Analyse deel 1 Wi1 400TN I.A.M. Goddijn

Analyse deel 1

Wi1 400TN

I.A.M. Goddijn

TUDelft

September 5, 2011

I.A.M. Goddijn

Inleiding

I.A.M. Goddijn

Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408

e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl

homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/∼goddijn of http: //aw.twi.tudelft.nl/∼goddijn blackboard : http: //blackboard.tudelft.nl Spreekuur : volgens afspraak

Inleiding

Studiemateriaal Titel : Calculus

: A Complete Course

: International Student Edition (7-th Ed.) Auteurs : Robbert A. Adams and Christopher Essex ISBN-13 : 978-0-321-54928-7

Extra materiaal dat kan helpen bij het volgen van het Analyse onderwijs kan gevonden worden op blackboard onder de cursus Wi1 400TN (Course Documents).

I.A.M. Goddijn

Inleiding

Studiemateriaal

Een collectie (uitgereikte) opgaven die ook te vinden zijn op blackboard onder de cursus Wi1 400TN (Course Docu- ments).

Opgaven die gemaakt worden met behulp van Maple TA Deze opgaven kunnen gevonden worden op blackboard onder de cursus Wi1 400TN (Assignments).

In noodgevallen kan gebruik gemaakt worden van een printbare versie van deze opgaven.

Inleiding

Weekindeling

Maandag (10:45-12:30 uur) Colstructie Dinsdag (8:45-10:30 uur) Colstructie

Woensdag (10:45-12:30 uur) Opgaven bespreken en opgaven maken met Maple TA, eventueel quizz Vrijdag (8:45-10:30 uur) Colstructie

I.A.M. Goddijn

Inleiding

De quizzen worden afgenomen in week 3, 5 en 7 van het eerste kwartaal. In week 2 gaan we op woensdag ‘proef- draaien’.

Neem voor het maken van de quizzen en het gebruik van Maple TA op de woensdagen een notebook mee!

Op vrijdag 9 september 13:30 uur kunnen problemen met het installeren van Maple en het inloggen op de website van Adams worden verholpen. Ga daarvoor naar de Studio Class Room.

Inleiding

Tenslotte het verzoek of ouderejaars studenten contact op willen nemen met de verantwoordelijk docent in verband met een oefenprogramma ten behoeve van de herkansing Analyse, deel 1.

I.A.M. Goddijn

Onderwerpen

Vectormeetkunde Differentiaalrekening Integraalrekening

Lineaire differentiaalvergelijkingen van de 1-ste orde Complexe getallen

Lineaire differentiaalvergelijkingen van de 2-ste orde Rijen en reeksen

§10.2 Vectoren

Definitie

Een vector is een lijnstuk met een grootte (lengte) en een richting.

Voorbeelden Snelheid ([m/s]) Versnelling ([m/s²]) Kracht ([N ])

Een vector kan worden opgevat als een verplaatsing van een beginpunt (staart) A naar een eindpunt B (kop).

Notaties

−−→

AB, −→u , −→v , −→w , · · · , u, v, w, · · · , u, v, w, u, v, w, · · · .

I.A.M. Goddijn

Equivalent of gelijk

Twee vectoren heten equivalent (gelijk) als ze een gelijke richting hebben en een gelijke grootte.

Ze kunnen door een translatie (verplaatsing) in elkaar worden overgevoerd.

Notatie Als −−→

AB equivalent is met −−→

CD dan schrijven we: −−→

CD = −−→ AB Kiezen we een oorsprong O dan is elke vector equivalent met een vector die O als beginpunt heeft.

Is −−→

OC = −−→

AB dan heet−−→

OC de standaardpositie van −−→ AB.

Speciale vectoren Nulvector

De vector met hetzelfde begin- en eindpunt heet de nulvector.

Notatie 0

Tegengestelde vector

De vector die even groot is maar tegengesteld gericht aan een vector u heet de tegengestelde van de vector u.

Notatie

−u

I.A.M. Goddijn

Het optellen van twee vectoren

Er zijn twee technieken om vectoren bij elkaar op te tellen:

De kop aan staartmethode De parallellogramconstructie Notatie

De som van twee vectoren u en v wordt genoteerd als:

u + v

De scalaire vermenigvuldiging

Als t > 0 en v is de vector met dezelfde richting als een vector u maar t maal zo lang of

t < 0 en v is de vector tegengesteld aan een vector u en −t zo lang of

t = 0 en v = 0

dan heet v de scalaire vermenigvuldiging van u met c.

Notatie

De vermenigvuldiging van een vector u met een scalar t ∈ R wordt genoteerd als:

t u.

I.A.M. Goddijn

Eigenschappen

Laten u, v en w vectoren zijn en s, t scalairen.

Dan geldt:

a. u + v = v + u (Commutatieve eigenschap) b. (u + v) + w = u + (v + w)

(Associatieve eigenschap) c. u + 0 = u

d. u + (−u) = 0

e. s (u + v) = s u + s v (Distributieve eigenschap) f. (s + t) u = s u + t u (Distributieve eigenschap) g. s(tu) = (s t) u

h. 1 u = u

Opmerking

Wanneer een eenheid van lengte wordt gekozen kan hiermee een meetlat worden gemaakt en daarmee de lengte van een vector bepaald.

Notatie

|u| voor de lengte van de vector u.

Eigenschappen

Voor alle vectoren u en v en alle scalairen c geldt:

|u + v| ≤ |u| + |v| (Driehoeksongelijkheid)

|c u| = |c| · |u|

I.A.M. Goddijn

Vectoren in het platte vlak

O i

j

u1i u2j

u = u1i + u2j

Voorzie het platte vlak van een rechthoekig assenstelsel (Euclidisch assenstelsel) en kies de twee eenheidsvectoren i en j zoals weergegeven in het plaatje. Dan kan iedere vec- tor u geschreven worden als u = u1i + u2j.

Definitie

u1 en u2 heten de kentallen of co¨ordinaten van de vector u.

Notaties

De vector u wordt ook genoteerd als of u = hu₁, u₂i en als u =

"

u1

u2

# .

Vectoren in de ruimte

Voorzie de ruimte van een rechthoekig assenstelsel

(Euclidisch assenstelsel) en kies de drie eenheidsvectoren i, j en k zoals weergegeven in het plaatje op de volgende sheet.

Dan kan iedere vector u geschreven worden als u = u1i + u2j + u3k.

I.A.M. Goddijn

Notaties

De vector u wordt ook genoteerd als of u = hu₁, u₂, u₃i of als u =







 u1

u₂ u3







 .

i O j k

r

u1i u2j

u3k

u = u1i + u2j + u3k

Voorzie de ruimte van een rechthoekig assenstelsel (Euclidisch assenstelsel) en kies de drie eenheidsvectoren i, j en k zoals weergegeven in het plaatje. Dan kan iedere vector u geschreven worden als

u = r + u₃k

= (u₁i + u₂j) + u₃k

= u₁i + u₂j + u₃k.

I.A.M. Goddijn

Stelling

Als u = hu₁, u₂(, u₃)i, v = hv₁, v₂(, v₃)i en t een scalar dan geldt:

1. u + v = hu1 + v1, u2 + v2(, u3 + v3)i

2. tu = htu1, tu2(, tu3)i 3. |u| = pu²₁ + u²₂( + u²₃)

Stelling

Als u = hu₁, u₂(, u₃)i, v = hv₁, v₂(, v₃)i en t een scalar dan geldt:

1. u + v = hu1 + v1, u2 + v2(, u3 + v3)i 2. tu = htu1, tu2(, tu3)i

3. |u| = pu²₁ + u²₂( + u²₃)

I.A.M. Goddijn

Het inwendig product van twee vectoren

Definitie

Als u = hu1, u2(, u3)i en v = hv1, v2(, v3)i dan heet u1v1 + u2v2( + u3v3) het inwendig product van u en v.

Notaties

(u, v), hu, vi en u^•v.

Stelling

Laten u, v en w vectoren zijn en t een scalar. Dan geldt:

1. u^•v = v^•u

2. u^•(v + w) = u^•v + u^•w 3. (tu)^•v = t(u^•v)

4. u^•u ≥ 0 en u^•u = 0 ⇐⇒ u = 0 5. u^•u = |u|².

Stelling

Als u en v vectoren zijn dan u^•v = |u||v| cos(θ) waarbij θ de hoek is tussen u en v.

I.A.M. Goddijn

Deze stelling kan worden bewezen door gebruik te maken van de cosinusregel.

Pas de stelling van Pythagoras toe op de driehoeken ADC en DBC en trek de verkregen vergelijkingen van elkaar af.

c² − 2cp = a² − b² a² = b² + c² − 2cp Gebruik vervolgens dat cos θ = p

b

Dit geeft ( cosinusregel ): a² = b² + c² − 2bc cos θ.