In onze aanbevelingen gaan we ervan uit dat leerlingen vooral inzicht krijgen in de grootte van kommagetallen en onderlinge verhoudingen tussen kommagetallen wanneer er mee gerekend wordt. Schattend rekenen vinden we in dat licht belangrijker dan cijferend rekenen, omdat veel leerlingen al snel zullen overstappen op het rekenen met de rekenmachine. We vinden het van belang dat ze uitkomsten met die rekenmachine op waarde kunnen schatten. Daarvoor is een goed inzicht in de bewerkingen nodig.
1. Basiskennis en begrip van kommagetallen
Leerlingen kunnen kommagetallen vaak wel opvatten als maatgetallen die een verfijning aangeven. Ze splitsen daarom kommagetallen in hele getallen en cijfers achter de komma, zoals je meters en centimeters of euro’s en centen kunt splitsen. De centimeters of centen behandelen ze intuïtief als hele getallen. Het probleem is dat daarmee het inzicht in de plaatswaarde van cijfers achter de komma verdwijnt (wat is het verschil tussen 1,090 en 1,9 of 1,900?). Wanneer leerlingen kommagetallen leren zien als maatgetallen binnen een tientallig inwisselsysteem en actief leren afronden, dan is het inzicht in de structuur van kommagetallen te verbeteren. We gaan dus niet in tegen de neiging om kommagetallen te splitsen, maar benoemen de afgesplitste cijfers: 1,369 wordt 1 km en 369 m of 1 euro en 37 cent. Afronden levert ongeveer 1 km en 400 m is 1,4 km op of ongeveer 1 euro en 4 dubbeltjes is € 1,40. De methodes doen bij de introductie veel aan kommagetallen als maatgetallen, maar ze komen weinig tot het actief structureren door middel van afronden of door het verfijnder (actief) laten meten en noteren door leerlingen. TAL (zie [7]) pleit ervoor om dat te doen met benoemde tienden en honderdsten en niet door direct aan te sluiten bij concrete maatgetallen zoals meters, kilogrammen en geld. We kunnen daarvoor geen bevestiging vinden in ons onderzoek. Leerlingen lijken juist plaatswaarde wel goed te begrijpen. De overgang van maatgetallen naar kommagetallen is een hele natuurlijke en voor leerlingen inzichtelijk. Kommagetallen zijn voor de meeste leerlingen op het moment dat die getallen in de methoden worden geïntroduceerd niet meer nieuw, maar een bekend fenomeen uit de dagelijkse praktijk.
2. Optellen en aftrekken met kommagetallen
Optellen en aftrekken met kommagetallen is voor de meeste leerlingen geen probleem. Vooral het splitsend rekenen lijkt voor leerlingen inzichtelijk te zijn wanneer met maatgetallen wordt gewerkt. Wanneer gecijferd moet worden zijn leerlingen nogal eens slordig, waardoor onnodig fouten worden gemaakt. Netjes werken blijft noodzakelijk.3. Het vermenigvuldigen van kommagetallen
Voor het vermenigvuldigen van kommagetallen is hetverstandig om de verhoudingstabel te gaan gebruiken. Leerlingen moeten inzien dat het bij vermenigvuldigen met kommagetallen om een proportionele ‘vergroting’ gaat. Dit model voor kommagetallen ontbreekt in de methoden, maar leerkrachten kunnen het heel goed opnemen in hun inleidende lessen:
Een boompje is na 1 jaar 1,2 m. Het wordt elk jaar groter t.o.v. het eerste jaar (zie tabel). Hoe groot is het boompje het derde jaar en het zesde jaar?
Jaar 1 2 3 4 5 6
Vergroting
t.o.v. jaar 1 1× 1,1× 1,4× 1,8× 1,9× 2,1×
Lengte 1,2 m … … … … …
Het rekenen van bijvoorbeeld 1,2 × 1,4 kan splitsend worden gedaan: eerst 1,2 × 1 = 1,2 dan 1,2 × 0,4 (12 × 0,4 = 4,8 dus 1,2 × 0,4 = 0,48). Splitsend rekenen sluit goed aan bij wat leerlingen zelf vaak doen. Wel maken zij veel fouten in het systematisch uitvoeren van de verschillende deelbewerkingen. Het verdient dus aanbeveling om juist dat systematisch werken te trainen.
Eenzelfde uitleg is te bedenken bij het aantal roofvogels dat op een eiland woonde. In het eerste jaar 200 roofvogels:
Jaar 1 2 3 4 5
‘Vergroting’
t.o.v. jaar 1 1× 0,9× 0,8× 0,6× 0,5×
Roofvogels 200 … … … …
In welk jaar zijn nog maar de helft van de roofvogels over? In welk jaar zullen er geen roofvogels meer zijn? Dit verhoudingsmodel is handig om te leren inzien dat vermenigvuldigen met een factor groter dan 1 een vergroting oplevert en met een factor kleiner dan 1 een verkleining. Dit feit moet leerlingen expliciet worden duidelijk gemaakt in bijvoorbeeld onderwijsleergesprekken.
Bij vermenigvuldigen van kommagetallen kan vervolgens gebruik gemaakt worden van het schattend rekenen vooraf en het cijferend rekenen met kale getallen en later de komma plaatsen
denkend aan de hele getallen (en niet aan de plaatsen achter de komma).
4. Het delen van en door kommagetallen
Leerlingen behandelen het delen met kommagetallen zelf via de inverse bewerking: het vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld: hoeveel lappen stof van 0,8 m kunnen uit een rol stof van 20 m? De verhoudingstabel kan hier goede diensten bewijzen.
meters 0,8 4 8 16 20
lappen 1 5 10 20 25
Dit model is echter niet voor alle situaties zonder meer geschikt. Neem bijvoorbeeld de opgave 2 : 6. Je
kunt kinderen niet leren om al proberend met 6 te vermenigvuldigen. Door echter te denken aan bijvoorbeeld 2 m dropveter die verdeeld moet worden over zes kinderen wordt de verhoudingstabel weer geschikt. We kunnen kinderen leren om al vermenigvuldigend te proberen. We beginnen bijvoorbeeld eerst elk kind 0,1 m te geven. Dat is 0,1 × 6. Daarna elk kind 0,2 m etc., net zolang tot 2 m is opgedeeld.
meters 0,6 1,2 1,8 0,18 1,98 aantal 0,1 × 6 0,2 × 6 0,3 × 6 0,03 × 6 0,33 × 6 Wanneer leerlingen het werken met de verhoudings- tabel goed begrijpen, dan kunnen ze ook goed
schattingen maken van de uitkomst van een deling als 2 : 6. Je denkt aan 1,8 : 6 = 0,3 dus 2 : 6 is iets meer. Vanuit het schatten kan het cijferend delen met hele getallen worden aangeboden. Een opgave als 2 : 7 kan worden uitgerekend met de gedachte: 7 × 0,3 kan net niet, maar 7 × 0,2 wel. Dus 2 : 7 = 0,2… De leerling weet door het schatten dat de uitkomst begint met 0,2… Schattend rekenen helpt bij het controleren van het antwoord bij het rekenen met de rekenmachine of het handmatig cijferen met kommagetallen.
Na het schatten kan het cijferen met kommagetallen worden geïntroduceerd met contextopgaven die over maten gaan. Bijvoorbeeld: ‘Er is een rol lood van 13,45 meter. De rol moet worden versneden in stukken van 1,65 meter. Hoeveel stukken lood kan ik uit de rol halen?’ Het kind kan in deze fase begrijpen dat uit 13,45 meter stukken van ongeveer 1.65 meter moeten worden gehaald ofwel 13,45 : 1,65. Een dergelijke opgave kan zonder kommagetallen worden uitgerekend door van meter naar cm te gaan: 1345 : 165. In een latere fase kunnen ook kale opgaven op deze manier worden uitgerekend, bijvoorbeeld 26,113 : 1,787 = … Maak er millimeters van, of abstracter:
‘Vermenigvuldig beide delen van de deling met 1000’. Ons voorstel is dus eerst het delen van komma- getallen aan te leren met verhoudingstabellen waarmee al proberend wordt vermenigvuldigd. Later worden contextopgaven met geschikte ondermaten gebruikt waarmee de komma wordt weggewerkt om vervolgens een opgave cijferend op te lossen.
5. Rekenen met het tientallig stelsel
Het delen van een kommagetal door 10 blijkt niet vlot te gaan bij leerlingen. Het is wel essentieel voor het werken in het tientallig stelsel. Het vergt veel meer oefening dan bij de onderzochte leerlingen is gebeurd. Een aantal leerlingen laat zien dat zij wel hebben gehoord van het schuiven met de komma, maar ze begrijpen niet wat ze doen. Het aanleren van het schuiven met de komma hoeft geen probleem te zijn, maar dan moeten leerlingen wel kunnen uitleggen waarom het mag. Dit kan bijvoorbeeld door gebruik te maken van maatgetallen. Neem bijvoorbeeld 3,4 : 0, 7 = … Eerst aan m en cm denkend wordt het 340 : 70, ofwel beide getallen met
Conclusie
De stelling van Fischbein et al. (zie [2]), zoals eerder beschreven, blijkt niet te worden bevestigd in dit onderzoek. Leerlingen die matig scoren op rekenen/wiskunde, blijken geen problemen te hebben met intuïtieve tegenstellingen in het rekenen met kommagetallen. We vermoeden dat dat te maken heeft met het leren rekenen met maatgetallen. Die maken het voor leerlingen eenvoudig om te begrijpen wat er gebeurt als er gerekend wordt met kommagetallen. We pleiten er dan ook voor om in het vervolgonderwijs vooral vast te houden aan het rekenen met maatgetallen en niet met breuken, omdat die maatgetallen goed aansluiten bij de kennis van leerlingen.
Literatuur
[1] J.F. Deinum, E. Harskamp: Oplossingswijzen voortgezet rekenen. Groningen: RuG/GION (1995).
[2] E. Fischbein, M. Deri, M.S. Nello, M.S. Marino: The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication and division. In: Journal for Research in Mathematics Education, 16, pp. 3–17 (1985).
[3] A.O. Graeber, D. Tirosh: Insights fourth and fifth graders bring to multiplication and division with decimals. In: Educational Studies in Mathematics, 21, pp. 565-588 (1990).
[4] G. Harel, M. Behr, T. Post, R. Lesh: The impact of number type on the solution of multiplication and division problems - Further considerations. In: G. Harel, J. Confrey (eds.): The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics (pp. 365- 388). Albany, NY: SUNY Press (1994).
[5] J. Janssen, F. van der Schoot,B. Hemker, N. Verhelst: Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool, 3. Arnhem: CITO (1999).
[6] OCW: Kerndoelen basisonderwijs; www.minocw.nl/kerndoelen/kern. doc (1998).
[7] TAL: Breuken, verhoudingen, kommagetallen, procenten. Utrecht: Freudenthal Instituut (2003); www.fi.uu.nl/rekenweb/tal/.
[8] J.M. Wijnstra (red.): Balans van het rekenonderwijs in de basis- school. Arnhem: CITO (1988).
Over de auteurs
Jan Folkert Deinum (e-mail: j.f.deinum@rug.nl) is docent onderwijs- kunde aan de lerarenopleiding van de Rijksuniversiteit Groningen. Hij houdt zich in zijn huidige werk vooral bezig met onderzoek naar e-learning in het voortgezet en hoger onderwijs en is verantwoordelijk voor een aantal ICT-implementatietrajecten in lerarenopleiding en hoger onderwijs.
Egbert Harskamp (e-mail: e.g.harskamp@ppsw.rug.nl) is docent onderwijskunde en orthopedagogiek aan de faculteit der Psychologische, Pedagogische en Sociologische Wetenschappen van de Rijksuniversiteit Groningen. Hij houdt zich onder andere bezig met opsporen van rekenachterstanden, interventieonderzoek en onderzoek