z = f ( a,b )+ f ( a,b )( x − a )+ f ( a,b )( y − b ). in( a,b,f ( a,b ))alsvergelijking in( a,b )bestaan.Danheefthetraakvlakaandegraﬁekvan f f Laat f : D → R en( a,b ) ∈ D .Verondersteldatbeideeersteordeparti¨eleafgeleidenvan Raakvlakken

(1)

Raakvlakken

Laat f : D → R en (a, b) ∈ D.

Veronderstel dat beide eerste orde parti¨ele afgeleiden van f in (a, b) bestaan. Dan heeft het raakvlak aan de grafiek van f in (a, b, f (a, b)) als vergelijking

z = f (a, b) + fx(a, b) (x − a) + fy(a, b) (y − b).

January 8, 2010 1

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

(2)

L : D → R

L(x, y) = f (a, b) + f_x(a, b) (x − a) + f_y(a, b) (y − b) heet delineariseringvan f in (a, b).

Wanneer we in het punt (a, b, f (a, b)) een lokaal assenstelsel aanbrengen met als assen dx, dy en dz dan wordt de vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van f in (a, b, f (a, b)) ten opzichte van dit assenstelseldz = fx(a, b)dx + fy(a, b)dy.

Dit kunnen we in principe in elk punt (x, y, f (x, y)) van de grafiek van f doen. We vinden dan

dz = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy

January 8, 2010 2

(3)

Willen we f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) benaderen dan kan dit door

∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) ≈ L(a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) =

{f (a, b) + f_x(a, b) ∆x + fy(a, b) ∆y} − f (a, b) = f_x(a, b)∆x + f_y(a, b)∆y =

f_x(a, b) dx + f_y(a, b) dy = dz waarbij ∆x = dx en ∆y = dy.

January 8, 2010 4

(4)

Absolute en relatieve fouten

Als tengevolge van meetfoouten a + h en b + k worden gemeten in plaats van a en b wat is dan het effect op de berekening van f (a, b) ?

|∆z| = |f (a + h, b + k) − f (a, b)| ≈ |f_x(a, b)h + f_y(a, b)k| ≤

|f_x(a, b)h| + |f_y(a, b)k| = |f_x(a, b)∆x| + |f_y(a, b)∆y| =

|f_x(a, b)||∆x| + |f_y(a, b)||∆y| waarbij ∆x = h en ∆y = k.

|∆z| / |fx(a, b)||∆x| + |fy(a, b)||∆y| heet de absolute fouten

∆z

f (a, b) / |f_x(a, b)||∆x| + |f_y(a, b)||∆y|

|f (a, b)| de relatieve fout in

f (a, b).

January 8, 2010 5