Analyse
Deel 4
I.A.M. Goddijn
TUDelft
April 18, 2010
Raakvlakken
Laat f : D → R en (a, b) ∈ D.
Veronderstel dat beide eerste orde parti¨ele afgeleiden van f in (a, b) bestaan. Dan heeft het raakvlak aan de grafiek van f in (a, b, f (a, b)) als vergelijking
z = f (a, b) + fx(a, b) (x − a) + fy(a, b) (y − b).
April 18, 2010 1
L : D → R
L(x, y) = f (a, b) + fx(a, b) (x − a) + fy(a, b) (y − b) heet delineariseringvan f in (a, b).
Wanneer we in het punt (a, b, f (a, b)) een lokaal assenstelsel aanbrengen met als assen dx, dy en dz dan wordt de vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van f in (a, b, f (a, b)) ten opzichte van dit assenstelseldz = fx(a, b)dx + fy(a, b)dy.
Dit kunnen we in principe in elk punt (x, y, f (x, y)) van de grafiek van f doen. We vinden dan
dz = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy
We zeggen: ’De(totale) differentiaalvan z is gelijk aan het produkt van de parti¨ele afgeleide van f naar x en de
differentiaal van x plus het produkt van de parti¨ele afgeleide van f naar y en de differentiaal van y.’
April 18, 2010 3
Willen we f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) benaderen dan kan dit door
∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) ≈ L(a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) =
{f (a, b) + fx(a, b) ∆x + fy(a, b) ∆y} − f (a, b) = fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y =
fx(a, b) dx + fy(a, b) dy = dz waarbij ∆x = dx en ∆y = dy.
Absolute en relatieve fouten
Als tengevolge van meetfouten a + h en b + k worden gemeten in plaats van a en b wat is dan het effect op de berekening van f (a, b) ?
|∆z| = |f (a + h, b + k) − f (a, b)| ≈ |fx(a, b)h + fy(a, b)k| ≤
|fx(a, b)h| + |fy(a, b)k| = |fx(a, b)∆x| + |fy(a, b)∆y| =
|fx(a, b)||∆x| + |fy(a, b)||∆y|.
|∆z| / |fx(a, b)||∆x| + |fy(a, b)||∆y| heet de absolute fouten
|∆z|
|f (a, b)| / |fx(a, b)||∆x| + |fy(a, b)||∆y|
|f (a, b)| de relatieve fout in
f (a, b).
April 18, 2010 5
De kettingregel
Laat f een functie zijn op D ⊂ R2 met continue eerste orde parti¨ele afgeleiden en laten x en y differentieerbare functies zijn op I ⊂ R waarbij {(x(t), y(t)) | t ∈ I} ⊂ D.
Wordt k : I → R gegeven door k(t) = f (x(t), y(t)) dan is k differentieerbaar op I en
k0(t) = f1(x(t), y(t))x0(t) + f2(x(t), y(t))y0(t).
Als z = f (x, y) dan schrijven we ook
dz dt = ∂f
∂x dx
dt + ∂f
∂y dy
dt of
dz
dt = ∂z
∂x dx
dt + ∂z
∂y dy
dt
Merk op dat in het laatste geval de letter z in een dubbele betekenis is gebruikt.
April 21, 2010 2
Laat f een functie zijn op D ⊂ R2 met continue eerste orde parti¨ele afgeleiden en laten x en y functies zijn op E ⊂ R2 met continue eerste orde parti¨ele afgeleiden waarbij
{(x(u, v), y(u, v)) | (u, v) ∈ E} ⊂ D.
Wordt k : E → R gegeven door k(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) dan bestaan de eerste orde parti¨ele afgeleiden van k op E en
∂k
∂u(u, v) = f1(x(u, v), y(u, v))∂x
∂u(u, v) + f2(x(u, v), y(u, v))∂y
∂u(u, v) en
∂k
∂v(u, v) = f1(x(u, v), y(u, v))∂x
∂v(u, v) + f2(x(u, v), y(u, v))∂y
∂v(u, v)
April 21, 2010 4
Als z = f (x, y) dan schrijven we ook
∂z
∂u = ∂f
∂x
∂x
∂u + ∂f
∂y
∂y
∂u en
∂z
∂v = ∂f
∂x
∂x
∂v + ∂f
∂y
∂y
∂v of
∂z
∂u = ∂z
∂x
∂x
∂u + ∂z
∂y
∂y
∂u en
∂z
∂v = ∂z
∂x
∂x
∂v + ∂z
∂y
∂y
∂v Merk op dat opnieuw de letter z in een dubbele betekenis is gebruikt.
