Definitie
Veronderstel dat f : [a, b] → R continu is.
Laat a = x0 < x1 < x2< · · · < xn−1< xn een partitie P van [a, b] zijn.
Kies in ieder deelinterval [xk−1, xk] een willekeurig steun- punt ξk en laat ∆xk = xk − xk−1.
Dan heet
n
X
k=1
f (ξk)∆xk een Riemannsom bij f .
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
September 15, 2011 1
Bernhard Riemann (1826-1866) Laat MP = max
1≤i≤n∆xi de maaswijdte van een partitie P zijn.
Wanneer lim
MP→0 n
X
k=1
f (ξk)∆xk bestaat onafhankelijk van de keuze van de partities en de steunpunten heet f Riemann-
integreerbaar over [a, b].
Als lim
MP→0 n
X
k=1
f (ξk)∆xk = L onafhankelijk van de keuze van de partities en de steunpunten dan heet L de Riemann- integraal van f over [a, b].
Notatie Z b
a
f (x) dx = L
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
September 15, 2011 3
Stelling
Als f continu is op [a, b] dan is f Riemannintegreerbaar over [a, b].
Gevolg (Gelijkheden)
Als f en g continu zijn op [a, b] en c ∈ R dan zijn f + g en c · f continu op [a, b] dus Riemannintegreerbaar over [a, b] en
1.
Z b a
(f + g)(x) dx = Z b
a
f (x) dx + Z b
a
g(x) dx, 2.
Z b a
(c · f )(x) dx = c · Z b
a
f (x) dx, 3.
Z a a
f (x) dx = 0.
Verder geldt 4.
Z a b
f (x) dx = − Z b
a
f (x) dx, 5.
Z d a
f (x) dx + Z b
d
f (x) dx = Z b
a
f (x) dx
(mits f continu is op de intervallen waarover wordt ge¨ıntegreerd.).
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
September 15, 2011 5
Ongelijkheden
Laten f en g continu zijn op [a, b].
1. Als f (x) ≥ 0 dan Z b
a
f (x) dx ≥ 0.
2. Als f (x) ≥ g(x) voor x ∈ [a, b] dan Z b
a
f (x) dx ≥ Z b
a
g(x) dx.
3. Als m ≤ f (x) ≤ M voor x ∈ [a, b] dan m(b − a) ≤
Z b a
f (x) dx ≤ M (b − a).
4. Dan is |f | continu op [a, b] en
Z b a
f (x) dx
≤ Z b
a
|f (x)| dx.
Definitie
Laat f continu zijn op [a, b] met a < b.
1 b − a
Z b a
f (x) dx heet de gemiddelde functiewaarde van f over [a, b].
Notatie f
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
September 15, 2011 7
Vraag
Het ligt niet voor de hand met behulp van Riemannsommen Riemannintegralen uit te rekenen. Dat is nogal veel werk.
Dit wordt eenvoudiger door gebruik te maken van de hoofdstelling van de integraalrekening.
Definitie
Laat f een continue functie zijn op een open interval I.
F : I → R heet een primitieve van f op I als
F differentieerbaar op I en F0(x) = f (x) voor x ∈ I.
f (x) F (x)
xn (n ∈ R\{−1}) 1
n + 1xn+1
ex ex
sin x − cos x
cos x sin x
1
x (x 6= 0) ln |x|
f (x) F (x)
sinh x cosh x cosh x sinh x
F is een primitieve van f !
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
September 15, 2011 9
Hoofdstelling van de integraalrekening (deel 1) Laat f een continue functie zijn op een open interval I.
Kies a ∈ I vast en definieer F : I → R door F (x) =
Z x a
f (t) dt.
Dan is F een primitieve van f op I, dat wil zeggen:
F0(x) = f (x) voor x ∈ I.
Hoofdstelling van de integraalrekening (deel 2) Laat f een continue functie zijn op een open interval I.
Als F en G primitieven zijn van f op I dan G(x) = F (x) + c voor alle x ∈ I en zekere c ∈ R.
Gevolg
Als G een willekeurige primitieve is van f op [a, b] dan Z b
a
f (t) dt = G(b) − G(a).
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
September 15, 2011 11
Notaties
Laat f een continue functie zijn op een open interval I.
De verzameling van alle primitieven van f noteren we als Z
f (x) dx.
Is F een primitieve van f dan schrijven we Z
f (x) dx = F (x) + c (c ∈ R).
Definities Z b
a
f (x) dx heet een bepaalde integraal en Z
f (x) dx een onbepaalde integraal.
Gevolg van de hoofdstelling
Laat f een continue functie zijn op [a, b] en
g een continue functie op [c, d], differentieerbaar op (c, d).
Laat verder g((c, d)) ⊂ [a, b].
Dan d dx
Z g(x) a
f (t) dt = f (g(x))g0(x).
Als g, h een continue functies zijn op [c, d], differentieerbaar op (c, d) en g((c, d)) ⊂ [a, b], h((c, d)) ⊂ [a, b] dan
d dx
Z g(x) h(x)
f (t) dt = f (g(x))g0(x) − f (h(x))h0(x).
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
September 15, 2011 13
