Eigenschappen modulus

Eigenschappen modulus

|z|² = z · z voor alle z ∈ C.

|z + w| ≤ |z| + |w| voor alle z, w ∈ C.

|z · w| = |z| · |w| voor alle z, w ∈ C.

|z

w| = |z|

|w| voor alle z, w ∈ C, w 6= 0.

|zⁿ| = |z|ⁿ voor alle z ∈ C, n ∈ Z.

Eigenschappen argument

arg(z · w) = arg z + arg w (mod 2π) voor alle z, w ∈ C.

argz w



= arg z − arg w (mod 2π) voor alle z, w ∈ C w 6= 0.

arg zⁿ = n arg z (mod 2π) voor alle z ∈ C, n ∈ Z.

July 13, 2006 2

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Stelling (formule) van de Moivre

Abraham de Moivre (1667-1754) Uit de eigenschappen van modulus en argument volgt:

(cos φ + i sin φ)ⁿ = cos(nφ) + i sin(nφ) voor alle hoeken φ ∈ R en n ∈ Z.

Formule van Euler

Leonard Euler (1707-1783) Definitie

e^iφ = cos φ + i sin φ Eigenschappen

e^iφ  = 1.

e^iφ · e^iθ = e^{i(φ + θ)}.

(e^iφ)ⁿ = e^inφ voor alle n ∈ Z.

July 13, 2006 4

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Er zijn dus drie verschillende schrijfwijzen voor een complex getal z.

z = a + bi, a, b ∈ R

z = r(cos φ + i sin φ) met r = |z| en φ = arg z (mod 2π) z = re^iφ met r = |z| en φ = arg z (mod 2π)

Tenslotte defini¨eren we e^z door :

e^z = e^a · e^ib voor z = a + bi, a, b ∈ R.

Eigenschappen

e⁰ = 1.

|e^z| = e^a en arg(e^z) = b (mod 2π) voor alle z = a + bi, a, b ∈ R.

e^z · e^w = e^z+w voor alle z, w ∈ C.

July 13, 2006 6

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Het oplossen van vergelijkingen

Binomiale vergelijkingen

zⁿ = c waarbij c ∈ C en n ∈ N\{0}.

Exponenti¨ele vergelijkingen e^z = c waarbij c ∈ C\{0}.

Polynomiale vergelijkingen

anzⁿ + an−1zⁿ⁻¹ + · · · + a1z + a0 = 0 waarbij a₀, a₁, · · · , a_n−1, a_n∈ C, an6= 0.

Binomiaalvergelijkingen

De binomiaalvergelijking zⁿ = c (c ∈ C, n ∈ N\{0})heeft precies n verschillende oplossingen.

Hiernaast zijn getekend de 6 verschillende oplossingen van z⁶ = 1 + i.

July 13, 2006 8

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Polynomiale vergelijkingen

p(z) = a_nzⁿ + a_n−1zⁿ⁻¹ + · · · + a₁z + a₀ waarbij a₀, a₁, · · · , a_n−1, a_n∈ C, an6= 0

heet een polynoom vangraad n met complexeco¨effici¨enten.

Wat is er bekend over de nulpunten van dit polynoom ? Anders gezegd:

Wat is er bekend over de oplossingen ofwortels van de polynomiale vergelijking p(z) = 0 ?

Hoofdstelling van de algebra

Stelling

Als p een polynoom is van de graad n ≥ 1 en α1 is een nulpunt van p dan bestaat er een polynoom q van de graad n − 1 zodat p(z) = (z − α₁)q(z).

Hoofdstelling van de algebra

Als p een polynoom is van de graad n ≥ 1 dan bestaat er een α1 ∈ C en een polynoom q van de graad n − 1 zodat

p(z) = (z − α₁)q(z).

July 12, 2006 3

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Hoofdstelling van de algebra

Stelling

Als p een polynoom is van de graad n ≥ 1 en α1 is een nulpunt van p dan bestaat er een polynoom q van de graad n − 1 zodat p(z) = (z − α₁)q(z).

Hoofdstelling van de algebra

Als p een polynoom is van de graad n ≥ 1 dan bestaat er een α1 ∈ C en een polynoom q van de graad n − 1 zodat

p(z) = (z − α₁)q(z).

Herhaalde toepassing van deze stelling geeft : p(z) = c(z − α1)(z − α2) · · · (z − αn) voor zekere c, α1, α2, · · · , αn∈ C, c 6= 0.

July 12, 2006 4

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI