HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS
SEPTEMBER 2009
FACULTEIT EWI
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT
Inhoud
Inleiding
Aansluiting Voorbeeldtoets Oefenmateriaal
Instaptoets
Opfristraject
Belangrijke data en roosters Voorbeeldtoets
Verwijzingen Calculus Stewart Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths Digitaal oefenmateriaal
Review of Algebra Formuleblad TU
Uitwerkingen voorbeeldtoets Antwoorden voorbeeldtoets
Inleiding
Aansluiting
In het eerstejaars wiskunde-onderwijs (met name het analyse-onderwijs) wordt er vaak een beroep gedaan op voorkennis die je op school opgedaan hebt. Er zal wel eens wat
weggezakt zijn en ook formules die je vroeger opzocht op de formulekaart of met je grafische rekenmachine uitvond heb je misschien niet paraat. Als je met een aantal veel voorkomende zaken niet handig en snel kunt omgaan (of zelfs geen idee hebt dat daar wel eens een formule voor zou kunnen zijn), dan heb je daar bij het analyse-onderwijs veel last van.
Vergelijk het maar met een taal: als je Engels gaat studeren schiet het niet erg op als je de vervoegingen van to be iedere keer moet opzoeken. Je maakt het jezelf moeilijker dan nodig wanneer je een bepaalde hoeveelheid kennis en vaardigheden niet paraat hebt.
Voorbeeldtoets
Na de inleiding vind je een voorbeeldtoets met 22 opgaven. Ze hebben betrekking op kennis en vaardigheden die in het eerstejaar analyse-onderwijs geregeld aan de orde komen. We hebben geprobeerd juist die dingen te vragen die veel voorkomen. We vragen je de opgaven te maken zonder een grafische rekenmachine te gebruiken. Niet omdat die bij het analyse- onderwijs verboden zou zijn, want die mag je bij het onderwijs en bij het maken van tentamens met open vragen gewoon gebruiken. Maar ook hiervoor geldt: het schiet niet op als je een grafische rekenmachine voor de simpelste berekeningen nodig hebt. Overigens kent de TU ook een formulekaart, die veel minder uitgebreid is dan je van het vwo gewend bent. Verderop staat hij afgedrukt. Maar om voornoemde redenen is het niet de bedoeling dat je hem gebruikt bij de voorbeeldtoets.
Oefenmateriaal
De toets is in de eerste plaats letterlijk een test voor jezelf: wat kan en weet ik vlot, wat weet ik nog wel zo’n beetje maar kost me moeite, en wat ben ik toch wel kwijt. Ons advies: als je merkt dat je bepaalde zaken niet meer weet of beheerst, doe daar dan wat aan.
De antwoorden van de voorbeeldtoets staan achterin, inclusief uitwerkingen van de opgaven.
Je kunt nu zelf zien wat je vlot beheerst en waar misschien nog (of weer?) wat gebreken zitten. Na de toets vind je ook suggesties voor oefenmateriaal (ook online) inclusief
verwijzingen per opgave van de voorbeeldtoets. Je kunt die gebruiken door bij die onderdelen waar je moeite mee had de achterliggende theorie nog eens te bekijken en oefenopgaven te maken. Van een paar regels vermelden we dat het handig is die uit je hoofd te kennen. Het voor de hand liggende advies is natuurlijk om indien nodig daar snel wat aan te doen.
Instaptoets
De voorbeeldtoets uit deze hand out lijkt op de toets die je tijdens een van de eerste collegeweken voorgelegd zult krijgen. De opgaven zijn om practische redenen in
meerkeuzevorm gegoten. Bij die instaptoets krijg je een antwoordformulier, waarop je het (volgens jou) juiste alternatief moet aangeven, wederom zonder gebruik te maken van grafische rekenmachine of formulekaart. Op het antwoordformulier wordt ook gevraagd je studierichting en studienummer op te geven. Noteer op een kladblaadje welke alternatieven je hebt aangekruist, dan kun je later nog zien welke opgaven je goed en welke je fout had. De toets wordt bij bijna alle opleidingen aan de TU afgenomen en de antwoordformulieren worden automatisch verwerkt. Daardoor kunnen we straks voor de TU als geheel, maar ook per opleiding, zien waar opvallende problemen zitten. Je docent kan ook gebruik maken van die informatie.
Opfristraject
Voor de opleidingen van de faculteiten EWI, TNW, LR en 3ME is er voor studenten die de instaptoets niet voldoende maken, de mogelijkheid om deel te nemen aan een opfristraject in week 3 tot en met 6. In een viertal bijeenkomsten, het zogeheten opfristraject, wordt er onder begeleiding van studentassistenten geoefend met het maken van opgaven. Vervolgens is er een tweede mogelijkheid om een instaptoets voldoende af te leggen. De genoemde
faculteiten stellen het op enig moment met voldoende resultaat afleggen van een instaptoets als voorwaarde voor het toekennen van een cijfer voor het vak Analyse. (Met uitzondering van de opleiding Technische Wiskunde, daar maakt de instaptoets onderdeel uit van het vak Caleidoscoop.) Ook al heb je de instaptoets nog niet voldoende gemaakt, dan mag je
natuurlijk gewoon meedoen met de tentamens van het vak Analyse. Het behaalde cijfer krijg je echter pas als je een instaptoets voldoende hebt gemaakt. Meer informatie over het opfirstraject vind je op Blackboard onder vakcode wi1000. (Voor 3ME is de vakcode wi1250wbmt deel 1).
Belangrijke data en roosters
De data en roosters van het opfristraject kun je het beste Blackboard (blackboard.tudelft.nl onder eerder genoemde vakcodes wi1000 en wi1250wbmt deel 1) in de gaten houden en het tentamenaanmeldsysteem TAS (tas.tudelft.nl).
Technische Universiteit Delft
Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft
Voorbeeldtoets
Lees zorgvuldig onderstaande punten door
• Deze toets is bedoeld om een idee te krijgen van uw parate kennis en uw beheersing van enkele basisvaardigheden van de wiskunde op het huidige moment.
• Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan.
• De toets bestaat uit 22 meerkeuzevragen. Bij iedere vraag is ´e´en van de vier mogelijkheden goed.
• De tijdsduur van de toets is ´e´en uur.
1. Een van de volgende beweringen is niet juist. Welke?
a. 5
2−3 = 40 b. 6423 = 16 c. 1
1
2 +13 = 5 d.
q1
11 = 111 √ 11 2. De uitdrukking √3
a√5
a is gelijk aan
a. 15√
a b. √8
a c. 8
√
a2 d. 15
√ a8 3. Welk van de volgende getallen is het grootst?
a. √
2 b. √3
4 c. √4
8 d. √5
16 4. De uitdrukking a
2 − a + a
2 + a is gelijk aan a. 4 a
4 − a2 b. 2 a2
a2− 4 c. 2 a2
4 − a2 d. 4 a
a2− 4
zie volgende pagina
5. De uitdrukking √ 11 −√
72
− √
11 +√ 72
is gelijk aan
a. 0 b. 36 − 4√
77 c. −14 d. −4√
77 6. Hoeveel verschillende nulpunten heeft de functie f (x) = x3− 8 x2+ 16 x?
a. 3 b. 2 c. 1 d. 0
7. De uitdrukking ln(p e√
e ) ln(√
e) is gelijk aan a. √
e b. 1
2 c. 3
2 d. 1
4 8. Als 3 ln(y) = x3+ ln(8), dan is y gelijk aan
a. 2 ex b. 8 e13x3 c. 8
3e13x3 d. 2 e13x3 9. Als f (x) = x2 en g(x) = 1 + x, dan is f (g(x)) gelijk aan
a. 1 + x2 b. (1 + x)2 c. x2(1 + x) d. x2+ (1 + x) 10. Gevraagd wordt om de volgende twee vergelijkingen op te lossen:
(1) ln(x2) = 4, (2) (ln(x))2= 4
Iemand lost deze vergelijkingen als volgt op:
(1) ln(x2) = 4 → 2 ln(x) = 4 → ln(x) = 2 → x = e2 (2) (ln(x))2 = 4 → ln(x) = 2 → x = e2
Welke uitspraak is waar?
a. Alleen oplossing (1) is volledig c. Beide oplossingen zijn volledig b. Alleen oplossing (2) is volledig d. Geen van beide oplossingen is
volledig.
11. De uitdrukking ln(e5− e3) is gelijk aan
a. 2 b. 5
3 c. 3 + ln(e2− 1) d. 3 − ln(e2− 1)
zie volgende pagina
12. Gegeven is de functie f (x) =
√1 − x2
10log(x).
Het domein van de functie f bestaat uit die x waarvoor geldt
a. 0 < x c. −1 ≤ x ≤ 1
b. 0 < x < 1 d. −1 ≤ x ≤ 1 ´en x 6= 0
13. De uitdrukking 749log(3) is gelijk aan
a. 7log(9) b. √
3 c. 7log(√
3) d. 9
14. Los de vergelijking 2 x + 1 =√
x2+ 5 op.
De vergelijking heeft
a. ´e´en oplossing x1. Er geldt dat x1 > 1.
c. ´e´en oplossing x1. Er geldt dat 0 < x1 < 1.
b. geen oplossingen d. twee oplossingen
15. Als h(x) = f (g(x)), dan is h0(x) gelijk aan
a. f0(g(x)) · x c. f0(g(x)) + f (g0(x))
b. f0(g(x)) · g0(x) d. f0(g(x)) · g(x) + f (g0(x)) · g0(x) 16. Als y =√3
x3+ 8, dan kun je dy
dx schrijven als a. 3 x2
2√3
x3+ 8 b. x2
p(x3 3+ 8)2 c. 1 d. 1
3p(x3 3+ 8)2 17. Voor k > 0 is
Z 3k k
1
xdx te herleiden tot
a. ln(3) b. ln(2 k) c. klog(3 k) d. 8
9 k2 18. De integraal
Z 2 1
1 x
3
dx is gelijk aan
a. 1
4ln4(2) b. ln(8) c. 15
16 d. 3
8
zie volgende pagina
19. Gegeven is de functie f (x) = sin(a x) + cos(a x) met a 6= 0.
De maximale waarde van deze functie is
a. 1 c. √
2
b. 2 d. een waarde afhankelijk van a.
20. De functie f (x) = cos2(12x) − sin2(12x) heeft
a. periode 2 π c. periode π
b. periode 1
2π d. een horizontale lijn als grafiek
21. De afgeleide van f (x) = (cos(x) + sin(x))2 is
a. 0 c. 2 sin2(x) − 2 cos2(x)
b. 2 cos2(x) − 2 sin2(x) d. −2 sin(x) cos(x) 22. Een primitieve van f (x) = cos(x) sin(x) is gelijk aan
a. 1
2 cos2(x) c. − sin2(x) + cos2(x)
b. 1
2 sin2(x) d. −1
4 cos2(x) sin2(x) einde toets
Verwijzingen Calculus Early Trancendentals
James Stewart, 6E, Thomson Brooks/Cole, ISBN 9780495382737
De theorie en oefenopgaven bij de onderwerpen van de voorbeeldtoets zijn terug te vinden in het boek van Stewart. Het hoofdstuk met de titel Review of Algebra vind je verderop in deze tekst. Hieronder een aantal verwijzingen naar dat hoofdstuk en ook andere hoofdstukken uit het boek.
Exponenten (opgaven 1, 2, 3 en 7 uit de voorbeeldtoets)
In het hoofdstuk Review of Algebra staan onder het kopje “Exponents” de definities en de regels voor het rekenen met exponenten samengevat. Als je met deze opgaven
moeilijkheden hebt, lees dat stukje dan nog eens door en oefen met een aantal opgaven uit 83 -100 uit de Review of Algebra (antwoorden op de laatste bladzijdes van dat hoofdstuk).
Breuken en haakjes (opgaven 1, 4 en 5)
In deze opgaven gaat het om optellen, aftrekken en vereenvoudigen van breuken. Daarbij komen ook zaken als het wegwerken van haakjes en het ontbinden in factoren aan de orde.
Onder de kopjes “Fractions” en “Factoring” worden deze zaken in de Review samengevat.
Lees dat zonodig door en oefen met opgaven uit 17-28 en 49-54.
Vergelijkingen en ongelijkheden (opgaven 6, 10, 12 en 14)
In deze opgaven gaat het onder andere om tweedegraads en ook hogeregraads
vergelijkingen. Tweedegraads vergelijkingen kom je heel veel tegen; die moet je echt vlot kunnen oplossen (zie ook de opgave 61-68 uit de Review. In de Review vind je ook de abc- formule uitgelegd.) Ongelijkheden loste je misschien meestal met je grafische rekenmachine op. Het is wel handig als je heel eenvoudige ongelijkheden ook zonder dat hulpmiddel kunt oplossen, bijvoorbeeld met een tekenoverzicht of een simpel schetsje. In Appendix A van het boek van Stewart vind je onder Inequalities het een en ander over ongelijkheden, met bij opgaven 13-38 heel wat oefenmateriaal. In de toets vragen we nauwelijks iets over absolute waarde. Als je niet meer weet wat dat is, lees dan nog eens het stukje uit dezelfde appendix onder Absolute Value door. Voor derdegraads vergelijkingen bestaat ook een algemene oplosmethode, maar die hoef je niet te kennen. Wel word je geacht zoiets simpels als “de x buiten haakjes halen” zelf te zien.
Wortels (opgaven 2, 3, 5, 7, 12 en 14)
Wat in het Nederlands “wortels” genoemd wordt, heet in het Engels “Radicals” (radix is Latijn voor wortel). In de Review staat ook een kopje “Radicals” en daaronder vind je de theorie over het werken met wortels. Opgaven staan aan het eind, bijvoorbeeld 95-100.
Logaritmen en e-machten (opgaven 7, 8, 10, 11, 12 en 13)
Deze opgaven draaien om eigenschappen van exponenten, e-machten en logaritmen.
Elementaire eigenschappen van exponenten zijn in de Review samengevat onder
“Exponents”. Definities en eigenschappen van exponentiële en logaritmische functies vind je in Stewart in de paragrafen 1.5 en 1.6 onder de kopjes “Logarithmic Functions” en “Natural Logarithms”. Heb je hier moeite mee, lees dan vooral de theorie nog eens goed door.
Geschikte opgaven uit paragraaf 1.6 zijn 37-42 en 47-52. Voorbeelden en opgaven hierover kun je ook vinden in de Review onder “Exponents”. Oefen eventueel met de opgaven 89-100.
Differentiëren (opgaven 15, 16 en 21)
Bij deze differentieeropgaven gaat het om een paar dingen. We gaan er toch wel van uit dat je een paar standaardafgeleiden uit je hoofd kent: van xn, ook met n negatief of gebroken, exp(x), ln(x), sin(x), cos(x) en tan(x). Verder verwachten we dat je de rekenregels voor som, verschil, product en quotiënt kent. En tot slot duikt nu eenmaal vaak de kettingregel op, ook die moet je kennen, anders blijf je voortdurend hinderlijke fouten maken. De theorie van de afgeleides wordt behandeld in de paragrafen 2.7 en 2.8 van Stewart. De rekenregels staan in 3.1, 3.2, 3.3 en 3.4. Een collectie oefenopgaven waarin alle regeltjes gecombineerd worden vind je in paragraaf 3.4 bij de nummers 7-34. Over het opstellen van een vergelijking van de raaklijn aan een grafiek in een punt vind je meer in Stewart paragraaf 2.7, voorbeeld 2 (raaklijn is tangeant line in het Engels) en in opgaven 5-10 van 2.7.
Integreren (opgaven 17, 18 en 22)
In de analysecursus komen wat verdergaande technieken van integreren uitgebreid aan bod.
Hier gaat het om eenvoudige functies die direct met de basisregels geprimitiveerd kunnen worden. Ook hier geldt dat we er wel van uit kunnen gaan dat je een aantal standaardfuncties (xn, exp(x), sin(x), cos(x)) en de meest eenvoudige samenstellingen daarvan “uit het hoofd”
kunt primitiveren. Oefenmateriaal met heel elementaire integralen is te vinden in Stewart paragraaf 5.4, bijvoorbeeld de opgaven 5-9, 21-26 en 29-32.
Goniometrie (opgaven 19, 20, 21 en 22)
Bij goniometrie wordt nogal veel gebruik gemaakt van formules, goniometrische identiteiten genaamd, waarmee de ene uitdrukking wordt overgevoerd in een andere. Het formuleblad van school geeft er een groot aantal van en wij verlangen niet dat je die allemaal uit je hoofd kent. Een aantal komt echter zo vaak voor, dat het bijna geen doen is als je die iedere keer moet opzoeken. Het gaat dan met name om de regels voor sin(-x), cos(-x) en tan(-x) en sin(
π
/2-x) en cos(π
/2-x). Deze regels en ook wat er gebeurt als je bij het argument van de sinus en de cosinusπ
optelt of ervan aftrekt, zijn bovendien makkelijk te bedenken als je even de grafiek van de betreffende functie schetst of aan de manier denkt waarop ze in de eenheidscirkel zijn gedefinieerd. De dubbele- hoekformules sin(2x) en cos(2x) zijn minder simpel te bedenken, maar worden ook erg vaak toegepast. We adviseren ze gewoon maar uit het hoofd te leren – voor zover je dat nog niet gedaan had. De definities en de veleeigenschappen van goniometrische functies en hun grafieken vind je in Appendix D van Stewart. Het heeft hierbij niet zoveel zin nog weer sommetjes te gaan maken. Wel is het heel nuttig om met behulp van de eenheidscirkel en/of de grafiek eenvoudige identiteiten na te gaan. En we raden je dringend aan de standaardwaarden van de sinus en de cosinus voor 0,
π
/6,π
/4,π
/3 enπ
/2 gewoon paraat te hebben. Die kom je eindeloos veel tegen.Verwijzingen Basisboek wiskunde
Jan van de Craats en Rob Bosch, tweede editie, Pearson Education, ISBN 90-430-1673-5 Een belangrijke bron van uitleg en oefenmateriaal is ook het Basisboek Wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch. Stukken uit dat boek zijn ook te vinden op de site van de auteur http://staff.science.uva.nl/~craats/ . Studenten van de facuteiten EWI en TNW krijgen het boek aan het begin van het jaar uitgereikt. Het wordt gebruikt in het opfristraject van de faculteiten EWI, TNW en 3ME. Per opgave staat hieronder aangegeven waar relevante informatie te vinden is in het Basisboek. De bijbehorende opgaven zijn in het boek telkens op de bladzijde naast de theorie te vinden. Voor een toelichting over welke aspecten van de diverse onderwerpen belangrijk zijn verwijzen we naar de opmerkingen bij de verwijzingen naar het boek Calculus van Stewart hierboven.
Opgave uit voorbeeldtoets Bladzijde uit Basisboek Wiskunde (2e editie)
1 17, 23, 27
2 25, 27
3 27 4 47 5 41
6 37, 79
7 27 ,33, 159
8 159
9 39, 41
10 159, 161
11 159
12 133, 159
13 159 14 133 15 179
16 27, 33, 179
17 159, 205
18 205
19 141, 147, 179
20 141, 145
21 145, 179
22 179
Verwijzingen Foundation Maths
Anthony Croft and Robert Davison, fourth ed., Pearson Prentice Hall, ISBN 0-131-97921-3 Een Engelstalig boek dat geschikt is om bijbehorende stof uit te bestuderen is Foundation Maths. Studenten van de faculteit LR krijgen het boek aan het begin van het jaar uitgereikt.
Het wordt gebruikt in het opfristraject van die faculteit. Per opgave staat hieronder
aangegeven in welk hoofdstuk relevante theorie te vinden is in het boek. Voor een toelichting over welke aspecten van de diverse onderwerpen belangrijk zijn verwijzen we naar de opmerkingen bij de verwijzingen naar het boek Calculus van Stewart hierboven.
Opgave uit voorbeeldtoets Hoofdstukken uit Foundation Maths (4th ed.)
1 2, 7
2 7
3 2, 7
4 12 5 10 6 11
7 7, 20
8 20 9 16
10 19, 20
11 19, 20
12 17, 20
13 20 14 14 15 niet in dit boek, zie Stewart 16 niet in dit boek, zie Stewart
17 20,30 18 30
19 23, 28
20 24 21 28
22 28, 29
Digitaal oefenmateriaal
Digitale leeromgeving bij Foundation Math
Bij het boek Foundation Maths van Croft en Davison is een digitale leeromgeving beschikbaar op www.coursecompass.com onder de naam MyMathLab. De leeromgeving bevat tal van oefenopgaven. Studenten van de faculteiten TNW en LR hebben toegang tot die
leeromgeving en kunnen een account aanmaken met behulp van de gegevens die zij bij het Basisboek wiskunde (TNW) of Foundation Maths (LR) gekregen hebben. Een handleiding over hoe te werk te gaan en ook de courseid zijn te vinden op blackboard onder wi1000
“Course Documents”.
Toetsbank analyse
Een andere opgavenverzameling is te vinden in de toetsbank analyse die te vinden is op de blackboardsite van de TU onder “Courses”, nummer 0000.
Online oefenen met Maple TA
Via onderstaande link zijn digitale toetsvragen bereikbaar. De vragen zijn gerangschikt op basis van de hoofdstuk indeling van het Basisboek wiskunde. Het maken van de vragen gebeurt met behulp van Maple TA. Om toegang te krijgen dient een account aangemaakt te worden. Het kan zijn dat de studentid te lang is om hier als inlognaam te dienen. Kies in dat geval een kortere. Het systeem levert ook hints en oplossingen. De vorderingen worden bijgehouden en zijn te raadplegen door de docent.
Let op: het navigatiesysteem van Maple TA werkt (nog) niet perfect.
http://mapleta.tudelft.nl:8080/classes/wi1000/
Databank met oefenmateriaal wizmo
Onder www.wizmo.nl is een verzameling oefenmateriaal te vinden, speciaal gericht op de wiskunde-aansluiting voortgezet onderwijs en hoger onderwijs. Je kunt zoeken op onderwerp, maar ook via de inhoudsopgave van het Basisboek wiskunde van Van de Craats en Bosch.
Review of Algebra
Review of Algebra ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Here we review the basic rules and procedures of algebra that you need to know in order to be successful in calculus.
Arithmetic Operations
The real numbers have the following properties:
(Commutative Law) (Associative Law) (Distributive law) In particular, putting in the Distributive Law, we get
and so
EXAMPLE 1 (a) (b) (c)
If we use the Distributive Law three times, we get
This says that we multiply two factors by multiplying each term in one factor by each term in the other factor and adding the products. Schematically, we have
In the case where and , we have
or
Similarly, we obtain
a b2 a2 2ab b2
2
a b2 a2 2ab b2
1
a b2 a2 ba ab b2 d b
c a
a bc d
a bc d a bc a bd ac bc ad bd 4 3x 2 4 3x 6 10 3x
2t7x 2tx 11 14tx 4t2x 22t
3xy4x 34x2y 12x2y
b c b c
b c 1b c 1b 1c a 1
ab c ab ac
abc abc
a b c a b c
ab ba a b b a
2 ■ REVIEW OF ALGEBRA
EXAMPLE 2 (a) (b) (c)
Fractions
To add two fractions with the same denominator, we use the Distributive Law:
Thus, it is true that
But remember to avoid the following common error:
|
(For instance, take to see the error.)
To add two fractions with different denominators, we use a common denominator:
We multiply such fractions as follows:
In particular, it is true that
To divide two fractions, we invert and multiply:
a b c d
a b d
c ad bc
a b a
b a
b a
b c d ac
bd a
b c
d ad bc bd a b c 1
a b c a
b a c a c
b a b c
b a
b c b 1
b a 1
b c 1
ba c a c b 12x2 5x 21
12x2 3x 9 2x 12 3x 14x 3 2x 6 34x2 x 3 2x 12
x 62 x2 12x 36
2x 13x 5 6x2 3x 10x 5 6x2 7x 5
REVIEW OF ALGEBRA ◆ 3
EXAMPLE 3
(a) (b)
(c)
(d)
Factoring
We have used the Distributive Law to expand certain algebraic expressions. We some- times need to reverse this process (again using the Distributive Law) by factoring an expression as a product of simpler ones. The easiest situation occurs when the expres- sion has a common factor as follows:
To factor a quadratic of the form we note that
so we need to choose numbers so that and .
EXAMPLE 4 Factor .
SOLUTION The two integers that add to give and multiply to give are and . Therefore
EXAMPLE 5 Factor .
SOLUTION Even though the coefficient of is not , we can still look for factors of the form and , where . Experimentation reveals that
Some special quadratics can be factored by using Equations 1 or 2 (from right to left) or by using the formula for a difference of squares:
a2 b2 a ba b
3
2x2 7x 4 2x 1x 4
rs 4 x s
2x r x2 1
2x2 7x 4
x2 5x 24 x 3x 8
3 8
24 5
x2 5x 24
rs c r s b
r and s
x rx s x2 r sx rs x2 bx c
3x(x-2)=3x@-6x
Expanding
Factoring
x y 1 1 y x
x y
y x y
x
x y
y x
x y xx y
yx y x2 xy xy y2 s2t
u ut
2 s2t2u
2u s2t2 2
x2 2x 6 x2 x 2 3
x 1 x
x 2 3x 2 xx 1
x 1x 2 3x 6 x2 x x2 x 2 x 3
x x x 3
x 1 3 x
4 ■ REVIEW OF ALGEBRA
The analogous formula for a difference of cubes is
which you can verify by expanding the right side. For a sum of cubes we have
EXAMPLE 6
(a) (Equation 2; )
(b) (Equation 3; )
(c) (Equation 5; )
EXAMPLE 7 Simplify .
SOLUTION Factoring numerator and denominator, we have
To factor polynomials of degree 3 or more, we sometimes use the following fact.
The Factor Theorem If is a polynomial and , then is a factor of .
EXAMPLE 8 Factor .
SOLUTION Let . If , where is an integer, then
is a factor of 24. Thus, the possibilities for are
and . We find that , , . By the Factor Theorem,
is a factor. Instead of substituting further, we use long division as follows:
Therefore
Completing the Square
Completing the square is a useful technique for graphing parabolas or integrating rational functions. Completing the square means rewriting a quadratic ax2 bx c
x 2x 3x 4
x3 3x2 10x 24 x 2x2 x 12
12x 24
12x 24
x2 2x
x2 10x x3 2x2
x 2 x3 3x2 10x 24
12 x x2
x 224 P1 12 P1 30b P2 01, 2, 3, 4, 6, 8, 12, b
b Pb 0
Px x3 3x2 10x 24 x3 3x2 10x 24
Px P Pb 0 x b
6
x2 16
x2 2x 8 x 4x 4
x 4x 2 x 4 x 2 x2 16
x2 2x 8
a x, b 2
x3 8 x 2x2 2x 4
a 2x, b 5
4x2 25 2x 52x 5
a x, b 3
x2 6x 9 x 32
a3 b3 a ba2 ab b2
5
a3 b3 a ba2 ab b2
4
REVIEW OF ALGEBRA ◆ 5
in the form and can be accomplished by:
1. Factoring the number from the terms involving .
2. Adding and subtracting the square of half the coefficient of . In general, we have
EXAMPLE 9 Rewrite by completing the square.
SOLUTION The square of half the coefficient of is . Thus
EXAMPLE 10
Quadratic Formula
By completing the square as above we can obtain the following formula for the roots of a quadratic equation.
The Quadratic Formula The roots of the quadratic equation are
EXAMPLE 11 Solve the equation .
SOLUTION With , , , the quadratic formula gives the solutions
The quantity that appears in the quadratic formula is called the discriminant. There are three possibilities:
1. If , the equation has two real roots.
2. If , the roots are equal.
3. If bbb222 4ac 0 4ac 0 4ac 0, the equation has no real root. (The roots are complex.) b2 4ac
x 3 s32 453
25 3 s69 10 c 3
b 3 a 5
5x2 3x 3 0 x b sb2 4ac
2a
ax2 bx c 0
7
2x 32 9 11 2x 32 7 2x2 12x 11 2x2 6x 11 2x2 6x 9 9 11
x2 x 1 x2 x 1414 1
(
x12)
234 1x 4
x2 x 1
a
x 2ab 2c 4ab2a
x2 ba x2ab 22ab 2c
ax2 bx c a
x2 ba xc
x x
a ax p2 q
6 ■ REVIEW OF ALGEBRA
These three cases correspond to the fact that the number of times the parabola crosses the -axis is 2, 1, or 0 (see Figure 1). In case (3) the quad- ratic can’t be factored and is called irreducible.
EXAMPLE 12 The quadratic is irreducible because its discriminant is negative:
Therefore, it is impossible to factor .
The Binomial Theorem
Recall the binomial expression from Equation 1:
If we multiply both sides by and simplify, we get the binomial expansion
Repeating this procedure, we get
In general, we have the following formula.
The Binomial Theorem If is a positive integer, then
kabk1 bk
kk 1k n 1
1 2 3 n aknbn
kk 1k 2
1 2 3 ak3b3
a bk ak kak1b kk 1
1 2 ak2b2 k
9
a b4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
a b3 a3 3a2b 3ab2 b3
8
a b
a b2 a2 2ab b2 x2 x 2
b2 4ac 12 412 7 0 x2 x 2
x y
0 x
y
0 x
y
0
(a) b@-4ac>0 (b) b@-4ac=0 (c) b@-4ac<0
FIGURE 1 Possible graphs of y=ax@+bx+c
ax2 bx c x y ax2 bx c
REVIEW OF ALGEBRA ◆ 7
EXAMPLE 13 Expand .
SOLUTION Using the Binomial Theorem with , , , we have
Radicals
The most commonly occurring radicals are square roots. The symbol means “the positive square root of.” Thus
means and
Since , the symbol makes sense only when . Here are two rules for working with square roots:
However, there is no similar rule for the square root of a sum. In fact, you should remember to avoid the following common error:
|
(For instance, take and to see the error.) EXAMPLE 14
(a) (b)
Notice that because indicates the positive square root.
(See Appendix A.)
In general, if is a positive integer, means
If is even, then and .
Thus because , but and are not defined. The fol-
lowing rules are valid:
EXAMPLE 15 s3x4 s3x3x s3x3 s3x xs3x
ab ssnnabsnab sna snb
s68 s48
23 8 s38 2
x 0 a 0
n
xn a x sna
n
s1 sx2
x
sx2y sx2 sy
x
sy
s18
s2
182 s9 3b 16 a 9
sa b sa sb
ab ssabsab sa sb
10
a 0 sa
a x2 0
x 0 x2 a
x sa
s1
x5 10x4 40x3 80x2 80x 32
x 25 x5 5x42 5 4
1 2 x322 5 4 3
1 2 3 x223 5x24 25 k 5
b 2 a x
x 25
8 ■ REVIEW OF ALGEBRA
n
To rationalize a numerator or denominator that contains an expression such as , we multiply both the numerator and the denominator by the conjugate rad- ical . Then we can take advantage of the formula for a difference of squares:
EXAMPLE 16 Rationalize the numerator in the expression .
SOLUTION We multiply the numerator and the denominator by the conjugate radical :
Exponents
Let be any positive number and let be a positive integer. Then, by definition,
1.
n factors 2.
3.
4.
Laws of Exponents Let and be positive numbers and let and be any rational numbers (that is, ratios of integers). Then
1. 2. 3.
4. 5.
In words, these five laws can be stated as follows:
1. To multiply two powers of the same number, we add the exponents.
2. To divide two powers of the same number, we subtract the exponents.
3. To raise a power to a new power, we multiply the exponents.
4. To raise a product to a power, we raise each factor to the power.
5. To raise a quotient to a power, we raise both numerator and denominator to the power.
abr abrr b 0abr arbr
ars ars ar
as ars ar as ars
s r b
11 a
am n snam
(
sna)
m m is any integer a1 n snaan 1 an a0 1
an a a a
n a
x
x
(
sx 4 2)
1 sx 4 2 sx 4 2
x
sx 4 2x ssxx 4 2 4 2 x 4 4 x(
sx 4 2)
sx 4 2
sx 4 2 x
(
sa sb)(
sa sb)
(
sa)
2(
sb)
2 a b sa sbsa sb
REVIEW OF ALGEBRA ◆ 9
Click here for answers.
A
10 ■ REVIEW OF ALGEBRA
EXAMPLE 17 (a)
(b)
(c) Alternative solution:
(d)
(e)
xy3yz2x4 yx33 yz8x44 x7y5z41 s3x4 1
x4 3 x4 3
43 2
(
s4)
3 23 8 43 2 s43 s64 8y xy x
xyy x y x xy x2 y2
x1 y1 1 x2 1
y2 1 x 1
y
y2 x2 x2y2 y x
xy
y2 x2 x2y2 xy
y x 28 82 28 232 28 26 214
27. 28.
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
29–48 ■ Factor the expression.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
49–54 ■ Simplify the expression.
49. 50.
51. 52.
53. 1
x 3 1 x2 9
x3 5x2 6x x2 x 12 x2 1
x2 9x 8
2x2 3x 2 x2 4 x2 x 2
x2 3x 2
x3 3x2 4x 12 x3 5x2 2x 24
x3 2x2 23x 60 x3 3x2 x 3
x3 4x2 5x 2 x3 2x2 x
x3 27 4t2 12t 9
4t2 9s2 t3 1
x2 10x 25 6x2 5x 6
8x2 10x 3 9x2 36
2x2 7x 4 x2 2x 8
x2 x 6 x2 7x 6
5ab 8abc 2x 12x3
1 1
1 1
1 x
1 1
c 1
1 1
c 1 1–16 ■ Expand and simplify.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7.
8.
9. 10.
11. 12.
13.
14.
15. 16.
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
17–28 ■ Perform the indicated operations and simplify.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26. a
bc b
2rs 6ts2 acx y z x y
z
2 a2 3
ab 4 b2 u 1 u
u 1
1
x 1 1 x 1 1
x 5 2 x 3
9b 6 3b 2 8x
2
1 x x22
1 2xx2 3x 1
t 52 2t 38t 1
y46 y5 y
2 3x2
2x 12
xx 1x 2
4x 13x 7
53t 4 t2 2 2tt 3
4x2 x 2 5x2 2x 1
8 4 x
24 3a
4 3xx 2xx 5
2x2yxy4
6ab0.5ac
Exercises ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
REVIEW OF ALGEBRA ◆ 11
85. 86.
87. 88.
89. 90.
91. 92.
93. 94.
95. 96.
97. 98.
99. 100.
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
101–108 ■ Rationalize the expression.
101. 102.
103. 104.
105. 106.
107. 108.
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
109–116 ■ State whether or not the equation is true for all values of the variable.
109. 110.
111. 112.
113. 114.
115.
116.
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
6 4x a 6 4x 4a
x34 x7
2 4 x 1
2 2 x x
x y 1 1 y
1
x1 y1 x y 16 a
16 1 a 16
sx2 4
x
2
sx2 x
sx2 x sx2 x sx2 3x 4 x
1 sx sy 2
3 s5
s2 h s2 h h x sx 8
x 4
(
1 sx)
1 x 1 sx 3x 9
s4r2n1 s4r1
4 t1 2s2s 3stsx5 s4x3 1 8
(
st)
5(
s4a)
3s5y6
x5y3z103 5
2x2y43 2
644 3 1252 3
961 5 31 2
x1 y1
x y1 a3b4
a5b5
an a2 n1 an2 x92x4
x3 54.
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
55–60 ■ Complete the square.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
61–68 ■ Solve the equation.
61. 62.
63. 64.
65. 66.
67. 68.
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
69–72 ■ Which of the quadratics are irreducible?
69. 70.
71. 72.
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
73–76 ■ Use the Binomial Theorem to expand the expression.
73. 74.
75. 76.
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
77–82 ■ Simplify the radicals.
77. 78. 79.
80. 81. 82.
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
83–100 ■ Use the Laws of Exponents to rewrite and simplify the expression.
83. 310 98 84. 216 410 166 s596a6
s53a s16a4b3
sxy sx3y
s432x4 s42 s32
s354 s32 s2
3 x25
x2 14
a b7
a b6
x2 3x 6 3x2 x 6
2x2 9x 4 2x2 3x 4
x3 3x2 x 1 0 x3 2x 1 0
2x2 7x 2 0 3x2 5x 1 0
x2 2x 7 0 x2 9x 1 0
x2 2x 8 0 x2 9x 10 0
3x2 24x 50 4x2 4x 2
x2 3x 1 x2 5x 10
x2 16x 80 x2 2x 5
x
x2 x 2 2 x2 5x 4
