Stefaan Poedts
CmPA, Dept. Wiskunde, KU LeuvenMonitoraat
• Kaat Zeeuwts (Kaatje.Zeeuwts@wet.kuleuven.be)
• Annouk Van Vlierden (Annouk.VanVlierden@wet.kuleuven.be)
Oefeningen
• wat is het (belangrijkste) verschil tussen Q en R? • wat is een inwendig punt?
⇒zijn er verzamelingen met alleen maar inwendige punten?
• wat is een randpunt?
⇒zijn er verzamelingen met alleen maar randpunten?
• wat is een ophopingspunt?
Analyse van re¨
ele functies van ´
e´
en re¨
ele veranderlijke
0 Inleiding tot logisch redeneren in bewijsvoering 1 De getallenverzamelingen
2 Functies, Rijen, Limieten en Continu¨ıteit 3 Afgeleiden en Middelwaardestellingen 4 Reeksen en Machtreeksen
5 Transcendente Functies
6 Grafieken van Functies en Vergelijkingen 7 Integraalrekening
Functies, Rijen, Limieten en Continu¨ıteit
1 Functies:
- Definitie en kenmerken
- Bewerkingen op functies
- Re ¨ele functies van ´e ´en re ¨ele veranderlijke
2 Rijen:
- Definitie en Kenmerken van rijen
3 Limieten van functies:
- Definities en voorbeelden en Rekenregels voor limieten
4 Continu¨ıteit:
- Definities en voorbeelden
- Continu¨ıteit van samengestelde functies en van scalaire veelvouden, sommen en producten van functies
Functies
• vb. bebossing (in termen van % oppervlakte beboste gebied)
⇒ effect natuurlijke aangroei, afsterfte, aanplantingen, ontginningen?
• wiskundige formulering :
{(t, b) ∈ R × [0, 100] |het gebied isb% bebost in jaart}
⇒ bijzondere relatie van R naar [0, 100]: met elke t stemt ´e´en b overeen
=functie!
Def.: Een functie f van de verzameling A naar de verzameling B is een relatie f van A naar B waarvoor geldt dat
⇒ elk element uit A in relatie methoogstens ´e ´en element uit B (x , y ) ∈ f ∧ (x , y0) ∈ f ⇒ y = y0 x x 3 x x 5 x 6 x 2 4
A
B
A’
f bld f 1• (x , y ) ∈ f dan is y het beeld van x onder f, m.a.w. y = f (x )
• A isdomein ofdefinitiegebied van f , A = dom f
• {y | y ∈ B ∧ ∃x ∈ A : (x, y ) ∈ f } = bld f of f (A) ⊆ B
• notatie functie: f : A → B : x 7→ f (x )
x ∈ A =onafhankelijke veranderlijke ofargument y = f (x ) ∈ B =afhankelijke veranderlijke
• metafoor: ‘input-output machine’
x - f - f (x )
input output
Surjectie
Def.: Een functie f van A naar B is een surjectieals ∀y ∈ B : ∃x ∈ A : y = f (x), met f (A) = B. x x 3 x x 5 x 6 x 2 4
A
B
1Injectie
Def.: Een functie f van A naar B is een injectieals
∀x1, x2∈ A : (x1, y ) ∈ f ∧ (x2, y ) ∈ f ⇒ x1= x2, of ∀x1, x2∈ A : x16= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2) (‘1–1 duidig’). 2 x x
B
4 x 5 x 3A
f bld y y y y y y y 1 2 3 4 5 6 7 1 x fBijectie
Def.: Een functie f van A naar B is een bijectiewanneer ∀y ∈ B : ∃x ∈ A : y = f (x), en ∀x1, x2 ∈ A : f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2 (‘1–1 duidig’). 4 2 x x3
A
B
1 x 4 x y1 y2 y3 yBeperking tot een deelverzameling A
0⊂ A van A.
Def.: Stel dat f een functie is van A naar B. Debeperking van f totA0⊂ A is de functie gedefinieerd als {(x , y ) | x ∈ A0∧ y = f (x)}, en wordt genoteerd als f |A0 zodat
f |A0 : A0⊂ A → B : x 7→ f (x). x x 3 x x 5 x 6 x 2 4
A
B
A’
f bld f 1Inverse functie
• functie is relatie ⇒ inverse relatie bestaat: f−1 = {(y , x ) | (x , y ) ∈ f } ⊂ B × A
• relatie f−1 is in het algemeen g´e´en functie, maarw ´el bij een bijectie
( ´en bij een injectie, met domf−1 =bldf)
⇒ inverse van bijectie is een functie, deinverse functie f−1: f−1 : B → A : y 7→ x = f−1(y ) ⇔ y = f (x )
Het ‘samenstellen’ van functies
Def.: Stel f : A → B : x 7→ f (x ), g : B → C : y 7→ g (y ), dan wordt desamengestelde functie g ◦ f gedefinieerd als
g ◦ f : A → C : x 7→ g ◦ f (x ) = g (f (x )). f A B C g f bld f g
Als ‘input-output machine’:
Voorbeeld
De evolutie kostprijs voor het behandelen van een ziekte in de tijd
• P : R → R :x 7→ P(x ) = a + b x
met x het aantal te behandelen pati¨enten, a = 106Euro en b = 104Euro
• x : R → R :t 7→ x (t) = x0 eλt
met λ = 2 en x0 = 105
Opmerkingen
• samenstelling van functies isniet commutatief vb.: stel f (x ) = x + 3 en g (x ) = x3
⇒ f ◦ g (x ) =? ⇒ g ◦ f (x ) =? ⇒ f ◦ g (x ) = x3+ 3 ⇒ g ◦ f (x ) = (x + 3)3
• voor functies van A naar zichzelf is er een neutraal element: de identieke functie
Identieke functie
Def.: A is een niet-ledige verzameling. De functie
{(x, x) | x ∈ A} of IA : A → A : x 7→ IA(x ) = x
wordt deidentieke functie of identiteit op A genoemd.
• stel bijectie f : A → B : x 7→ f (x )
⇒ f−1 : B → A : x 7→ f−1(x ) bestaat en is functie
• samenstellen:
⇒ ∀x ∈ A : f−1◦ f (x) = x: identiteit op A ⇒ ∀y ∈ B : f ◦ f−1(y ) = y : identiteit op B
Som, product en quoti¨
ent van functies
Def.: Stel: f en g zijn twee functies van A naar B.Somf + g , product fg enquoti ¨ent g worden gedefinieerd alsf
f + g : A → B : x 7→ f (x ) + g (x ), fg : A → B : x 7→ f (x )g (x ), en f g : A → B : x 7→ f (x ) g (x ). Opmerkingen: • dom fg = A \ {x | g(x) = 0} • (fg )(x ) 6= f (g (x )), vb.: f (x ) = x + 3, g (x ) = x3 ⇒ check!
Re¨
ele functies van ´
e´
en re¨
ele veranderlijke
Def.: Een functie heet re ¨eel als bld f ⊂ R. Als bovendien dom f ⊂ R dan is f eenre ¨ele functie van ´e ´en re ¨ele veranderlijke.
Def.: Degrafiekvan de functie f van A ⊂ R naar R, of graf f is de
verzameling punten van het geijkte vlak bekomen door met elke (x , f (x )) ∈ f een punt P te laten corresponderen met abscis x en ordinaat f (x ).
⇒ bevat alle informatie over verloop van f (stijgen/dalen, min/max, raaklijnen, buigpunten, enz.)
P
x y
xo
Grafiek van een injectie
x
af
f(a)P
y
graf
Grafiek van een injectie en van de inverse functie
x
a b -1 f(a)P
Q
y
f (b)-1graf
graf f
f
Maximum en minimum van een re¨
ele functie
Opm.: re ¨elefuncties van ´e ´enre ¨eleveranderlijke: domf en bldf ⊂ R
• Stel A ⊂ R en B ⊂ R (totaal geordend!) en f functie van A naar B: f : A → B : x 7→ f (x )
• Beschouw A0⊂ A:
Def.: De functie f bereikt in c ∈ A0 een maximum over de deelver-zameling A0
⇔ ∀x ∈ A0: f (x ) ≤ f (c).
Def.: De functie f bereikt in d ∈ A0 een minimum over de deelverza-meling A0
Rijen
• evolutie kapitaal K , maandelijkse intrestvoet i (bv. 5%)?
⇒ maandelijkse update saldo: K (1 + i ), K (1 + i )2, . . . , K (1 + i )n
⇒ wiskundig beschreven door functie van N naar R = rij
• belang:
⇒ leuk / interessant op zichzelf (cf. paradoxen van Zeno)
⇒ belangrijk voor benaderingsprocessen (cf. informatica)
⇒ bewijs van hoofdeigenschap van continue functies ⇒ studie van reeksen en machtreeksen (convergentie)
Definitie
Def.: Een functie f van N naar R
f : N → R : n 7→ f (n) = un,
wordt eenrij in R genoemd. Notatie: {un} of (un).
Vraag: gedrag van f (n) = un voor grote waarden van n?
Voorbeelden
• f : N → R : n 7→ f (n) = 3 ⇒ streeft naar L = 3
• f : N → R : n 7→ f (n) = n ⇒ neemt onbeperkt toe met n
• f : N → R : n 7→ f (n) = (−1)n
Convergentie
Def.: De rij {un} is convergent ⇔ ∃L ∈ R zodat
∀ε > 0 : ∃n0∈ N :∀n ≥ n0 :|un− L| < ε.
L is de limietvan de rij: ⇒ lim n→+∞un= L ⇔ ∀ε > 0 : ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0: |un− L| < ε -N 6 R L − L L + n0 • • • • • • • • • • •• • •• •• ••• •• ••••••
Voorbeeld: rij {u
n} met u
n= 2n + 1
n + 1
⇒ neemt niet onbeperkt toe:∀ε > 0 : ∃n0∈ N : ∀n ≥ n0 : |f (n) − 2| < ε bv. ε = 0, 1: voor n0= 10: ∀n ≥10: |f (n) − 2| <0, 1 want f (11) = 2312 = 1, 91667 ⇒ |f (11) − 2| < 0, 1 -N 6 R 2 1, 9 10 5 • • • • • • • • • • • •
Voorbeeld: rij {u
n} met u
n= 2n + 1
n + 1
⇒ neemt niet onbeperkt toe:∀ε > 0 : ∃n0∈ N : ∀n ≥ n0 : |f (n) − 2| < ε bv. ε = 0, 01: voor n0= 100: ∀n ≥100: |f (n) − 2| <0, 01 f (101) = 203102 = 1, 9902 ⇒ |f (101) − 2| < 0, 01 -N 6 R 2 1, 99 10 5 • • • • • • • • • • • •
Divergentie
Voorbeeld: {un} met un= (−1)n5n
2+ 3
n + 2 Applet ‘Sequencer’ Def.: Een rij {un} die niet convergent is, wordt divergentgenoemd.
Divergentie naar +∞
Def.: Indien er voor elk positief re¨eel getal M een natuurlijk getal n0
bestaat zodat
∀n ≥ n0 : f (n) = un> M
is de rij {un} divergent naar +∞, met de notatie
lim
n→+∞un= +∞.
• divergentie naar −∞ analoog: lim
n→+∞un= −∞
• de limiet van een rijbestaat dus niet altijd (in R)! ⇒ tegenvoorbeeld?
Stelling 2.1 :
De limiet L van een convergente rij {un} isenig.
Strategie:
• contrapositie!
⇒ stel dat er twee limieten zijn, L en L0 ⇒ L = L0
Stijgende en strikt stijgende rijen
Def.: Een rij {un} is stijgendindien ∀n ∈ N : un≤ un+1.
Een rij {un} is strikt stijgendindien ∀n ∈ N : un< un+1.
Stijgende en strikt stijgende rijen: voorbeelden
f : N → R : n 7→ f (n) = un= 1 ⇒ stijgend
f : N → R : n 7→ f (n) = n ⇒ strikt stijgend (divergent naar+∞) f : N → R : n 7→ f (n) = 2n + 1
n + 1 ⇒ strikt stijgend, conv. naar 2 Def.: Een rij {un} isnaar boven (onder) begrensdindien f (N) naar
boven (onder) begrensd is.
Stelling 2.2 :
Een convergente rij is begrensd.
Bewijs:
• beschouw een convergente rij {un} met limiet L
⇒ per definitie : ∀ε > 0 : ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0: |un− L| < ε
• kies ε = 1 ⇒ ∃n0∈ N : ∀n ≥ n0 : |un− L| < 1
| {z }
−1<un−L<+1
⇒ ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0: un< L + 1 (*)
• stel B = max{u0, u1, u2, . . . un0−1,L + 1} zodat ∀n < n0: un≤ B
(*)
=⇒ ∀n ≥ n0 : un<L + 1≤ B
Illustratie (bij dit bewijs)
-N 6 R L − 1 L L + 1 n0 • • • • • B • • • • • •• • •• •• ••• •• ••••••Stelling 2.3 :
Een dalende rij die naar onder begrensd is, is convergent. De limiet van de rij is inf{un| n ∈ N}.
Een stijgende rij die naar boven begrensd is, is convergent. De limiet van de rij is sup{un| n ∈ N}.
Strategie:
• vertrek van gegevens en Hst 1.2 (eigenschap van supremum) ⇒ combineer tot definitie convergentie!
Ophopingspunt van een rij
Def.: {un} is een rij in R, u ∈ R is een ophopingspunt van {un}
m
∀ε > 0 :∀m ∈ N: ∃n ≥ m : |u − un| < ε.
• |u − un| < ε moet gelden ∀m ∈ N ⇒ ∃ oneindig veel n
• convergente rijen: limiet is het enige ophopingspunt
• algemeen: meerdere ophopingspunten mogelijk (ook als niet convergent!)
Opm.: ophopingspunt van een rijis niet hetzelfde alsophopingspunt van de verzameling van de beelden,{un| n ∈ N}
Voorbeelden
f : N → R : n 7→ f (n) = un= 1 ⇒ ´e´en ophopingspunt: 1
⇒ 1 isg´e´en ophopingspunt van {un| n ∈ N}
rij f : N → R : n 7→ f (n) =
1 als n even is,
1
n + 1 als n oneven is,
ophopingspunten: 0 en 1 -N 6 R 1 0 10 5 • • • • • • • • • • • •
De stelling van Weierstrass-Bolzano
Hulpstelling 2.1 :
PAUZE
(5 min.)
The mathematical sciences particularly exhibit order, symmetry, and limitation; and these are the greatest forms of the beautiful.
Limieten: motivatie
Nodig voor:• afleiden van functies (limietNewton-quoti ¨ent)
⇒ verloop van functies (singulier en asymptotisch gedrag)
• integralen (limietRiemann-som)
⇒ formules voor lengten van krommen, oppervlakten en volumes van omwentelingslichamen, . . .
• convergentie van reeksen (limietpartieelsommen)
Limiet van een functie: voorbeeld
f : x → x 2− x − 2 x − 2 = (x − 2)(x + 1) (x − 2) = x + 1 voor x 6= 2⇒ 2 6∈ dom f maar 2 is een ophopingspunt van dom f ⇒ lim
x →2f (x )?
• grafiek is rechte y = x + 1 waaruit (2, 3) verwijderd werd
⇒ we kunnen f (x ) zo dicht bij3 nemen als we willen door x voldoende dicht bij2te kiezen
y=f(x) O (2,3) –1 0 1 2 3 4 5 6 –2 –1 1 2 3 4 5 x
⇒ f (x ) benadertlimietwaarde 3wanneer x naar 2 streeft: lim
Informele definitie van limiet
Def.: Als f (x ) gedefinieerd is voor alle x in de buurt van x0, eventueel
behalve in x0 zelf, en als we kunnen verzekeren dat f (x )zo dicht
bijLligt als we willen door xvoldoende dicht bijx0te kiezen,maar
niet gelijk aanx0, dan zeggen we dat de functie f delimietwaarde
L benadert wanneer x naar x0 streeft, en we noteren dit als volgt:
lim
x →x0
f (x ) = L.
Voorbeelden
• bereken lim
x →x0
x
⇒Wat benadertxalsxstreeft naarx0?, x0 natuurlijk!:
lim
x →x0
x = x0
• bereken lim
x →x0
c, met c een constante
⇒Wat benadertc alsxstreeft naarx0?, c natuurlijk!:
lim
x →x0
c = c
⇒ lim
x →x0
f (x ) issomsgewoon f (x0), nl. alsf gedefinieerd is in een open
interval dat het puntx = x0bevat en de grafiek vanf ononderbroken door
Voorbeelden
• berekenen lim
x →4
√ x − 2
x2− 16 ⇒ breuk niet gedefinieerd in x = 4
⇒ vermenigvuldig teller en noemer met geconjugeerde van de teller, (√x + 2), en vereenvoudig: lim x →4 √ x − 2 x2− 16 = x →4lim (√x − 2)(√x + 2) (x2− 16)(√x + 2) = lim x →4 x − 4 (x − 4)(x + 4)(√x + 2) = lim x →4 1 (x + 4)(√x + 2) = 1 (4 + 4)(2 + 2) = 1 32
Voorbeelden
• limiet van een functie bestaat niet altijd!
• functie f kan zelfsgedefinieerd zijn aan beide zijden vanx = x0en
toch geen limiet hebben inx = x0
• vb.: f (x ) = 1/x heeft geen limiet wanneer x streeft naar 0
y=1/x
.
.
(–1,–1) (1,1) –4 –2 0 2 4 y –4 –2 2 4 x De grafiek van f (x ) =1 xVoorbeelden
• zelfs wanneer f gedefinieerd is in x0, is de limiet van f wanneer x
naar x0 streeft,niet noodzakelijk
gelijk is aanf (x0) • vb.: g (x ) = x2 voor x 6= 3 7 voor x = 3 ⇒ toch is lim x →3g (x ) = limx →3x 2 =9, hoewel g (3) =7 y=g(x)
.
o (3,7) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 y 1 2 3 4Formele definitie: inleiding
• f (x )heeft als limietLheeft wanneerxnaarx0streeft, betekent dat we
kunnen verzekeren dat defout |f (x) − L| kleiner zal zijn danom het even welketolerantie, hoe klein die ook is, door x dicht genoeg bij x0 te
kiezen (maar niet gelijk aan x0)
• cf. limieten van rijen:
- duid grootte van toelaatbare fout aan met
- duid verschil x − x0 aan metδ (maat voor hoe dicht x bij x0 moet
liggen op te verzekeren dat de fout binnen de tolerantie valt)
Formele definitie: inleiding
+δ
L
L
−ε
−δ
L
+ε
x
x
0 0 0x
x
y
f
Als x 6= x0en |x − x0| < δ, dan is |f (x) − L| <Formele definitie
Def.: Delimiet van een functief in een ophopingspuntx0van domf
is gelijk aan L en wordt genoteerd als lim
x →x0
f (x ) = L,
als en slechts als de volgende voorwaarde is voldaan:
Limiet bestaat niet altijd: voorbeeld
• cf. Fig. 2.10: limiet in ophopingspunt domein functie bestaat niet altijd
• zelfs in een punt waarin de functie gedefinieerd is, bestaat de limiet niet altijd: • vb.: bereken lim x →0f (x ) met f (x ) = 0 voor x ≤ 0 x + 12 voor x > 0
⇒ 0 is ophopingspunt van dom f , maar lim x →0f (x ) bestaat niet! 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Rechter- en linkerlimiet
Def.: Delinkerlimietvan f in x0, ophopingspunt van dom f , is
lim
x →x0
<
f (x ) = L ⇔
∀ε > 0 : ∃δ > 0 :x0− δ <x < x0 ⇒ |f (x) − L| < ε.
Def.: Derechterlimiet van f in x0 wordt gegeven door
lim x →x0 > f (x ) = L ⇔ ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : x0 < x< x0+ δ ⇒ |f (x) − L| < ε. Opm.: lim x →x0 < f (x ) = lim x →x0 > f (x ) = L ⇔ lim x →x0 f (x ) = L
Rechter- en linkerlimiet: voorbeeld
• vb.: lim x →0f (x ) met f (x ) = 0 voor x ≤ 0 x + 12 voor x > 0 bestaat niet• rechter- en linkerlimiet bestaan wel!
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 –2 –1 1 2 lim x →0 < f (x ) = 0 en lim x →0 > f (x ) = 1 2
Limiet van f wanneer argument naar ±∞ streeft
Def.: Wanneer dom f ⊂ R +∞ als ophopingspunt heeft, dan definieertmen lim x →+∞f (x ) = L als ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ dom f :x > δ ⇒ |f (x) − L| < ε, en lim x →−∞f (x ) = L als ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ dom f :x < −δ⇒ |f (x) − L| < ε. Opm.: Def. lim
n→+∞un= L (voor rijen)is bijzonder gevalvan x →+∞lim f (x ) = L
Oneindige limiet
Def.: Ten slotte defini¨eren we de oneindige limiet: lim x →x0 f (x ) = +∞ als ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x ) > ε, en analoog lim x →x0 f (x ) = −∞ als ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x ) < −ε.
Oneindige limiet (vervolg)
de twee vorige definities combineren:
Def.: Wanneer dom f ⊂ R +∞ als ophopingspunt heeft, dan definieert men lim
x →+∞f (x ) = +∞ als
∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ dom f :x > δ ⇒ f (x ) > ε.
Opm.: Er zijn vier combinaties mogelijk ( lim
Voorbeelden
Voorbeeld: lim x →+∞f (x ) met f : R0 → R : x 7→ 1 x lim x →+∞ 1 x = 0 ⇔ ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : x > δ ⇒ |f (x) − 0| < ε (∗) • |f (x) − 0| = 1 x = 1|x| ⇒ uit x > δ volgt dat 1
|x| < 1δ≤ ε
Voorbeelden
Voorbeeld: lim x →0 > f (x ) met f : R0→ R : x 7→ 1 x lim x →0 > 1 x = +∞ ⇔ ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : 0 < x < δ ⇒ 1 x > ε (∗∗)• inderdaad uit x < δ volgt 1 x >
1 δ≥ ε
⇒ aan (∗∗) is voldaan voor elke δ waarvoor 1
δ ≥ ε of δ ≤ 1 ε
Eenduidigheid
Stelling 2.6 :
Een functie f : A → RmetA ⊂ R heeft in een ophopingspunt x0 van
A ten hoogste ´e ´en limiet.
Bewijs:
Rekenregels voor limieten
Eigenschap 2.1 :Indien f en g twee re ¨ele functies zijn en x0 is een ophopingspunt van
domf ∩domg, dan geldt 1 lim x →x0 λf (x ) = λ lim x →x0 f (x ), 2 lim x →x0 (f (x ) + g (x )) = lim x →x0 f (x ) + lim x →x0 g (x ), 3 lim x →x0 (f (x ) g (x )) = lim x →x0 f (x ) lim x →x0 g (x ), 4 lim x →x0 f (x ) g (x ) = lim x →x0 f (x ) lim x →x0 g (x ), indien limx →x0 g (x ) 6= 0,
als de limieten lim
x →x0
f (x )en lim
x →x0
Voor rekenregel 4. geldt bovendien: L ∈ R0, M = 0 ⇒ lim
x →x0
f (x )
g (x ) = ±∞ indien deze limiet bestaat
L ∈ R, M = ±∞ ⇒ lim x →x0 f (x ) g (x ) = 0 L = ±∞, M ∈ R ⇒ lim x →x0 f (x ) g (x ) = ±∞
• eigenschappen 2.1 hebbendubbel doel: - bestaan van een limiet aantonen - deze limiet berekenen
• de toepassing leidt soms tot zinloze notaties: onbepaalde vormen symbolisch: 00, +∞ − ∞, +∞+∞ , 0 × (+∞), 1+∞, +∞0 ⇒ berekeningstechnieken volgen later
Limiet van een samengestelde functie
Eigenschap 2.2 :Beschouw de functies f : A ⊆ R → B ⊆ R en g : B ⊆ R → R. Zij x0
een ophopingspunt van A. Veronderstel dat
lim
x →x0
f (x ) = y0 ∈ B,
en dat g continuis in y0, dan is
lim x →x0 (g ◦ f )(x ) = lim x →x0 (g (f (x )) = g (y0) = g ( lim x →x0 f (x )). Afleiding:
Belangrijk gevolg
• voorcontinue functies zijn de ‘operatoren’ g en lim
x →x0
verwisselbaar!
• Bijvoorbeeld:
g : R → R : x → |x| is een continue functie ⇒ lim
x →x0
|f (x)| = | lim
x →x0
f (x )| ,
Limieten en ongelijkheden
Hulpstelling 2.2 :f en g zijn twee re ¨ele functies met een gemeenschappelijk domein A ⊂ R
en x0 is een ophopingspunt van A. Indien
∀x ∈domf :f (x ) ≤ g (x ) (∗)
dan geldt, indien de limieten bestaan,
lim x →x0 f (x ) ≤ lim x →x0 g (x ). Bewijs:
Het insluitingstheorema: voorbeeld
x
0
x
L
y
y=f(x)
y=g(x)
y=h(x)
Stelling 2.5 :
f, g en h zijn re ¨ele functies met een gemeenschappelijk domein A ⊂ R,
x0 is een ophopingspunt van A en
∀x ∈ A : f (x) ≤ h(x) ≤ g (x). Indien lim x →x0 f (x ) = lim x →x0 g (x ) = L (∗) dan is lim x →x0 h(x ) = L. Bewijs: Strategie:
- definities uitschrijven en driehoeksongelijkheid toepassen