Analyse
Deel 3
I.A.M. Goddijn
TUDelft
November 9, 2009
Rijen en reeksen Krommen
Functies van meerdere variabelen
Rijen en reeksen
Eenrij is een functie f op (een oneindige deelverzameling van) de gehele getallen.
Laat f een rij zijn op N.
Degrafiekvan f is de verzameling punten {(n, f (n)) | n ∈ N}.
Meestal worden determenf (n) van een rij f anders genoteerd.
We gebruiken de notaties : {an}
{an}∞n=1 wanneer het domein van de rij N\{0} is.
November 9, 2009 2
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
{an}∞n=0 met an = 2n − 1 n + 1
{an}∞n=0 met an = sin(n) n + 1
November 9, 2009 4
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
‘De limiet voor n naar ∞ van an is L’ wordt genoteerd als
n→∞lim an = L
Maar wat betekent dit eigenlijk ?
Hoe ‘groter’ n des te ‘kleiner’ is de afstand van an tot L.
Maar wat betekent het nu dat voor ‘grote’ n de afstand van an tot L ‘klein’ is ?
Voor alle n met n ‘groot’ is |an − L| ‘klein’.
De wiskundige definitie van de limiet van een rij is tenslotte :
Bij elke > 0 bestaat een N ∈ N zodat voor alle n > N geldt : |an − L| < .
November 9, 2009 6
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Eigenschappen
Als lim
n→∞an bestaat als eindig getal dan heet de rij {an} convergenten anders divergent.
Laat lim
n→∞an = L en lim
n→∞bn = M, c ∈ R.
Dan geldt
n→∞lim an + bn = lim
n→∞an + lim
n→∞bn = L + M .
n→∞lim c · an = c · lim
n→∞an = c · L.
n→∞lim an· bn = lim
n→∞an· lim
n→∞bn = L · M .
n→∞lim an bn
=
n→∞lim an n→∞lim bn
= L
M mits M 6= 0.
November 9, 2009 8
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
De insluitstelling
Als {an}, {bn} en {cn} rijen zijn zodat an≤ bn≤ cn voor alle n > N en zekere N ∈ N en
n→∞lim an = lim
n→∞cn = L.
Dan geldt lim
n→∞bn = L.
Gevolg
Als {an} een rij is zodat lim
n→∞|an| = 0 dan lim
n→∞an = 0.
Een rij {an} heet
stijgend dalend monotoon
als
an< an+1 voor alle n.
an> an+1 voor alle n.
deze rij stijgend of dalend is.
Een rij {an} heet
naar boven begrensd naar onder begrensd begrensd
als
an≤ M voor alle n en zekere M ∈ R.
an≥ m voor alle n en zekere m ∈ R.
deze rij naar boven en onder begrensd is.
November 9, 2009 10
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Stelling (Bolzano-Weierstraß)
Bernhard Bolzano (1781-1848)
Karl Weierstrass (1815-1897) Iedere
( stijgende
dalende rij die naar
( boven begrensd onder begrensd is heeft een limiet.
Om te laten zien dat een rij {an} deze eigenschappen heeft gebruikt men vaak een techniek die volledige inductie heet.
Volledige inductie
Gegeven is een bewering die van n (n ≥ n0) afhangt.
(Bijv. : De rij {an} met
( a1 = √ 2 en an+1 = √
an + 2 voor n ≥ 1 is stijgend.)
Controleer de bewering voor n = n0. (a2 = √
2 + a1 = p 2 + √
2 >√
2 + 0 = √
2 = a1.) Veronderstel dat de bewering juist is voor zekere n ≥ n0. (Veronderstel dat an+1> an voor zekere n ≥ 1. (n0 = 1!) ) Bewijs dat hieruit volgt dat de bewering juist is voor n + 1.
(an+2 = √
2 + an+1>√
2 + an = an+1 immers an+1> an)
November 9, 2009 12
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Reeksen
Laat {ak}∞k=1 een rij zijn.
Met deze rij kunnen we een nieuwe rij {sn}∞n=1 maken met termensn = a1 + a2 + · · · an =
n
P
k=1
ak
De rij {sn}∞n=1 heet de rij der parti¨ele sommen.
Is de rij der parti¨ele sommen convergent met limiet s dan noemen we dereeks
∞
P
k=1
ak convergent met soms en schrijven
∞
P
k=1
ak = s.
Is de rij der parti¨ele sommen divergent dan noemen we de reeks
∞
P
k=1
ak divergent.
November 13, 2009 4
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Voorbeeld (meetkundige reeks)
ak = ark−1 k = 1, 2, 3, · · · . Dus sn = a1 + a2 + a3 · · · an =
a + ar + ar2 · · · arn−1 = a(1 − rn)
1 − r n = 1, 2, 3, · · ·
Of
n
P
k=1
ark−1 = a(1 − rn) 1 − r . De reeks
∞
P
k=1
ark−1 is dus convergent als |r| < 1 met som a
1 − r en anders divergent.
De reeks
∞
P
k=1
ark−1 heetmeetkundige reeks met constantea enreden r.
Eigenschappen Laten
∞
P
k=1
ak en
∞
P
k=1
bk convergente reeksen zijn met sommen s en t, c ∈ R.
Dan geldt De reeks
∞
P
k=1
(ak + bk) is convergent met som s + t.
De reeks
∞
P
k=1
(c · ak) is convergent met som c · s.
November 13, 2009 6
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
