerken inclusief klassen van toegepaste situaties.
Zie de ‘kennisgrafen’ van Bert Zwaneveld in [7].
- Hoe bereiken de leerlingen dat?
Systematisch moeten leerlingen overzichten maken, samenhangen en onderliggende abstracties zoeken, expliciteren wat ze kennen en kunnen, in toepassingen de onderliggende wiskundige kernen opsporen, kortom reflecteren op hun kennis.
Actiepunt: De wiskundesectie bedenkt vragen en opdrachten om dat proces te stimuleren.
- Welke hulp is daarbij nodig?
In dit proces van niveauverhoging van de wiskundige kennis van de leerlingen speelt de interactie met de docent een centrale rol. Daar moet een belangrijk deel van de lestijd en het begeleiden van in groepjes werkende leerlingen aan worden besteed. Laat de leerlingen vanaf de brugklas rapporteren over de zelf gemaakte fouten, de eigen manier van werken verbeteren, de eigen kennis weergeven in opstelletjes enzovoort.
Actiepunt: De centrale functie van interactie moet binnen de school (weer) de ruimte krijgen.
- Wat werkt niet goed?
Funest voor de opbouw van een samenhangend netwerk van wiskundige kennis en toepasbare kennis in het langetermijngeheugen van de leerlingen is de toenemende praktijk van het ‘bijleveren’ van wiskunde op afroep. Op dit moment kiest men er vaak voor, vakken te doen opgaan in leergebieden, en wiskunde alleen aan te leveren (te laten ‘opzoeken’) als een praktijksituatie daar om vraagt. In tal van nieuwe onderwijsorganisatievormen wordt niet onderkend dat het doen verwerven en consolideren van nieuwe wiskundige concepten en vaardigheden een noodzakelijke voorwaarde is voor het toepassen, inzetten of gebruiken. In allerlei vormen van
realistische situaties aan te pakken, is onvoldoende aandacht voor de noodzakelijke opbouw van de samenhang van wiskundige concepten en methoden.
Werk aan de winkel
Binnen de Nederlandse Vereniging van
Wiskundeleraren moet een proces op gang komen waarin individuele leraren en secties samen proberen een wiskundedidactiek anno 2005 te formuleren en vooral ook concreet te maken met ‘good practice’ uit lessen en scholen.
Wie denkt er mee?
Bronnen
[1] M. Bos, M. Kollenveld, W. Kuipers, A. van Streun: Manifest ‘Wiskundedidactiek anno 2005’. Bijgesloten in Euclides 80(3), december 2004.
[2] J. van Dormolen: Didactiek van de wiskunde. Utrecht (1974). [3] NVvW: Wat heb je nodig aan algebra als je naar klas 4 gaat? (2001).
[4] R.R. Skemp: Wiskundig denken (1973).
[5] A. van Streun: Heuristisch wiskundeonderwijs (1989). [6] A. van Streun: Het denken bevorderen (2001).
[7] B. Zwaneveld: Kennisgrafen in het wiskundeonderwijs (1999). Over de auteur
Anne van Streun (e-mailadres: A.van.Streun@fwn.rug.nl) is sinds 1974 werkzaam aan de Rijksuniversiteit Groningen als wiskundedidacticus en sinds 2000 als hoogleraar in de didactiek van
2 6 4
euclides nr.4 / 2005
Servicepagina
Kalender
In deze kalender kunnen alle voor wiskunde- docenten toegankelijke en interessante bijeenkomsten worden opgenomen. Relevante data graag zo vroeg mogelijk doorgeven aan de hoofdredacteur, het liefst via e-mail
(redactie-euclides@nvvw.nl).
Hieronder vindt u de verschijningsdata van Euclides in de komende jaargang. Achter de verschijningsdata is de deadline vermeld voor het inzenden van mededelingen (en van de eindversies van geaccepteerde bijdragen; zie daarvoor echter ook www.nvvw.nl/euclricht.html).
nr verschijnt deadline 5 3 maart 2005 18 januari 2005 6 14 april 2005 1 maart 2005 7 26 mei 2005 5 april 2005 8 23 juni 2005 10 mei 2005 vrijdag 25 februari Grote Rekendag
Organisatie Freudenthal Instituut vr. 4 en za. 5 februari, Noordwijkerhout Nationale Wiskunde Dagen
Organisatie Freudenthal Instituut dinsdag 1 maart
Eerste bijeenkomst Ratio Nascholingscursus Algebra
Organisatie Ratio / RU Nijmegen dinsdag 8 maart (ook op 5 april) Cursus Ruimtemeetkunde met ICT Organisatie Freudenthal Instituut do. 17 en vr. 18 maart, Noordwijkerhout Nationale Rekendagen
Organisatie Freudenthal Instituut vrijdag 18 maart
Kangoeroe-wedstrijd
Organisatie Radboud Universiteit Nijmegen zaterdag 28 mei, Utrecht
Symposium XI: Kansen en verwachtingen Organisatie HKRWO
Voor nascholing zie ook www.nvvw.nl/nascholing.html Voor overige internet-adressen zie www.nvvw.nl/Agenda2.html
Voor Wiskundeonderwijs Webwijzer zie www.wiskundeonderwijs.nl
Publicaties van de
Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
* Zebra-boekjes
1. Kattenaids en Statistiek
2. Perspectief, hoe moet je dat zien? 3. Schatten, hoe doe je dat? 4. De Gulden Snede
5. Poisson, de Pruisen en de Lotto 6. Pi
7. De laatste stelling van Fermat 8. Verkiezingen, een web van paradoxen 9. De Veelzijdigheid van Bollen
10. Fractals
11. Schuiven met auto’s, munten en bollen 12. Spelen met gehelen
13. Wiskunde in de Islam 14. Grafen in de praktijk 15. De juiste toon 16. Chaos en orde 17. Christaan Huygens 18. Zeepvliezen 19. Nullen en Enen
* Nomenclatuurrapport Tweede fase havo/vwo Dit rapport en oude nummers van Euclides (voor zover voorradig) kunnen besteld worden bij de ledenadministratie (zie Colofon). * Wisforta - wiskunde, formules en tabellen Formule- en tabellenboekje met formulekaarten havo en vwo, de tabellen van de binomiale en de normale verdeling, en toevalsgetallen. * Honderd jaar Wiskundeonderwijs, lustrumboek van de NVvW.
Het boek is met een bestelformulier te bestellen op de website van de NVvW
(www.nvvw.nl/lustrumboek2.html).
Voor overige NVvW-publicaties zie de website: