OPGAVEN BIJ ANALYSE 2015, EXTREMA (22)
Resultaten Definitie. Zij E ⊆ Rn en f : E → R. Laat a ∈ ~E.
• We zeggen dat f een lokaal maximum in ~a ∈ E heeft als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor ~x ∈ B(~a, δ).
• We noemen ~a een absoluut maximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E.
Anders heet ~a relatief.
• We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor ~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a. Anders heet ~a zwak.
• Het punt ~a kan een inwendig maximum (~a ∈ E◦) of een rand maximum (~a ∈ ∂E) zijn.
Definitie. Zij E ⊆ Rn en f : E → R differentieerbaar. Een punt ~a ∈ E met f0(~a) = ~0 heet een stationair punt van f .
Stelling. Zij E ⊆ R2 en f : E → R een C2 functie. Laat ~a een stationair punt en Hf(~a) =D11f (~a) D12f (~a)
D12f (~a) D22f (~a)
de Hessiaan van f in ~a. Stel dat ~h>Hf(~a)~h > 0 voor alle ~h 6= 0 (d.w.z. Hf(~a) is positief definitief). Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Lemma. Een symmetrische matrix A is positief definitief dan en slechts dan als alle eigenwaarden van A positief zijn.
Opgaven
Opgave 1. Bepaal van elk van de volgende functies f : E → R de lokale extrema op de gegeven verzameling E ⊆ R2. Bepaal voor elk lokaal extremum of deze (i) sterk of zwak is en (ii) absoluut of relatief is.
(a) f (x, y) = 2x4− 3x2y + y op E = {(x, y) : 4x2+ y ≤ 4}
(b) f (x, y) = x2− x + 2y2 op E = {(x, y) : x2+ y2≤ 1}
(c) f (x, y) = (x2− y2)e−x2−y2 op E = {(x, y) : x2+ y2≤ 4}
(d) f (x, y) = (x2− 1)(y2− 1)(x2+ y2− 1) op E = {(x, y) : x2+ y2≤ 2}
(e) f (x, y) = x5− (x2+ x3)y + y2 op E = [−1, 1] × [0, 1]
(f) f (x, y) = x4+ 9y4 op E = {(x, y) : x2+ 4y2≤ 1}
(g) f (x, y) = 2x2− 3y2− 2x +12 op E = {(x, y) : x2+ y2≤ 1}
(h) f (x, y) = x4− x2y2− 2x2+ 2y2 op E = {(x, y) : x2+ y2≤ 4}
(i) f (x, y) = x2y2+ 2xy2+ y4 op E = [−2, 2] × [−2, 2]
Opgave 2. Zij f : [0, 1]2→ R een differentieerbare functie. Definieer g(t) = f(0, t) en stel dat g een maximum heeft in t0∈ (0, 1).
(a) Bewijs dat D2f (0, t0) = 0.
(b) Stel dat D1f (0, t0) < 0. Volgt nu dat (0, t0) een maximum is van f ? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
(c) Wat weten we over de aard van (0, t0) als D1f (0, t0) > 0?
(d) Stel nu dat t = 0 een maximum is van g. Stel dat D1f (0, 0) < 0 en D2f (0, 0) < 0. Bewijs dat (0, 0) een maximum is van f .
