We zeggen dat f continu differentieerbaar is op E als f0: E → Lin(Rk, R`) continu is

OPGAVEN BIJ ANALYSE 2015, DIFFERENTI ¨EREN IN Rⁿ (17)

Resultaten

Definitie. De operatornorm van een lineaire afbeelding L : V → W tussen genor- meerde vectorruimtes is gedefinieerd als kLk := sup_v6=0 ^kLvk_kvk = sup_kvk=1kLvk.

Definitie. Zij E ⊆ R^k open en f : E → R^{`</sup>een differentieerbare functie. We zeggen dat f continu differentieerbaar is op E als f<sup>0</sup>: E → Lin(R<sup>k</sup>, R<sup>`}) continu is.

Stelling (8.30). Zij E ⊆ R^kopen en f : E → R^`. Dan is f continu differentieerbaar op E desda alle parti¨ele afgeleides van f bestaan en continu zijn op E.

Opgaven Opgave 1. Zij L : Rⁿ→ R^m een lineaire afbeelding.

(a) Bewijs dat kLk = 1 als L orthogonaal is.

(b) Stel dat n = m en dat L symmetrisch is met eigenwaarden λ₁, . . . , λ_n. Bewijs dat kLk = max_j|λj|.

Opgave 2. Zij f : R → Rⁿ een functie, dus f = (f1, . . . , fn)^> waar fi: R → R.

(1) Bewijs dat f differentieerbaar is in a ∈ R desda alle fⁱ dat zijn.

(2) Bewijs dat f continu differentieerbaar is op E ⊆ R desda alle fⁱ dat zijn.

Opgave 3. Bekijk de volgende functies f : R²→ R met f(0, 0) = 0:

(a) f (x, y) = x³ x²+ y² (b) f (x, y) = x⁴

x²+ y²

(c) f (x, y) = x²y x²+ y⁴ (d) f (x, y) = x³

x²+ y⁴ Beantwoord voor elk van deze functies de volgende vragen:

(i) Is f continu in ~0?

(ii) Bestaan de parti¨ele afgeleiden Dif in ~0?

(iii) Voor elke ~u ∈ R² bestaat de richtingsafgeleide D_~u(~0)?

(iv) Is f differentieerbaar in ~0?

(v) Is f een C¹-functie?

Opgave 4. Bekijk f : R²→ R gegeven door

f (x, y) =







log(1 + x²y²)

x² , als x 6= 0

y² als x = 0.

Toon aan dat f een C¹functie is en bereken f⁰. Opgave 5.

(a) Bewijs dat f : Rⁿ→ R gegeven door f(~x) = k~xk differentieerbaar is buiten ~0 en niet differentieerbaar is in ~0. Bewijs ook dat f⁰(~a) = ~a/k~ak.

(b) Bekijk f (~x) = k~xk². Bereken f⁰(~a).

(c) Zij f : Rⁿ→ R een functie zodat kf(~x)k ≤ Ck~xk² voor zekere C > 0. Toon aan dat f differentieerbaar is in ~0. Wat is f⁰(~0)?

Opgaven bij het bewijs van Stelling 8.30

Opgave 6. Bewijs dat de functie gj: R → R gedefinieerd in het bewijs (zie slides of video) differentieerbaar is rond 0 met g⁰_j(t) = Djf (~a + ~vj−1+ t~ej).

Opgave 7. Bewijs dat de vector ~xj gedefinieerd in het bewijs (zie slides of video) voldoet aan k~xj− ~ak ≤ k~hk.