Zij E ⊆ Rn en f : E → R

OPGAVEN BIJ ANALYSE 2015, EXTREMA (21)

Resultaten Definitie. Zij E ⊆ Rⁿ en f : E → R. Laat a ∈ ~E.

• We zeggen dat f een lokaal maximum in ~a ∈ E heeft als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor ~x ∈ B(~a, δ).

• We noemen ~a een absoluut maximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E.

Anders heet ~a relatief.

• We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor ~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a. Anders heet ~a zwak.

• Het punt ~a kan een inwendig maximum (~a ∈ E^◦) of een rand maximum (~a ∈ ∂E) zijn.

Definitie. Zij E ⊆ Rⁿ en f : E → R differentieerbaar. Een punt ~a ∈ E met f⁰(~a) = ~0 heet een stationair punt van f .

Stelling. Zij E ⊆ R² en f : E → R een C² functie. Laat ~a een stationair punt en H_f(~a) =D₁₁f (~a) D₁₂f (~a)

D₁₂f (~a) D₂₂f (~a)



de Hessiaan van f in ~a. Stel dat ~h^>Hf(~a)~h > 0 voor alle ~h 6= 0 (d.w.z. Hf(~a) is positief definitief). Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.

Lemma. Een symmetrische matrix A is positief definitief dan en slechts dan als alle eigenwaarden van A positief zijn.

Opgaven

Opgave 1. Bepaal van elk van de volgende functies f : R²→ R de lokale extrema.

Bepaal voor elk lokaal extremum of deze (i) sterk of zwak is en (ii) absoluut of relatief is.

(a) f (x, y) = (3 − x)(3 − y)(3 − x − y) (b) f (x, y) = x³− 3xy²

(c) f (x, y) = (y − 1)(x²− y)² (d) f (x, y) = 1 + x + y + x²− y² (e) f (x, y) = x⁴+ y⁴− 4xy (f) f (x, y) = (y²− 1)(x²− y²)

Opgave 2. Bekijk de functie f (x, y) = x⁴+ y⁴+ 2x³.

(a) Laat zien dat ~0 een stationair punt is. Vind het andere stationaire punt ~x1. (b) Bewijs dat (0, 0) een zadelpunt is.

(c) Hoe zien de niveaukrommen f (x, y) = c eruit?

(d) Bewijs dat ~x1een lokaal minimum is.