Inverse functies Horizontale lijntest

(1)

Inverse functies

Horizontale lijntest

Een functie is injectief als als elkehorizontalelijn haar grafiek ten hoogste ´e´en keer snijdt.

Als f : A → B een bijectieve functie is dan bestaat er een functie g : B → A met de eigenschap dat

f (x) = y ⇐⇒ g(y) = x.

De functie g wordt de inverse van f genoemd en genoteerd als f⁻¹. Dus

f (x) = y ⇐⇒ f⁻¹(y) = x.

(2)

Er geldt f⁻¹(f (x)) = x voor alle x ∈ A en f (f⁻¹(y)) = y voor alle y ∈ B.

September 18, 2008 6

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

(3)

De arcsinus

f (x) = sin(x)en f⁻¹(x) = arcsin(x).

(4)

De arccosinus

f (x) = cos(x)en f⁻¹(x) = arccos(x).

(5)

De arctangens

f (x) = tan(x)en f⁻¹(x) = arctan(x).

(6)

De inversen van de exponenti¨ ele functies

𝑓 (𝑥) = 2^𝑥

𝑓⁻¹(𝑥) = log₂(𝑥)

𝑦 = 2^𝑥⇐⇒ 𝑥 = log₂(𝑦)

(7)

𝑦 = 𝑎^𝑥⇐⇒ 𝑥 = log_𝑎(𝑦)

Is 𝑎 = 𝑒 dan wordt log_𝑎(𝑥) meestal genoteerd als ln(𝑥).

Dus𝑦 = 𝑒^𝑥⇐⇒ 𝑥 = ln(𝑦)

(8)

Eigenschappen van logaritmische functies

Laat 𝑎 ∈ ℝ⁺ en laat 𝑟 ∈ ℝ.

log_𝑎(𝑥 ⋅ 𝑦) = log_𝑎(𝑥) + log_𝑎(𝑦) voor alle 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ⁺. log_𝑎( 𝑥

𝑦 )

= log_𝑎(𝑥) − log_𝑎(𝑦) voor alle 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ⁺. log_𝑎(𝑥^𝑟) = 𝑟 ⋅ log_𝑎(𝑥) voor alle 𝑥 ∈ ℝ⁺.

En dus ook

ln(𝑥 ⋅ 𝑦) = ln(𝑥) + ln(𝑦) voor alle 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ⁺. ln( 𝑥

𝑦 )

= ln(𝑥) − ln(𝑦) voor alle 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ⁺. ln(𝑥^𝑟) = 𝑟 ⋅ ln(𝑥) voor alle 𝑥 ∈ ℝ⁺.

(9)

Tenslotte

log_𝑎(𝑥) = ln(𝑥)

ln(𝑎) voor alle 𝑥 ∈ ℝ⁺.

Verder wordt veel gebruik gemaakt van ln(𝑒^𝑥) = 𝑥 voor 𝑥 ∈ ℝ.

𝑒^{ln 𝑥} = 𝑥 voor alle 𝑥 ∈ ℝ⁺. log_𝑎(1) = 0

log_𝑎(𝑎) = 1

Dit wordt met 𝑎 = 𝑒 ln(1) = 0

ln(𝑒) = 1

(10)

De hyperbolische functies

𝑓 (𝑥) = 𝑒^𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑒^−𝑥 ℎ(𝑥) = 𝑒^𝑥 + 𝑒^−𝑥

2

ℎ heet de cosinushyperbolicus, ℎ(𝑥) = cosh(𝑥).

(11)

De hyperbolische functies

𝑓 (𝑥) = 𝑒^𝑥 𝑔(𝑥) = −𝑒^−𝑥 ℎ(𝑥) = 𝑒^𝑥 − 𝑒^−𝑥

2

ℎ heet de sinushyperbolicus, ℎ(𝑥) = sinh(𝑥).

(12)

De hyperbolische functies

𝑓 (𝑥) = 𝑒^𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑒^−𝑥 ℎ(𝑥) = 𝑒^𝑥 − 𝑒^−𝑥

𝑒^𝑥 + 𝑒^−𝑥

ℎ heet de tangenshyperbolicus, ℎ(𝑥) = tanh(𝑥).

(13)

Belangrijke formules

(cosh 𝑥)² − (sinh 𝑥)² = 1

cosh(𝑥 + 𝑦) = cosh 𝑥 cosh 𝑦 + sinh 𝑥 sinh 𝑦 sinh(𝑥 + 𝑦) = sinh 𝑥 cosh 𝑦 + cosh 𝑥 sinh 𝑦

(14)

Analyse

Deel 2

I.A.M. Goddijn

TUDelft

September 21, 2009

(15)

Het onderzoeken van functies

Limieten Continu¨ıteit

Diﬀerentieerbaarheid Integratietechnieken Diﬀerentiaalvergelijkingen

(16)

Limieten

‘De limiet voor 𝑥 nadert naar 𝑎 van 𝑓 (𝑥) is 𝐿’ wordt genoteerd als

𝑥→𝑎lim𝑓 (𝑥) = 𝐿

Maar wat betekent dit eigenlijk ?

De functie 𝑓 is gedeﬁnieerd op een open interval rond 𝑎 met uitzondering van eventueel het punt 𝑎 zelf.

(We kunnen aannemen dat dit interval symmetrisch is.)

En verder moet voor alle 𝑥 met een ‘kleine’ afstand tot 𝑎 (𝑥 ∕= 𝑎) gelden dat de afstand van 𝑓 (𝑥) tot 𝐿 ‘klein’ is.

(17)

Wat betekent het nu dat voor alle 𝑥 met een ‘kleine’ afstand tot 𝑎 (𝑥 ∕= 𝑎) geldt dat de afstand van 𝑓 (𝑥) tot 𝐿 ‘klein’ is ?

Voor alle 𝑥 met 0 < ∣𝑥 − 𝑎∣ ’klein’ is ∣𝑓 (𝑥) − 𝐿∣ ‘klein’.

De wiskundige deﬁnitie van limiet is tenslotte :

Bij elke 𝜖 > 0 bestaat een 𝛿 > 0 zodat voor alle 𝑥 met 0 < ∣𝑥 − 𝑎∣ < 𝛿 geldt dat ∣𝑓 (𝑥) − 𝐿∣ < 𝜖.

(18)

Eigenschappen

Laat lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝐿 en lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑀, 𝑐 ∈ ℝ.

Dan geldt

𝑥→𝑎lim𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) + lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝐿 + 𝑀 .

𝑥→𝑎lim𝑐 ⋅ 𝑓 (𝑥) = 𝑐 ⋅ lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝑐 ⋅ 𝐿.

𝑥→𝑎lim𝑓 (𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) ⋅ lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝐿 ⋅ 𝑀 .

𝑥→𝑎lim 𝑓 (𝑥) 𝑔(𝑥) =

𝑥→𝑎lim𝑓 (𝑥)

𝑥→𝑎lim𝑔(𝑥) = 𝐿

𝑀 mits 𝑀 ∕= 0.

(19)

Rechterlimieten

‘De limiet voor 𝑥 nadert van rechts naar 𝑎 van 𝑓 (𝑥) is 𝐿’ wordt genoteerd als

lim

𝑥→𝑎⁺𝑓 (𝑥) = 𝐿

De functie 𝑓 is gedeﬁnieerd op een (open) interval rechts van 𝑎 met uitzondering van eventueel het punt 𝑎 zelf.

En verder moet alle 𝑥 met een ‘kleine’ afstand tot 𝑎 (𝑥 > 𝑎) gelden dat de afstand van 𝑓 (𝑥) tot 𝐿 ‘klein’ is.

(20)

Wat betekent het nu dat voor alle 𝑥 met een ‘kleine’ afstand tot 𝑎 (𝑥 > 𝑎) geldt dat de afstand van 𝑓 (𝑥) tot 𝐿 ‘klein’ is ?

Voor alle 𝑥 met 0 < 𝑥 − 𝑎 ‘klein’ is ∣𝑓 (𝑥) − 𝐿∣ ‘klein’.

De wiskundige deﬁnitie van rechterlimiet is tenslotte : Bij elke 𝜖 > 0 bestaat een 𝛿 > 0 zodat voor alle 𝑥 met 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 geldt dat ∣𝑓 (𝑥) − 𝐿∣ < 𝜖.

(21)

Het zal duidelijk zijn dat op analoge wijze een linkerlimiet kan worden gedeﬁnieerd.

Er geldt lim

𝑥→𝑎⁺𝑓 (𝑥) = 𝐿 en lim

𝑥→𝑎⁻𝑓 (𝑥) = 𝐿 ⇐⇒ lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝐿

Andere notaties lim

𝑥→𝑎⁺𝑓 (𝑥) wordt ook genoteerd als lim

𝑥↓𝑎𝑓 (𝑥) en lim

𝑥→𝑎⁻𝑓 (𝑥) wordt ook genoteerd als lim

𝑥↑𝑎𝑓 (𝑥).

(22)

De insluitstelling

Laat 𝐼 een open interval zijn en laten de functies 𝑓, 𝑔 en ℎ gedeﬁnieerd zijn op 𝐼∖{𝑎}.

Laat verder 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓 (𝑥) ≤ ℎ(𝑥) voor 𝑥 ∈ 𝐼∖{𝑎} en

𝑥→𝑎lim𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑎ℎ(𝑥) = 𝐿.

Dan geldt lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝐿.

Toepassing

𝑥→0lim sin 𝑥

𝑥 = 1

(23)

𝑂 𝐴 𝐵

𝐶

𝑥

1

tan 𝑥

opp(△𝑂𝐴𝐵) ≤ opp(cirkelsegment 𝑂𝐴𝐵) 1 sin 𝑥

2 ≤ 𝑥

2 𝜋𝜋 1²

⇔ sin 𝑥 𝑥 ≤ 1.

opp(cirkelsegment 𝑂𝐴𝐵) ≤ opp(△𝑂𝐴𝐶) 𝑥

2 𝜋𝜋 1²≤ 1 tan 𝑥 2

⇔ cos 𝑥 ≤ sin 𝑥 𝑥 . Dus cos 𝑥 ≤ sin 𝑥

𝑥 ≤ 1

⇔ 1 = lim

𝑥→0⁺cos 𝑥 ≤ lim

𝑥→0⁺

sin 𝑥 𝑥 ≤ 1 zodat lim

𝑥→0⁺

sin 𝑥 𝑥 = 1.

(24)

Omdat lim

𝑥→0⁻

sin 𝑥

𝑥 = lim

𝑥→0⁻

sin −𝑥

−𝑥 = lim

𝑦→0⁺

sin 𝑦 𝑦 = 1 is lim

𝑥→0

sin 𝑥 𝑥 = 1.

𝑦 = −𝑥

(25)

Limieten (vervolg)

‘De limiet voor 𝑥 nadert naar 𝑎 van 𝑓 (𝑥) is ∞’ wordt genoteerd als

𝑥→𝑎lim𝑓 (𝑥) = ∞

De functie 𝑓 is gedeﬁnieerd op een open interval rond 𝑎 met uitzondering van eventueel het punt 𝑎 zelf.

(We kunnen aannemen dat dit interval symmetrisch is.)

En verder moet voor alle 𝑥 met een ‘kleine’ afstand tot 𝑎 (𝑥 ∕= 𝑎) gelden dat 𝑓 (𝑥) ‘groot’ is.

(26)

Wat betekent het nu dat voor alle 𝑥 met een ‘kleine’ afstand tot 𝑎 (𝑥 ∕= 𝑎) geldt dat 𝑓 (𝑥) ‘groot’ is ?

Voor alle 𝑥 met 0 < ∣𝑥 − 𝑎∣ ‘klein’ is 𝑓 (𝑥) ‘groot’.

Bij elke 𝑀 > 0 bestaat een 𝛿 > 0 zodat voor alle 𝑥 met 0 < ∣𝑥 − 𝑎∣ < 𝛿 geldt dat 𝑓 (𝑥) > 𝑀 .

(27)

Het zal duidelijk zijn dat analoog lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = −∞ kan worden gedeﬁnieerd evenals linker- en rechterlimieten.

We noemen de lijn met als vergelijking 𝑥 = 𝑎 eenvertikale asymptootvan de graﬁek van 𝑓 .

(28)

Continu¨ıteit

Deﬁnities

Een functie 𝑓 heetcontinuin 𝑎 als lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) bestaat en gelijk is aan 𝑓 (𝑎).

Een functie 𝑓 heetrechtscontinuin 𝑎 als lim

𝑥→𝑎⁺𝑓 (𝑥) bestaat en gelijk is aan 𝑓 (𝑎).

Een functie 𝑓 heetlinkscontinu in 𝑎 als lim

𝑥→𝑎⁻𝑓 (𝑥) bestaat en gelijk is aan 𝑓 (𝑎).

(29)

Natuurlijk geldt dat een functie 𝑓 continu is in 𝑎 dan en slechts dan als 𝑓 zowel rechts- als linkscontinu is in 𝑎.

(30)

Eigenschappen

Laten 𝑓, 𝑔 : 𝐴 → ℝ continu zijn in 𝑎 ∈ 𝐴 en 𝑐 ∈ ℝ.

Dan zijn de functies 𝑓 + 𝑔, 𝑐 ⋅ 𝑓 en 𝑓 ⋅ 𝑔 continu in 𝑎.

De functie 𝑓

𝑔 is continu in 𝑎 als 𝑔(𝑎) ∕= 0.

Een functie 𝑓 : 𝐴 → ℝ heet continuop𝐴 als f continu is in elk inwendigpunt van 𝐴 en rechts-en linkscontinu in de eventuele randpunten van 𝐴.

Alle machtsfuncties, polynomiale functies, rationale functies, trigoniometrische functies , exponenti¨ele functies en hun eventuele inverse functies zijn continu op hun domein.

(31)

Als 𝐴 een interval is en 𝑓 is continu op haar domein dan kan de graﬁek van 𝑓 worden getekend ‘zonder de pen van het papier te halen’.

Als lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑏 en 𝑓 is continu in b dan

𝑥→𝑎lim(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓 ( lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥)) = 𝑓 (𝑏).

Hieruit volgt dat als 𝑔 continu is in 𝑎 en 𝑓 is continu in 𝑔(𝑎) dan is 𝑓 ∘ 𝑔 continu in 𝑎.

𝑥→𝑎lim(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓 ( lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥)) = 𝑓 (𝑔(𝑎)) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑎).

(32)

De tussenwaardestelling

Als 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → ℝ continu is op haar domein en 𝑓 (𝑎) ∕= 𝑓 (𝑏), 𝑓_𝑚𝑖𝑛 = min{𝑓 (𝑎), 𝑓 (𝑏)} en 𝑓_𝑚𝑎𝑥 = max{𝑓 (𝑎), 𝑓 (𝑏)}, dan bestaat er bij elke 𝑓_𝑚𝑖𝑛 < 𝑑 < 𝑓_𝑚𝑎𝑥 een 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) zodat 𝑓 (𝑐) = 𝑑.

(33)

‘De limiet voor 𝑥 nadert naar ∞ van 𝑓 (𝑥) is 𝐿’ wordt genoteerd als

𝑥→∞lim 𝑓 (𝑥) = 𝐿

De functie 𝑓 is gedeﬁnieerd op een interval (𝑎, ∞) voor zekere 𝑎 ∈ ℝ.

En verder moet gelden dat hoe ‘groter’ 𝑥 des te ‘kleiner’ is de afstand van 𝑓 (𝑥) tot 𝐿.

(34)

Wat betekent het nu dat hoe ‘groter’ 𝑥 is des te ‘kleiner’ is de afstand van 𝑓 (𝑥) tot 𝐿 ?

Voor alle 𝑥 met 𝑥 ‘groot’ is ∣𝑓 (𝑥) − 𝐿∣ ‘klein’.

Bij elke 𝜖 > 0 bestaat een 𝑁 > 0 zodat voor alle 𝑥 met 𝑥 > 𝑁 geldt dat ∣𝑓 (𝑥) − 𝐿∣ < 𝜖.

(35)

Analoog kan natuurlijk lim

𝑥→−∞𝑓 (𝑥) = 𝐿 worden gedeﬁnieerd.

We noemen de lijn met als vergelijking 𝑦 = 𝐿 eenhorizontale asymptootvan de graﬁek van 𝑓 .

Bij het onderzoek of de graﬁek van een functie 𝑓 een horizontale asymptoot heeft wordt vaak gebruik gemaakt van de limieten

𝑥→∞lim 1 𝑥^𝑟 = 0

𝑥→−∞lim 1 𝑥^𝑟 = 0

𝑟 > 0 is hierbij een rationale expo- nent waarvoor de limiet betekenis heeft.

(36)

Differentieerbaarheid

Definitie Als lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h bestaat en gelijk is aan L

dan heet de functie f differentieerbaar in a en L deafgeleide van f in a.

Notatie f⁰(a) = L Dus f⁰(a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h .

Opmerking

Er geldt ook dat f⁰(a) = lim

x→a

f (x) − f (a) x − a .