OPGAVEN BIJ ANALYSE 2015, KETTINGREGEL EN MEER (18)
Resultaten
Stelling (Kettingregel). Zij f differentieerbaar in ~a en g differentieerbaar in f (~a).
Dan is g ◦ f differentieerbaar in ~a met (g ◦ f )0(~a) = g0 f (~a)f0(~a).
Stelling (Volgorde van afgeleides). Zij f : E → R een C2-functie en (a, b) ∈ E.
Dan geldt D12f (a, b) = D21f (a, b).
Stelling (Afgeleide en integraal). Zij f : I1× I2→ R een C1 functie, waar I1, I2⊆ R intervallen zijn. Neem [a, b] ⊆ I2 en definieer F (x) =Rb
af (x, y) dy voor x ∈ I1. Dan is F differentieerbaar op I1 met F0(x) =Rb
aD1f (x, y) dy.
Opgaven Opgave 1.
(a) Definieer f : R → R2 gegeven door f (x) = (x2, x − 3) en g : R2→ R gegeven door g(x, y) = x2+ xy + y2. Bepaal (g ◦ f )0 en (f ◦ g)0 zowel rechtstreeks als met de kettingregel.
(b) Doe hetzelfde voor (f ◦ g)0 waar f : R2 → R3 gegeven wordt door f (x, y) = (x + y, y3, 3y + 1) en g : R2→ R2 gegeven door g(x, y) = (x2+ y2, xy).
Opgave 2. Zij f, g : R → R differentieerbaar. Gebruik de kettingregel en de functie h : R2→ R met h(x, y) = x/y om de quoti¨entregel [f/g]0 =gf0g−f g2 0 te bewijzen.
Opgave 3. Zij f : R2→ R differentieerbaar en definieer F (x, y) = f(x + y, x − y).
Druk (D1F )(x, y) + (D2F )(x, y) uit in (D1f )(x + y, x − y) en (D2f )(x + y, x − y).
Opgave 4. Zij f : R2→ R gegeven door f(0, 0) = 0 en f (x, y) = xy3
x2+ y2 voor (x, y) 6= 0.
(a) Bewijs dat f een C1-functie is.
(b) Bewijs dat D12f en D21f op heel R2 bestaan.
(c) Bewijs dat (D12f )(0, 0) = 0 en (D21f )(0, 0) = 1.
(d) Concludeer dat D12 en D21 niet beiden continu zijn in 0.
Opgave 5. We hebben gezien dat als f : R2 → R een C2-functie is, dan voldoen u = D1f en v = D2f aan D2u = D1v. Bewijs de volgende omkering van deze bewering: zij u, v : R2 → R continu differentieerbaar met D2u = D1v en neem a, b ∈ R, dan is
f (x, y) = Z y
b
v(x, t) dt + Z x
a
u(t, b) dt een C2-functie met u = D1f en v = D2f .
