Continu¨ıteit van componenten

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Continue functies in metrische ruimtes (13)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Continu¨ıteit in metrische ruimtes

Definitie 21.1

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimtes en f : S → S^∗een functie. We noemen f continuin s0∈ S als

∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d (s, s0) < δ ⇒ d^∗ f (s), f (s0)
< .

De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:

als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,

als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.

Bekijk S = R^k en de projectie πj: R^k → R gegeven door πj(~x) = xj. Dan is πj continu:

d πj(~x), πj( ~x⁰)
= |xj− x_j⁰| ≤ v u u t

k

X

j =1

|x_j− x_j⁰|²= d ~x, ~x⁰
.

Dus δ =  voldoet in de definitie. Hieruit volgt continu¨ıteit van bijvoorbeeld f : R³→ R g : R²→ R

(x , y , z) 7→ xyz (x , y ) 7→ e^{x +y}cos x

Continu¨ıteit van componenten

Stelling (c.f. 21.2)

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. Definieer f : S → R^k door f (s) = f1(s), . . . , fk(s)
. Dan is f continu desda alle fj dat zijn.

“⇒”: volgt uit continu¨ıteit van projecties en samenstellingen: fj= πj◦ f .

“⇐”: neem s0∈ S en laat  > 0.

Elke fj is continu in s0, dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj(s) − fj(s0)| <  als d (s, s0) < δj.

Definieer δ := min(δ1, . . . , δk).

Als d (s, s0) < δ, dan geldt

d f (s), f (s0)
= v u u t

k

X

j =1

|f_j(s) − fj(s0)|²<

v u u t

k

X

j =1

²=√ k .

We zien dat f continu is in s0.

Continu¨ıteit in topologische zin

Stelling 21.3

Zij (S , d ) en (S^∗, d^∗) metrische ruimten. Een f : S → S^∗is continu desda f⁻¹(U) open is voor elke open U ⊆ S^∗.

“⇐”: stel dat f⁻¹(U) open is voor alle open U. Neem s0∈ S en  > 0.

Kies U = B f (s0), 
. Dan is U open en s0∈ f⁻¹(U).

f⁻¹(U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0, δ) ⊆ f⁻¹(U).

Nu:

d (s, s0) < δ ⇒ s ∈ B(s0, δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d^∗ f (s), f (s0)
< .

“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S^∗open en neem s0∈ f⁻¹(U).

Omdat U open is en f (s0) ∈ U, bestaat er  > 0 zodat B f (s0), 
⊆ U.

Er bestaat δ > 0 zodat d^∗ f (s), f (s0)
<  als d(s, s0) < δ.

Nu: s ∈ B(s0, δ) ⇒ d^∗ f (s), f (s0)
<  ⇒ f (s) ∈ B f (s0), 
⊆ U, Dus s ∈ f⁻¹(U) voor elke s ∈ B(s0, δ).

We zien B(s0, δ) ⊆ f⁻¹(U), dus s0is inwendig. Dit geldt voor elke s0∈ f⁻¹(U), dus deze verzameling is open.

Compactheid en continu¨ıteit

Definitie

Zij (S , d ) een metrische ruimte. Een verzameling F ⊆ S heet compact als elke overdekking een eindige deeloverdekking heeft: voor elke collectie {Uα, α ∈ A} van open verzamelingen zodat F ⊆S

α∈AUα, bestaan er α1, . . . , αnzodat F ⊆Sn i =1Uα_i. Stelling 21.4 (i)

Zij f : S → S^∗een continue afbeelding en E ⊆ S compact. Dan is f (E ) ook compact.

Bewijs:

Neem een open overdekking {Uα: α ∈ A} van f (E ).

Dan zijn de verzamelingen f⁻¹(Uα) open en geldt E ⊆S

α∈Af⁻¹(Uα).

Dus bestaan er α1, . . . , αnzodat E ⊆Sn

i =1f⁻¹(Uαi).

Maar dan geldt ook f (E ) ⊆Sn i =1Uα_i.

Dus de overdekking heeft een eindige deeloverdekking.

Compactheid en continu¨ıteit

Heine-Borel

In R^k is F compact desda F gesloten en begrensd is.

Stelling 21.4 (i)

Zij f : S → S^∗een continue afbeelding en E ⊆ S compact. Dan is f (E ) ook compact.

Gevolg

Zij (S , d ) een metrische ruimte en f : S → R continu. Stel dat E ⊆ S compact is. Dan

1 f is begrensd op E .

2 f neemt een maximum en minimum aan op E . Bewijs:

1 Volgt direct uit de compactheid van f (E ) en Heine-Borel.

2 f (E ) is gesloten, dus bevat zijn supremum U en infimum L. Deze zijn eindig vanwege de begrensdheid van f (E ). Dan is U het maximum van f op E en L het minimum.

Compactheid en uniforme continu¨ıteit

Definitie

Een functie S → S^∗heetuniform continuals voor elke  > 0 er een δ > 0 is zodat d f (s), f (t)
<  als d(s, t) < δ.

Stelling 21.4 (ii)

Zij f : S → S^∗continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E . Bewijs:

Voor elke s ∈ E is er een δs zodat d^∗ f (s), f (t)
<  als d(s, t) < δs. De collectieB s,¹₂δs
: s ∈ E vormt een open overdekking van E . Er zijn dus s1, . . . , snzodat E ⊆ B s1,¹₂δs1
∪ · · · ∪ B sn,¹₂δsn
.

Laat δ = ¹₂min(δs₁, . . . , δsn) en kies s, t ∈ E met d (s, t) < δ.

Er bestaat k zodat s ∈ B sk,¹₂δs_k
, dus d(s, sk) < ¹₂δs_k. Dan is d (sk, t)≤ d (s_k, s) + d (s, t) < ¹₂δsk+ δ ≤ δsk. Nu is d^∗ f (t), f (sk)
<  en evenzo d^∗ f (s), f (sk)
< , dus

d^∗ f (s), f (t)
≤ d^∗ f (s), f (sk)
+ d^∗ f (sk), f (t)
< 2.

Limieten en functies

Definitie

Zij f : S → S^∗een functie. Zij s0∈ S. We schrijven

s→slim0

f (s) = L

voor zekere L ∈ S^∗als voor elke  > 0 er een δ > 0 bestaat zodat d^∗ f (s), L
<  geldt als d (s, s0) < δ.

Merk op: equivalent zijn

1 f continu in s0,

2 lims→s0f (s) = f (s0),

3 voor elke rij sn→ s0geldt f (sn) → f (s0).

Situatie

In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rⁿnaar R^m. Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op R^k de metriek

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− yj)²= k~x − ~yk

afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm

k~xk = v u u t

k

X

j =1

x_j².

Voor een functie f : R²→ R betekent een limiet als lim

~x→~0

f (~x) = L

dat voor alle  > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| <  als k~xk < δ.

Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.

Homogeniteit

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Bekijk op R²\ {0} de functies

f1(x , y ) = x²− y²

x⁴+ y⁴, f2(x , y ) = sin x px²+ y²

!

, f3(x , y ) = xy² x²+ y². Deze zijn homogeen, met graden −2, 0 en 1.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sⁿ⁻¹= {~x ∈ Rⁿ: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rⁿ, dus compact.

Dan is f begrensd op Sⁿ⁻¹: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sⁿ⁻¹geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = _k~xk^~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z


= k~xk^α· |f (~z)| ≤ Mk~xk^α. Dus omdat α > 0 zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rⁿ\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim_~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = r^αf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt limr ↓0f (r~x) = f (~x) en limr ↓0f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0, dus als lim_~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).