Attractors

De klassieke natuurkunde kent twee belangrijke attractors om het gedrag van fenomenen te be- schrijven: de puntattractor en de periodieke attractor, zoals de beweging van een slinger. De studie van het gedrag van CAS'en heeft een derde type, de 'strange' of vreemde attractor opgeleverd. Voor wij op de laatste in gaan eerst de twee klassieke attractors.

a. De puntattractor

De oude Grieken hadden ontzag voor optimale vormen als cirkels en bollen. Hun volmaakte symme- trie was een uiting van het goddelijke. Planeten waren in hun gedachte dus volmaakt rond en bewo- gen zich in optimale cirkelvormige banen. Deze vorm en beweging is volgens Newton terug te voe- ren op de gravitatiekracht als universele puntattractor: elk lichaam trekt een ander lichaam aan, met de kracht die evenredig is met het product van zijn eigen massa, vermenigvuldigd met de mas- sa van het andere lichaam. In een wiskundige formule gegoten ziet dat er als volgt uit.

78 _{En houdt zich aan een paar eenvoudige regels. Craig Reynolds was daar nieuwsgierig naar. In 1986 ontwik-}

kelde hij het bedrieglijk eenvoudige programma 'Boids' . In zijn simulaties kregen zijn vogelachtige objec- ten ('boids') drie instructies: 1) niet te dicht bij naburige boids komen; 2) houdt gemiddeld dezelfde rich- ting aan als de dichtstbijzijnde boids; en 3) blijf in de buurt van nabij vliegende boids. Het resultaat op het computerscherm bleek en overtuigende simulatie van een vlucht vogels, levensecht inclusief onvoorspelba- re bewegingen.

79 _{Een toegankelijk artikel hierover verscheen in juli 2007 in de National Geographic (Nederlandstalige edi-}

tie), getiteld: "Zwermtheorie. Mieren, bijen en vogels leren ons om te gaan met een complexe wereld", pp. 156 – 178.

Figuur 8: de puntattractor.

F = G M m/r ² 

Doordat elk deeltje van het lichaam een evenredige bijdrage heeft tot de gravitatie, ligt het zwaar- tepunt bij een homogeen lichaam in het geometrisch centrum ervan. Om die reden is de zwaarte- kracht en elk lichaam tot een 'puntattractor' te herleiden. Trekt een lichaam heel veel kleine deel- tjes rondom zich aan, dan zullen deze zich homogeen rond de puntattractor verspreiden, waardoor we deze zullen waarnemen als een bol.

b. De periodieke attractor

De puntattractor resulteert uiteindelijk in een situatie in evenwicht. Zo komt een ronddraaiende knikker in een schaal uiteindelijk tot rust op het diepste punt. Dat is niet het geval bij periodieke attractors. Zij danken hun vorm juist aan de procesinformatie, die bestaat zolang er energie wordt toegevoerd. Voorbeelden zijn slingers en golven (dus ook uw hartfilmpje of ECG). De symmetrie van de golven wordt bepaald door twee parameters: de golflengte en de frequentie oftewel de uitslag en snelheid als bij de slinger.

Figuur 9: de slinger.

De naam 'attractor' slaat op de baan waartoe de beweging van de deeltjes of slinger aangetrokken wordt80_{. Een attractor is stabiel en als hij verstoord wordt valt het weer in zijn oorspronkelijke be-} weging terug. Het gebied met punten die zich richting attractor bewegen, wordt 'attractorbasin' (basin of attraction) genoemd. Een slinger vertoont in feite twee stabiele attractors: de heen en weer gaande beweging van de periodieke attractor en géén beweging, weergegeven door een punt in een faseruimte-grafiek (zie hieronder): de puntattractor. Een attractor is eindig, dat wil zeggen zijn gedrag is beperkt, zijn faseruimte komt niet buiten een bepaald gebied.

c. De strange attractor

De punt- en de periodieke attractors waren de steunpilaren van de klassieke Newtoniaanse natuur- kunde. Men veronderstelde dat alle stabiele bewegingen een variatie op deze situaties waren. In de vroege jaren '60 ontdekte de meteoroloog Lorenz echter nog een attractor, die Ruelle en Takens de 'strange attractor' hebben gedoopt. Net als de andere attractors vertoont ook deze een patroon, een geometrische figuur binnen bepaalde grenzen en is het stabiel in de zin dat het bij verstoring daarin direct weer terugkeert. Maar in tegenstelling tot de andere attractors is de strange attractor niet

periodiek: het gedrag van het systeem herhaalt zich nooit! De strange attractor is namelijk net

als een CAS het product van niet-lineariteit en interactiviteit. Niet-lineaire dynamiek is zoals gezegd

80 _{Een 'repellor ' is het tegenovergestelde van een attractor. Bij een repellor bewegen de deeltjes er zich juist}

vanaf.

F= zwaartekracht G= constante (m^2/kg^2) M= massa

R = afstand tussen twee puntmassa’s

T= slingertijd (s)

G= zwaartekracht (m.s^2) L= lengte (m)

asynchroon: beweging in de ene variabele genereert onevenredige beweging in de ander. Een zand- korrel die op een zandhoop valt kan óf geen of een uitgesteld effect hebben, óf een (grote) aard- verschuiving veroorzaken (Bak, 1997). Niet-lineair gedrag is dus onvoorspelbaar. Dit gebrek aan voorspelbaarheid is de uitkomst van twee dingen:

1. wat Lorenz de 'gevoelige afhankelijkheid van de beginwaarden' noemt, zoals bij het weer. Dit impliceert dat iets miniems als de vleugelslag van een vlinder in een interactief systeem kan weerkaatsen en tot uitkomsten kan leiden die dramatisch verschillen van die, welke zich zonder geflapper hadden voorgedaan. Daar komt nog bij dat de omstandigheden op een bepaald mo- ment zich niet precies laten meten. Bij metingen met vijf decimalen achter de komma is er al- tijd weer een zesde, enzovoorts. Het vlindereffect vergroot deze minuscule onnauwkeurigheden; 2. interactie en resonantie. Volgens de 19e_{-eeuwse wiskundige Poincarré heeft elk deeltje zowel}

kinetische energie, de oorzaak van zijn actuele gedrag, als potentiële energie, de oorzaak van mogelijk toekomstig gedrag. De beweging van een geïsoleerd deeltje kan eenvoudig met een formule worden beschreven. Maar meerdere, in elkaars nabijheid verkerende deeltjes interacte- ren en daarbij komt op een niet te voorspelen manier potentiële energie vrij. Dit heeft een on- voorspelbaar effect op de banen van de deeltjes. Maar interacterende deeltjes vertonen nog een ander verschijnsel, dat men correleren noemt. Wanneer twee deeltjes elkaar raken krijgt vol- gens Poincarré hun gedrag iets synchroons. Hun frequenties beginnen in zekere harmonie te gol- ven. Dit helpt het optreden van (gedetermineerde) chaotische stabiliteit, of attractors, te ver- klaren.

Afbeelding 2: de Lorenz attractor in drie dimensies.

Hier links de Lorenz attractor. In dit fase-ruimte plaatje van een strange attractor (er zijn er vele) kan men zowel correlatie als onvoorspelbaarheid ontwaren. Correlatie resulteert in begrensd ge- drag en het portret blijft ook duidelijk binnen bepaalde grenzen. Merk wel het opgerolde pas- tei-achtige (of Swiss roll-achtige) voorkomen van de attractor op. Twee punten kunnen dus dicht bij elkaar liggen, maar toch elk op een andere laag van de pastei; bijgevolg kunnen hun banen zich in twee geheel verschillende richtingen be- wegen en uitgerold tamelijk ver uit elkaar liggen