Deel 2: Opgaven

Uitwerking Tentamen Besliskunde 1 (18 januari 2010, 14.00-17.00 uur)

Deel 1: Theorie

Opgave 1

Zij G = (V, E) een normale graaf met n knooppunten. De graad van een knooppunt x wordt genoteerd met d(x). Bewijs de volgende bewering:

Als d(v) + d(w) ≥ n voor ieder tweetal niet-aangrenzende knooppunten v, w ∈ V, dan heeft G een Hamilton kring.

Bewijs:

Zie Stelling 2.19 in het dictaat.

Opgave 2

Beschouw een LP-probleem in de vorm waarin, na toevoeging van verschilvariabelen, de m beperkingen gelijkheden zijn en de matrix rang m heeft. In het dictaat was de notatie voor het bijbehorende toegelaten gebied in deze formulering: R = {x ∈ R^n+m | Ax = b; x ≥ 0}.

Laat a_•k, k = 1, 2, . . . , n + m de kolomvectoren van de matrix A zijn. Verder defini¨eren we J(x) = {j | x_j > 0}.

Bewijs de volgende bewering:

Laat x ∈ R. Dan geldt: x is een hoekpunt d.e.s.d. als {a_•k | k ∈ J(x)} een verz. van lineair onafhankelijke vectoren is.

Bewijs:

Zie Stelling 4.8 in het dictaat.

Opgave 3

Zij x een stationaire kansverdeling van de Markov keten met overgangsmatrix P .

Laat R₁, R₂, . . . , R_mde recurrente klassen zijn, T de verz. van de transi¨ente toestanden en noteer de stationaire matrix met P^∗.

Bewijs de volgende bewering:

x_i =

( 0 als i ∈ T

c_kp^∗_ii als i ∈ R_k, met c_k≥ 0, 1 ≤ k ≤ m, en P_m

k=1 c_k= 1.

Bewijs:

Zie Stelling 5.13 in het dictaat.

1

Deel 2: Opgaven

Opgave 4

Zij a_n het aantal getallen van n cijfers uit 1, 2, 3, 4, 5 dat deelbaar is door 3.

a. Toon aan dat a_n voldoet aan de recurrente betrekking

( a_n+ a_n−1 = 2 · 5ⁿ⁻¹, n ≥ 2 a₁ = 1

b. Bepaal a_n. Oplossing:

a. We gebruiken de bekende eigenschap dat een getal deelbaar is door 3 dan en slechts dan als de som van de cijfers deelbaar is door 3. Het is direct duidelijk dat a₁= 1.

Voor algemene n geldt:

Neem de rijtjes van a_n−1 en zet er een 3 achter. De andere rijtjes van n − 1 cijfers (niet deelbaar door 3 en daarvan zijn er 5ⁿ⁻¹− a_n−1) kunnen op 2 manieren worden aangevuld tot een rijtje van n cijfers dat deelbaar is door 3 (door 1 of 4, resp. 2 of 5 toe te voegen).

Dit geeft:

a_n= a_n−1+ 2 · (5ⁿ⁻¹− a_n−1) = 2 · 5ⁿ⁻¹− a_n−1, d.w.z. a_n+ a_n−1= 2 · 5ⁿ⁻¹. b. Probeer p_n= K5ⁿ. Hieruit volgt dat voor alle n geldt:

K5ⁿ+ K5ⁿ⁻¹= 2 · 5ⁿ⁻¹ → K = ₃¹ en p_n= ¹₃5ⁿ.

De karakteristieke vergelijking is x²+ x = 0 met wortels α = 0 en β = −1, zodat a_n= K₁(−1)ⁿ+¹₃5ⁿ. De constante K₁ wordt bepaald door a₁= 1 → K₁ = ²₃. Hieruit volgt: a_n= ¹₃{2 · (−1)ⁿ+ 5ⁿ}, n ≥ 1.

Opgave 5

Beschouw het volgende LP-probleem:

max









−4x₁− 2x₂− 3x₃

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

x₁ − x₂ + x₃ ≤ 4; x₁ ≥ 0 x₁ + x₂ − x₃ = 1; x₂ ≥ 0 x₁ − x₂ + x₃ ≥ 2; x₃ ≥ 0







 a. Bepaal een optimale oplossing met de simplex methode.

b. Stel het duale probleem op en geef ook daarvan de optimale oplossing.

Oplossing:

Onderdeel a:

Voer voor de eerste beperking een verschilvariale (y₁) in, voor de tweede een schijnvariabele (z2) en voor de derde zowel een verschilvariabele (y₃) als een schijnvariabele (z₃) in.

Het stelsel wordt daarmee:

x₁ − x₂ + x₃ + y₁ = 4

x₁ + x₂ − x₃ + z₂ = 1

x₁ − x₂ + x₃ − y₃ + z₃ = 2

2

We starten met als basisvariabelen y₁, z₂ en z₃ en maximaliseren eerst z₀ = −z₂− z₃. Dit geeft de volgende tableaus (het pivotelement is met een ∗ aangegeven):

x₁ x₂ x₃ y₃

y₁ 4 1 -1 1 0

z₂ 1 ^∗1 1 -1 0 z₃ 2 -1 -1 1 -1

x₀ 0 4 2 3 0

z₀ -3 -2 0 0 1

z₂ x₂ x₃ y₃ y₁ 3 -1 -2 2 0

x₁ 1 1 1 -1 0

z₃ 1 -1 -2 ^∗2 -1 x₀ -4 -4 -2 7 0 z₀ -1 2 2 -2 1

z₂ x₂ z₃ y₃

y₁ 2 0 0 -1 1

x₁ ³₂ ¹₂ 0 ¹₂ −¹₂ x₃ ¹₂ −¹₂ -1 ¹₂ −¹₂ x₀ −¹⁵₂ −¹₂ 5 −⁷₂ ⁷₂

Dit tableau is optimaal.

De optimale oplossing luidt:

x₁= ³₂, x₂= 0, x₃= ¹₂ met waarde van het optimum −¹⁵₂. Onderdeel b:

De standaardschrijfwijze van het LP-probleem is:

max









−4x₁− 2x₂− 3x₃

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

x₁ − x₂ + x₃ ≤ 4; x₁≥ 0 x₁ + x₂ − x₃ = 1; x₂≥ 0

−x₁ + x₂ − x₃ ≤ −2; x₃≥ 0







 Het bijbehorende duale probleem luidt:

min









4u₁+ u₂− 2u₃

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

u₁ + u₂ − u₃ ≥ −4; u₁ ≥ 0

−u₁ + u₂ + u₃ ≥ −2; u₂ vrij u₁ − u₂ − u₃ ≥ −3; u₃ ≥ 0









Om van het stelsel van het oorspronkelijke probleem gelijkheden te maken zdd. dit stelsel een eenheidsmatrix bevat gebruiken we de verschil/schijnvariabelen y₁, z₂en y₃. De oplossing van het duale pr0bleem lezen we af uit het laatste tableau bij de duale waarden van deze drie variabelen:

u₁= 0, u₂= −¹₂, u₃ = ⁷₂ met waarde van het optimum −¹⁵₂ .

Opgave 6

Beschouw de Markov keten op S = {0, 1, . . . , N } met de volgende overgangskansen:

p₀₀= p_{N N} = 1; p_ij =













p als j = 0 q als j = i r als j = i + 1

voor i = 1, 2, . . . , N − 1, waarbij p, q, r ∈ (0, 1) en met

p + q + r = 1.

Bepaal f_i0en f_iN voor alle i.

Oplossing:

f_iN = qf_iN + rf_i+1,N, 1 ≤ i ≤ N − 1; f_{N N} = 1; f_0N = 0.

Hieruit volgt: f_iN = _1−q^r f_i+1,N = · · · =

³ r 1−q

´_{N −i}

f_{N N} =

³ r 1−q

´_{N −i}

, 1 ≤ i ≤ N ; f_0N = 0.

De toestanden 0 en N zijn absorberend en alle andere toestanden zijn transi¨ent, dus f_i0= 1 − f_iN = 1 −

³ r 1−q

´_{N −i}

, 1 ≤ i ≤ N ; f₀₀= 1.

3