Analyse Deel A I.A.M. Goddijn

Analyse

Deel A

I.A.M. Goddijn

TUDelft

July 9, 2006

July 9, 2006 I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Inleiding Goniometrie Complexe getallen

Inleiding

I.A.M. Goddijn

Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408

e-mail : I.A.M.Goddijn@EWI.TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/∼goddijn of

http: //aw.twi.tudelft.nl/∼goddijn Spreekuur : volgens afspraak

July 9, 2006 2

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Studiemateriaal

Handout Boek

James Stewart : Calculus (Early Transcedentals) 5th edition

ISBN : 0-534-27409-9

Goniometrie

sin θ = a b cos θ = c b tan θ = a

c

(SOSCASTOA)

July 9, 2006 4

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Bekende driehoeken

sin^π₄ = 1

√ 2 = 1

2

√ 2 cos^π₄ = 1

√2 = 1 2

√ 2 tan^π₄ = 1

Volgens Pythagoras is x² +  1

2



2 = 1²

en dus x = 1 2

√ 3.

July 9, 2006 6

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

Volgens Pythagoras is x² +  1

2



2 = 1²

en dus x = 1 2

√ 3.

sin^π₆ = 1 2 cos^π₆ = 1 2

√ 3 tan^π₆ =

1 2 1 2

√3 = 1 3

√ 3

sin^π₃ = 1 2

√ 3 cos^π₃ = 1

2 tan^π₃ =

1 2

√3

1 2

= √ 3

Belangrijke formules

cos θ = xP

1 en sin θ = yP

1

dus volgens Pythagoras is (cos θ)² + (sin θ)² = xP2 + yP2 = 1.

(cos θ)² + (sin θ)² = 1

July 9, 2006 7

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

sin (−x) = − sin x cos (−x) = cos x tan (−x) = − tan x

sinπ 2 − x

= cos x cos

π 2 − x

= sin x tanπ

2 − x

= 1

tan x

July 9, 2006 9

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

De cosinusregel

Pas de stelling van Pythagoras toe op de driehoeken ADC en DBC en trek de verkregen vergelijkingen van elkaar af.

c² − 2cp = a² − b² a² = b² + c² − 2cp Gebruik vervolgens dat cos φ = p

b

Dit geeft ( cosinusregel ): a² = b² + c² − 2bc cos φ

Pas de stelling van Pythagoras toe op driehoek ABC en de cosinusregel op driehoek OAB. Dit geeft :

(cos β − cos α)² + (sin β − sin α)² = 1 + 1 − 2 cos(β − α) Maak vervolgens gebruik van (cos α)² + (sin α)² = 1

en dezelfde formule voor β.

Dit geeft : cos(β − α) = cos α cos β + sin α sin β

July 9, 2006 11

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

De somformules, dubbele hoekformules

cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos 2x = (cos x)² − (sin x)²

cos 2x = 2 (cos x)² − 1 cos 2x = 1 − 2 (sin x)² sin 2x = 2 sin x cos x