B hetbereikvan f is.Eenfunctiediezowelinjectiefalssurjectiefisheetbijectief. Eenfunctie f : A → B heetopofsurjectiefals f ( x ) 6 = f ( x )vooralle x 6 = x ,x ,x ∈ A Eenfunctie f : A → B heet´e´en-´e´enduidigofinjectiefals Injectiviteit/surjectiviteit

Injectiviteit/surjectiviteit

Een functie f : A → B heet´e´en-´e´en duidigof injectief als f (x₁) 6= f (x₂) voor alle x₁ 6= x₂, x₁, x₂∈ A

Een functie f : A → B heetop of surjectiefals B het bereik van f is.

Een functie die zowel injectief als surjectief is heetbijectief.

September 19, 2005 4

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Inverse functies

Horizontale lijntest

Een functie is injectief als als elkehorizontalelijn haar grafiek ten hoogste ´e´en keer snijdt.

Als f : A → B een bijectieve functie is dan bestaat er een functie g : B → A met de eigenschap dat

f (x) = y ⇐⇒ g(y) = x.

De functie g wordt de inverse van f genoemd en genoteerd als f⁻¹. Dus

f (x) = y ⇐⇒ f⁻¹(y) = x.

September 19, 2005 5

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Er geldt f⁻¹(f (x)) = x voor alle x ∈ A en f (f⁻¹(y)) = y voor alle y ∈ B.

September 19, 2005 6

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

De arcsinus

f (x) = sin(x)en f⁻¹(x) = arcsin(x).

September 19, 2005 7

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

De arccosinus

f (x) = cos(x)en f⁻¹(x) = arccos(x).

September 19, 2005 8

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

De arctangens

f (x) = tan(x)en f⁻¹(x) = arctan(x).

September 19, 2005 9

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

De inversen van de exponenti¨ ele functies

f (x) = 2^x

f⁻¹(x) = log₂(x)

y = 2^x⇐⇒ x = log₂(y)

September 22, 2005 1

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

y = a^x⇐⇒ x = log_a(y)

Is a = e dan wordt log_a(x) meestal genoteerd als ln(x).

Dusy = e^x⇐⇒ x = ln(y)

September 22, 2005 2

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Eigenschappen van logaritmische functies

Laat a ∈ R⁺ en laat r ∈ R.

log_a(x · y) = log_a(x) + log_a(y) voor alle x, y ∈ R⁺. log_a x

y



= log_a(x) − log_a(y) voor alle x, y ∈ R⁺. log_a(x^r) = r · log_a(x) voor alle x ∈ R⁺.

En dus ook

ln(x · y) = ln(x) + ln(y) voor alle x, y ∈ R⁺. ln x

y



= ln(x) − ln(y) voor alle x, y ∈ R⁺. ln(x^r) = r · ln(x) voor alle x ∈ R⁺.

September 22, 2005 3

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Tenslotte

log_a(x) = ln(x)

ln(a) voor alle x ∈ R⁺.

Verder wordt veel gebruik gemaakt van ln(e^x) = x voor x ∈ R.

e^{ln x} = x voor alle x ∈ R⁺. log_a(1) = 0

log_a(a) = 1

Dit wordt met a = e ln(1) = 0

ln(e) = 1

September 22, 2005 4

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

De hyperbolische functies

f (x) = e^x g(x) = e^−x h(x) = e^x + e^−x

2

h heet de cosinushyperbolicus, h(x) = cosh(x).

September 22, 2005 5

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

De hyperbolische functies

f (x) = e^x g(x) = −e^−x h(x) = e^x − e^−x

2

h heet de sinushyperbolicus, h(x) = sinh(x).

September 22, 2005 6

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

De hyperbolische functies

f (x) = e^x g(x) = e^−x h(x) = e^x − e^−x

e^x + e^−x

h heet de tangenshyperbolicus, h(x) = tanh(x).

September 22, 2005 7

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Belangrijke formules

(cosh x)² − (sinh x)² = 1

cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

September 22, 2005 8

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI