Stevin had gelijk, maar kreeg het voorlopig niet. Je kunt het in theorie heel goed doen zonder breuken. Daar zit echter, zoals hiervoor al bleek, wel een voorwaarde aan vast: je moet eigenlijk ook overstappen op een decimaal metriek stelsel. Gebeurt dat niet, dan blijf je vastzitten aan het werken met breuken, ook al kun je ze dan bij sommige berekeningen omzeilen. En van de invoering van zo’n decimaal positiestelsel was natuurlijk geen sprake. Dat kwam pas ruim tweehonderd jaar later aan de orde. Daarmee werd Stevins bewering dat je met zijn methode het werken met breuken kon vermijden, in de praktijk een slag in de lucht. Misschien heeft menige Lichaemmeter of Sterrekycker die Stevins boekje kocht en hoopte daarmee van een hoop ellende af te zijn, zich wel bekocht gevoeld. Voorlopig kon Stevin zijn pretenties niet waar maken.
In de dagelijkse praktijk speelden decimale breuken voorlopig geen rol van betekenis. Hét rekenboek van de 17een 18e eeuw, de Cijfferinghe van Willem Bartjens, waarvan de eerste druk verscheen in 1604, behandelde dan ook helemaal geen decimale breuken, maar ging met ouderwetse uitvoerigheid en
degelijkheid in op het rekenen met gewone breuken. Dat was ongetwijfeld voorlopig in de dagelijkse praktijk hard nodig. Het is dan ook maar de vraag of de vaak gedane bewering dat door De Thiende de decimale breuken algemene en brede bekendheid kregen, wel opgaat. De meeste mensen kregen er niet mee te maken. Want net zoals je nu ‘gewone’ breuken in het dagelijks leven bijna niet nodig hebt, net zo goed kon je in het dagelijks leven van een paar eeuwen terug met decimale breuken maar weinig beginnen. De kennis van decimale breuken zal daarom toch wel tot een kleine kring beperkt zijn gebleven. Dat veranderde in Nederland pas na 1820, toen op last van koning Willem I in Nederland het metrieke stelsel verplicht werd ingevoerd. Dat stelsel moest ook op alle scholen worden onderwezen. Het aardige is, dat Stevins pleidooi voor een decimaal metriek stelsel toen alsnog van stal werd gehaald. Het metrieke stelsel dat Willem I verplicht stelde, was immers afkomstig van de net daarvoor verdreven Fransen, en misschien ook al om die reden niet erg populair. Gelukkig kon er op gewezen worden, dat het hier toch eigenlijk een Nederlands idee was, al meer dan 200 jaar geleden bedacht.
Toen eenmaal het metrieke stelsel werd ingevoerd en onderwezen moest worden, werd ook opeens de kennis van decimale breuken veel belangrijker. Vanaf die tijd worden decimale breuken dan ook een vast onderwerp in de rekenboekjes. En toen in 1828 in een rekenboekje voor de Leidse onderwijsinstelling Mathesis de gewone breuken volgens de traditie vóór de decimale werden behandeld, vroeg een recensent zich af:
’Alleen heeft het ons verwonderd, dat de kundige Schrijvers, de meer moeielijke gewone vóór de meer gemakkelijke tiendeelige behandelen. Het komt ons voor dat de tientallige breuken gemakkelijker uit de gegevene theorie der getallen worden afgeleid, en de onderscheidene bewerkingen derzelve den leerling veel lichter vallen.’
Daar zou Stevin het vast mee eens geweest zijn. En wat zou de zakrekenmachine daar niet een prachtig didactisch hulpmiddel bij kunnen zijn. Zonder begrip van decimale breuken heb je niets aan zo’n ding, maar met zo’n apparaat is het werken met decimale breuken pas echt een kwestie van onghehoorde lichticheyt!
Noten
[1] Stevin gebruikte voor de decimale notatie geen rechte haken maar cirkeltjes; zie figuur 3.
[2] (red.) Zie verder ook de website van Geer Hoppenbrouwers: Simon Stevin’s De Thiende en vertalingen (http://home.wxs.nl/~hopfam/ ThiendeMenu.html).
Over de auteur
Harm Jan Smid (e-mailadres: H.J.Smid@ewi.tudelft.nl) is werkzaam aan de TU Delft. Zijn bijzondere belangstelling gaat uit naar de geschiedenis van het wiskundeonderwijs. Hij promoveerde op een proefschrift over het wiskundeonderwijs in de eerste helft van de
1 9 4
euclides nr.4 / 2005REKENEN EN ALGEBRAÏSCHE
VAARDIGHEDEN
[ Rob Bosch ]
In(aan)leiding
Sinds enige jaren constateer ik in mijn colleges aan de KMA dat veel studenten zelfs de meest elementaire algebraïsche vaardigheden niet meer beheersen. Bij de bespreking van de substitutie- methode voor integralen loopt het spaak omdat studenten menen dat
x x x x x x 1 1 2 − = −
∫
d∫
dVan complexe getallen zeggen ze niets meer te begrijpen als hun berekening (2 + 3i)2 = 4 + 9i2 =
4 – 9 = -5 niet juist blijkt te zijn.
Bovendien worden berekeningen nogal eens ontsierd door soms wel en soms niet te achterhalen rekenkronkels als 23=6, 81 4 2 = , 212=401 en 1 2 2 3 3 5 + =
Om de gemaakte fouten duidelijk te maken, schrijf ik een rekensommetje op het bord. Voor de bovenstaande missers zouden dit de volgende sommen kunnen zijn.
80 2 8 80 2 80 8 50 + = + = 72= +(5 2)2= + =52 22 29
Meestal begrijpt de student direct dat zijn berekening of redenering niet deugt, maar dat betekent nog niet dat hij dan weet hoe het wel moet. Iedere keer als zo’n algebraïsche misser opduikt, maak ik in het college wat tijd vrij om aan de hand van de gepresenteerde rekenopgaven de bijbehorende algebraïsche regeltjes te bespreken en te oefenen. De oefening van de besproken regel maakt daarna ook deel uit van de huiswerkopdrachten.
Een andere goede gelegenheid om aandacht te schenken aan de algebraïsche basisregels doet zich voor als ik tot ongeloof van de studenten het antwoord van een eenvoudige rekenopgave ogenschijnlijk zonder enige vorm van berekening op het bord zet. Van mijn kennis van integralen, differentiaalvergelijkingen en Laplace-transformaties zijn de studenten niet erg onder de indruk, maar
als ik zonder een rekenmachine (ik bezit niet zo’n apparaat) eenvoudige rekensommetjes uit mijn hoofd of met een enkele tussenstap uitreken, is men zichtbaar enthousiast. Dat ik telkens weer de rekenmachine versla, dwingt binnen de groep respect af. Steevast wordt mijn uitkomst van sommetjes als 24 × 32 en 272 met de rekenmachine gecontroleerd.
Instemmend geknik en een flauwe lach als de op het bord verschenen uitkomst klopt. Bij de studenten bestaat het vermoeden dat ik voor tal van sommen een rekentrucje heb geleerd. Als ik dan opmerk dat ik slechts een paar eenvoudige maar wel fundamentele regels hanteer, word ik duidelijk niet geloofd. Er moet wel een trucje voor zijn, is de algemene opvatting.
De distributieve eigenschap
Zoals gezegd vinden studenten het uit het hoofd uitrekenen van 24 × 32 en 87 × 23 een mysterie. De eerste regel die we bespreken en die het mysterie verklaart, is de distributieve eigenschap die we vaak onbewust gebruiken in trucjes als: bij 19 × 34 doen we eerst 20 × 34 waarna we er 34 van aftrekken. In letters luidt deze eigenschap:
a b c( + = +) (b c a ab ac) = + (distributieve eigenschap) Ter illustratie een rekensom:
28 53× =(20 8 53 1060 424 1484+ ⋅ =) + =
De enige ‘moeilijkheid’ bij deze berekening is 8 × 53, wat we distributief weer kunnen doen als 8 × 50 en 8 × 3. Na een aantal voorbeelden komen de studenten er achter dat het ‘rekenwonder’ slechts sommetjes onder de maakt. Dat men na enkele voorbeelden begrijpt hoe de distributieve eigenschap bij vermenigvuldigen werkt, blijkt als ook andere splitsingen van de factoren worden voorgesteld. Een aantal studenten vinden de volgende splitsing handiger:
28 53 28 50 3 1400 84 1484× = ⋅( + =) + =
Vermenigvuldigen met 50 en alleen 3 × 28 hoeven uitrekenen vinden ze eenvoudiger dan de vorige berekening. Het volgende voorstel is:
28 53× =(30 2 53 1590 106 1484− ⋅ =) − =
Omdat aftrekken iets lastiger is dan optellen vindt men dit geen verbetering. Maar zo kan het natuurlijk wel, want er geldt ook:
a b c( − = −) (b c a ab ac) = − (distributieve eigenschap) We maken hierna nog een aantal lettersommetjes met de distributieve eigenschap. Tot de
huiswerkopdrachten behoort vervolgens een
paragraaf met een groot aantal oefenopgaven over de distributieve eigenschap.