Ǥ40. Stelling. Als men een getal met een som moet vermenigvuldigen, dan mag men dat getal ook met de termen der som afzonderlijk vermenigvuldigen en de komende producten optellen; Рm.a.w.: Als men producten met hetzelfde vermenigvuldigtal
2 1 2
euclides nr.4 / 2005
vermenigvuldigtal ook vermenigvuldigen met de som van de vermenigvuldigers der termen. Bv.:
(5 + 8)·a = 5·a + 8·a
Want men heeft (5 + 8)·a = de som van 5 + 8 termen a = de som van 5 termen a + de som van 8 termen a = 5·a + 8·a.» Waar wij, zonder direct de distributieve eigenschap toe te passen, zouden zeggen (5 + 8)·a = 13·a, immers de haakjes geven aan dat we eerst moeten optellen; en vervolgens 5·a + 8·a = 13·a, immers 5·a = a + a + a + a + a en 8·a = …; met dan de conclusie dat (5 + 8)·a = 5·a + 8·a inderdaad juist is.
Ǥ65. Bepalingen. Als een macht en de exponent gegeven zijn, dan leert de worteltrekking het grondtal vinden. De gegeven macht (a) heet het getal waaruit de wortel getrokken moet worden, ook wel het getal onder het wortelteeken; de gegeven exponent (b) behoudt den naam exponent, en het gevraagde grondtal wordt wortel genoemd.
Men zegt dat de be-machtswortel uit a moet worden
getrokken, en schrijft:
a
b (lees: de be-machtswortel uit a)
Zo beteekent 38 2= , dat 23 = 8, en 481 3= , dat
34 = 81 is.»
Nee, Gravelaar merkt in dit geval niets op over vormen als 3−8 of 4−81; zijn definitie van getal
komt immers overeen met die van ons voor natuurlijk getal.
Maar wat te denken van een paragraaf over de commutatieve en associatieve eigenschappen. Ǥ80. Een bewerking, aangeduid met het teken , heet commutatief, als a b = b a, en associatief, als (a b) c = a (b c) is.
Zoo zijn de optelling en de vermenigvuldiging zoowel commutatief als associatief, terwijl de machtsverheffing noch commutatief noch associatief is; want in het algemeen is ab niet = ba en ( )ab c niet
=a( )bc . Een bewerking, aangeduid door het teken
, heet distributief ten aanzien van een bewerking, aangeduid door het teeken ↑:
1. als (a ↑ b) c = (a c) ↑ (b c); 2. als a (b ↑ c) = (a b) ↑ (a c).
In het 1e geval noemt men de bewerking o distributief ten opzichte van den eersten term, in het 2e geval distributief ten opzichte van den tweeden term. Gelden beide formules, dan heet de bewerking
volkomen distributief ten aanzien van de bewerking ↑. Zoo is de vermenigvuldiging volkomen distributief ten aanzien van de optelling. De machtsverheffing daarentegen is onvolkomen distributief ten aanzien van de vermenigvuldiging; want (a b⋅ )c= ⋅a bc c, maar
ab c⋅ in het algemeen niet = ⋅a ab c. Een commutatieve bewerking kan niet onvolkomen distributief zijn ten aanzien van een bewerking ↑; want als de bewerking commutatief is, dan zijn de formules:
(a ↑ b) c = (a c) ↑ (b c) en a (b ↑ c) = (a b) ↑ (a c)
Opdracht aan de lezer – Ga dit zelf na!
Overigens, in de Opgaven ter Toepassing vinden we geen vraagstukken over deze paragraaf.
Deelbaarheid
Opmerking vooraf. Waar Gravelaar soms spreekt over «n-deelig», spreken wij over n-tallig.
Ǥ162. Kenmerk voor 11, d.i. een deler van 99, in het tientallig stelsel.
1) Elk tiendeelig getal = een 11-voud + de som der getallen, die men krijgt, als het gegeven getal in vakken van twee cijfers verdeeld wordt, te beginnen aan de rechterhand: a a a a a a a a a a a 5 4 3 2 1 5 4 4 3 2 2 1 5 10 10 99 . . ( = ⋅ + ⋅ + = ⋅ -vouud -voud een 99-voud + + + + = + + 1 4 399 1 2 1 5 ) a a ( ) a a a a44 3a +a a2 1
2) Elk tiendeelig getal geeft bij deeling door 11 dezelfde rest als de som der getallen, die men krijgt, als het gegeven getal in vakken van twee cijfers verdeeld wordt, te beginnen aan de rechterhand. 3) Elk tiendeelig getal is deelbaar door 11, als … Enz.
Stelling. Opdat een tiendeelig getal deelbaar zij
door 11, is het noodig en voldoende, dat de som der getallen, die men krijgt, als het gegeven getal in vakken van twee cijfers verdeeld wordt, te beginnen aan de rechterhand, deelbaar zij door 11.
(…)
§164. Op dezelfde wijze vindt men in het n-tallig
stelsel kenmerken voor n – 1, n2 – 1, n3 – 1, … en voor
de delers van die getallen. Want:
1) Elke term der schaal van het n-tallig stelsel = een (n – 1)-voud + 1. Zoo is n n n n n n n n n n n n n 5 5 4 4 3 3 2 2 4 1 1 1 = − + − + − + − + − + = − ⋅ +( ) ( −− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − + = − 1 1 1 1 1 1 3 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n een -vooud+1
2) Elke term der schaal van het n-tallig stelsel, die op 2, 4, 6, 8, … nullen eindigt = (n2 – 1)-voud+1.
Zoo is n n n n n n n n n n n 8 8 6 6 4 4 2 2 2 6 2 1 1 1 1 = − + − + − + − + =( − ⋅ +) ( −)) ( ) ( ) ⋅ + − + = − + n n n 4 2 2 1 1 1 1 een -voud
3) Elke term der schaal van het n-tallig stelsel, die op 3, 6, 9, 12, … nullen eindigt is een (n3 – 1)-voud + 1.
Enz.
Dus is elk getal, dat onderling ondeelbaar is met het grondtal n, een deeler van een macht van n min één, m.a.w. van een term der schaal van het n-tallig stelsel min één.»
2 1 4
euclides nr.4 / 2005
Drie opdrachten aan de lezer
«64. Plaats men in een tiendeelig getal van zes cijfers, dat deelbaar is door 37, de twee cijfers, die aan de rechterhand staan, vooraan, dan krijgt men een getal, dat nog deelbaar is door 37.»
«209. Het verschil van twee n-deelige getallen die met dezelfde cijfers geschreven worden, is deelbaar door n – 1.»
«213. Bepaal a en b zóó, dat 9083b1a deelbaar zij door 72.»
Evenredigheden
Uiteraard wordt er in beide leerboeken ook de nodige aandacht besteed aan evenredigheden. Wanneer we onze huidige leerboeken er op naslaan, dan komen we die term sporadisch tegen. Echter, formules als s vt= , O= πR2, Kn=K0(1+i)n en n= µl dsp
vinden we zeker terug in onze boeken, maar dan in combinatie met termen als (recht)evenredig en omgekeerd evenredig[3].
Gravelaar geeft in §418 – we maken inderdaad een fikse sprong door de boeken – het volgende voorbeeld, waarin we een opgave uit het huidige rekenonderwijs (maar niet de prijzen) zeker herkennen.
«Als 31
4 KG kaas f 2,60 kost, hoeveel moet men dan
voor 121
2 KG betalen?
Zij de gevraagde prijs = f x, dan kan men opschrijven: Hoeveelheid: Prijs: 31 4 KG 2,6 gld. 121 2 KG x gld.
Nu is de prijs eener hoeveelheid koopwaar – en daarnaar wordt hier gevraagd – recht evenredig met de grootte der partij; want als men de hoeveelheid n-maal zoo groot neemt, dan wordt ook de prijs n- maal zo groot.
Om die reden heeft men:
2 6 3 121 4 12 , :x = : dus: x =2 6 12× = 3 10 1 2 1 4 , .»
Het voorbeeld dat in figuur 1 op pagina 211 staat – het komt ook uit het hoofdstuk ‘Evenredigheid van grootheden’, in deel 2 – wil ik de lezer evenmin onthouden.
Opdracht aan de lezer – Probeer eerst zelf het
antwoord te vinden alvorens verder te lezen.
Gravelaars oplossing
«Omdat de snelheid van de trein afhangt van de hoeveelheid steenkool die per KM verbruikt wordt, en van het aantal rijtuigen, waaruit de trein bestaat, zal de duur van de spoorreis afhankelijk zijn van den af te leggen afstand, van de hoeveelheid steenkool, die per KM verbruikt wordt, en van het aantal rijtuigen,
waaruit de trein bestaat.
Om te weten te komen, op welke wijze de duur der reis afhangt van de hoeveelheid steenkool, die per KM verbruikt wordt, stelle men zich voor, dat die hoeveelheid n-maal zoo groot wordt genomen, terwijl de af te leggen weg en het aantal rijtuigen, waaruit de trein bestaat, dezelfde blijven.
Omdat de snelheid van de trein recht evenredig is met den 2e-machtswortel van de hoeveelheid steenkool, die per KM verbruikt wordt, en deze hoeveelheid n-maal zo groot wordt, zal de snelheid van de trein n-maal zoo groot worden en de duur van de reis, die omgekeerd evenredig is met de snelheid van de trein, n-maal zoo klein. Wordt dus de hoeveelheid steenkool, die per KM verbruikt wordt, n maal zoo groot, dan wordt de duur der reis n -maal zoo klein: de duur van de reis is dus omgekeerd evenredig met den 2e-machtswortel van de hoeveelheid steenkool, die per KM verbruikt wordt.
Evenzoo vindt men, dat de duur van de reis recht evenredig is met het aantal rijtuigen, waaruit de trein bestaat.
Zij nu de duur van een spoorreis = d minuten, de af te leggen afstand = a KM, de hoeveelheid steenkool, die per KM verbruikt wordt s KG en het aantal rijtuigen, waaruit de trein bestaat = r, dan is dus d recht evenredig met a, omgekeerd evenredig met s
en recht evenredig met r, zoodat men algemeen heeft:
d d a r s a r s 1 2 1 1 1 2 2 2 : = :
Vervangt men in deze evenredigheid d1 door 30, d2 door 28, a1 door 25, a2 door 21, r1 door 18, r2 door 16, s1 door 506 25 201
4: = 14 , dan vindt men s2 = 12,96,
zoodat bij de 2e spoorreis per KM 12,96 KG steenkool verbruikt wordt.»