OPGAVEN BIJ ANALYSE 2015, STELLING VAN TAYLOR (19)
Resultaten
Stelling (Taylor 1). Laat E ⊆ Rn en f : E → R een Cp-functie. Voor ~a ∈ E geldt
f (~a + ~h) =
p−1
X
k=0
1 k!
n
X
j1,...,jk=1
(Dj1···jkf )(~a)hj1· · · hjk
+ Rp(~h),
waar er θ ∈ (0, 1) bestaat zodat
Rp(~h) = 1 p!
n
X
j1,...,jp=1
(Dj1···jpf )(~a + θ~h)hj1· · · hjp.
Stelling (Taylor 2). Zij f : E → R een Cp-functie en a ∈ E. Dan geldt
f (~a + ~h) = X
k1+···+kn≤p−1
Dk11· · · Dnknf(~a)
k1! · · · kn! hk11· · · hknn+ O(k~hkp).
Opgaven
Opgave 1. Geef het Taylorpolynoom van graad 3 in het punt (0, 0, 1) van de functies f : R3→ R gegeven door
(a) f (x, y, z) = xyz
(b) f (x, y, z) = x2cos y − ezsin(x + y)
Controleer je antwoord aan de hand van beide varianten van de Stelling van Taylor.
Opgave 2. Voor de volgende functies f : R2 → R en punten ~a ∈ R2, bepaal een polynoom P met maximaal graad 2 zo dat f (~x) = P (~x) + O(k~x − ~ak3).
(a) f (x, y) = x2y met a = (1, −1) (b) f (x, y) = exsin y met a = (0, 0) (c) f (x, y) =p
1 + x2+ y2met a = (0, 0) (d) f (x, y) = 1/(1 − x + y) met a = (1, 1).
Opgave 3. Zij f : R2→ R gegeven door f(x, y) = e−x2 +y21 voor (x, y) 6= (0, 0) en f (0, 0) = 0. Bewijs dat f een C∞-functie is op R2. Bepaal het Taylorpolynoom van f van orde n.
Opgave 4. Zij f : R → R een Cp functie. Volgens Taylor geldt
f (a + h) =
p−1
X
k=0
f(k)(a)
k! hp+ O(hp).
Gebruik de precieze vorm van de restterm om te bewijzen dat zelfs geldt
f (a + h) =
p
X
k=0
f(k)(a)
k! hp+ o(hp).
Opgave 5. Generaliseer dit naar Rn: bewijs dat voor een Cp-functie f : Rn → R geldt
f (~a + ~h) =
p
X
k=0
1 k!
n
X
j1,...,jk=1
(Dj1···jkf )(~a)hj1· · · hjk
+ o(k~hkp).
