Limieten en continu¨ıteit
‘De limiet voor (x, y) nadert naar (a, b) van f (x, y) is L’ wordt genoteerd als
(x,y)→(a,b)lim f (x, y) = L
Maar wat betekent dit eigenlijk ?
f is gedefinieerd op een open cirkelschijf rond (a, b) met uitzondering van eventueel het punt (a, b) zelf.
En verder moet voor een willekeurige kromme C met eindpunt (a, b) gelden dat
lim
(x,y) −→ (a,b)f (x, y) = L.
langs C
December 14, 2009 1
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Er is een r > 0 zodat f gedefinieerd is op {(x, y) | (x − a)2 + (y − b)2 < r2}\{(a, b)}.
lim
(x,y) −→ (a,b)f (x, y) = L
langs C
onafhankelijk van de kromme C met als eindpunt (a, b).
Hoe kan het laatste worden gecontroleerd ?
Om deze afschatting te kunnen maken kan soms gebruik gemaakt worden van de ongelijkheden
|x − a| = p(x − a)2 ≤p(x − a)2 + (y − b)2 en
|y − b| = p(y − b)2 ≤p(x − a)2 + (y − b)2 voor x, y ∈ R.
Of als (a, b) = (0, 0)
|x| = √
x2 ≤p
x2 + y2,
|y| = p
y2 ≤p
x2 + y2 en
|x + y| ≤ |x| + |y| voor x, y ∈ R.
December 14, 2009 4
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
lim
(x,y)→(a,b)f (x, y) bestaat niet als er krommen C1, C2 bestaan en L1, L2∈ R, L16= L2 zodat
(x,y) lim−→ (a,b)f (x, y) = L1 en
langs C1
lim
(x,y) −→ (a,b)f (x, y) = L2.
langs C2
Definitie
Laat f : D → R met D ⊂ R2.
f heet continu in (a, b) ∈ D als lim
(x,y)→(a,b)f (x, y) bestaat en gelijk is aan f (a, b).
Parti¨ ele afgeleiden
Laat f : D → R waarbij D ⊂ R2 en (a, b) ∈ D.
Definieer de functie g door g(x) = f (x, b).
De grafiek van g is de doorsnede van de grafiek van f en het vlak met als vergelijking y = b.
Als g differentieerbaar is in a dan is g0(a) de richtingsco¨effici¨ent van de raaklijn aan deze grafiek in (a, b, g(a)) = (a, b, f (a, b)).
December 18, 2009 1
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Er geldt g0(a) = lim
h→0
g(a + h) − g(a)
h = lim
h→0
f (a + h, b) − f (a, b) h
f heetpartieel differentieerbaarnaar de eerste variabele (of naar x) in (a, b).
Verder heet g0(a) de parti¨ele afgeleidevan f naar de eerste variabele (of naar x) in (a, b).
Notaties
f1(a, b) = fx(a, b) = ∂f
∂x(a, b)
Definieer de functie l door l(y) = f (a, y).
De grafiek van l is de doorsnede van de grafiek van f en het vlak met als vergelijking x = a.
Als l differentieerbaar is in b dan is l0(b) de richtingsco¨effici¨ent van de raaklijn aan deze grafiek in (a, b, l(b)) = (a, b, f (a, b)).
December 18, 2009 3
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Er geldt l0(b) = lim
k→0
l(b + k) − l(b)
k = lim
k→0
f (a, b + k) − f (a, b) k
f heetpartieel differentieerbaarnaar de tweede variabele (of naar y) in (a, b).
Verder heet l0(b) departi¨ele afgeleidevan f naar de tweede variabele (of naar y) in (a, b).
Notaties
f2(a, b) = fy(a, b) = ∂f
∂y(a, b)
Als de parti¨ele afgeleiden van f bestaan voor alle (x, y) ∈ D dan zijn deze parti¨ele afgeleiden opnieuw functies van x en y op D.
Differenti¨eren we f1 = fx = ∂f
∂x in (a, b) opnieuw naar de eerste variabele (of naar x) dan vinden we detweede orde parti¨ele afgeleidenaar de eerste variabele (of naar x) in (a, b).
Notaties
(f1)1(a, b) = (fx)x(a, b) = ∂
∂x
∂f
∂x
(a, b) of korter
f11(a, b) = fxx(a, b) = ∂2f
∂x2(a, b)
December 18, 2009 5
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Differenti¨eren we f1 = fx = ∂f
∂x in (a, b) naar de tweede
variabele (of naar y) dan vinden we eentweede orde, gemengde, parti¨ele afgeleidein (a, b).
Notaties
(f1)2(a, b) = (fx)y(a, b) = ∂
∂y
∂f
∂x
(a, b) of korter
f12(a, b) = fxy(a, b) = ∂2f
∂y∂x(a, b)
We kunnen hetzelfde doen met f2 = fy = ∂f
∂y in (a, b) en vinden Notaties
(f2)1(a, b) = (fy)x(a, b) = ∂
∂x
∂f
∂y
(a, b) of korter
f21(a, b) = fyx(a, b) = ∂2f
∂x∂y(a, b) (f2)2(a, b) = (fy)y(a, b) = ∂
∂y
∂f
∂y
(a, b) of korter
f22(a, b) = fyy(a, b) = ∂2f
∂y2(a, b)
December 18, 2009 7
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Stelling
Als f gedefinieerd is op een open cirkelschijf D en f1, f2, f12 bestaan en zijn continu op D
dan bestaat f21 ook op D en f21 = f12.
