C&A 2013-2014 - les03_handout

(1)

Stefaan Poedts

CmPA, Dept. Wiskunde, KU Leuven

Monitoraat

• Kaat Zeeuwts (Kaatje.Zeeuwts@wet.kuleuven.be)

• Annouk Van Vlierden (Annouk.VanVlierden@wet.kuleuven.be)

Oefeningen

(2)

• _{wat is het (belangrijkste) verschil tussen Q en R?} • wat is een inwendig punt?

⇒zijn er verzamelingen met alleen maar inwendige punten?

• wat is een randpunt?

⇒zijn er verzamelingen met alleen maar randpunten?

• wat is een ophopingspunt?

(3)

Analyse van re¨

ele functies van ´

e´

en re¨

ele veranderlijke

0 Inleiding tot logisch redeneren in bewijsvoering 1 De getallenverzamelingen

2 Functies, Rijen, Limieten en Continu¨ıteit 3 Afgeleiden en Middelwaardestellingen 4 Reeksen en Machtreeksen

5 _{Transcendente Functies}

6 _{Grafieken van Functies en Vergelijkingen} 7 _{Integraalrekening}

(4)

Functies, Rijen, Limieten en Continu¨ıteit

1 _Functies:

- Definitie en kenmerken

- Bewerkingen op functies

- Re ële functies van é én re ële veranderlijke

2 Rijen:

- Definitie en Kenmerken van rijen

3 _{Limieten van functies:}

- Definities en voorbeelden en Rekenregels voor limieten

4 _{Continu¨ıteit:}

- Definities en voorbeelden

- Continu¨ıteit van samengestelde functies en van scalaire veelvouden, sommen en producten van functies

(5)

Functies

• vb. bebossing (in termen van % oppervlakte beboste gebied)

⇒ effect natuurlijke aangroei, afsterfte, aanplantingen, ontginningen?

• wiskundige formulering :

{(t, b) ∈ R × [0, 100] |het gebied isb% bebost in jaart}

⇒ _{bijzondere relatie van R naar [0, 100]: met elke t stemt ´e´en b overeen}

=functie!

Def.: Een functie f van de verzameling A naar de verzameling B is een relatie f van A naar B waarvoor geldt dat

(6)

⇒ elk element uit A in relatie methoogstens ´e ´en element uit B (x , y ) ∈ f ∧ (x , y0) ∈ f ⇒ y = y0 x x 3 x x 5 x 6 x 2 4

A

B

A’

f bld f 1

• (x , y ) ∈ f dan is y het beeld van x onder f, m.a.w. y = f (x )

• A isdomein ofdefinitiegebied van f , A = dom f

• {y | y ∈ B ∧ ∃x ∈ A : (x, y ) ∈ f } = bld f of f (A) ⊆ B

(7)

• notatie functie: f : A → B : x 7→ f (x )

x ∈ A =onafhankelijke veranderlijke ofargument y = f (x ) ∈ B =afhankelijke veranderlijke

• metafoor: ‘input-output machine’

x - f - f (x )

input output

(8)

Surjectie

Def.: Een functie f van A naar B is een surjectieals ∀y ∈ B : ∃x ∈ A : y = f (x), met f (A) = B. x x 3 x x 5 x 6 x 2 4

A

B

1

(9)

Injectie

Def.: Een functie f van A naar B is een injectieals

∀x1, x2∈ A : (x1, y ) ∈ f ∧ (x2, y ) ∈ f ⇒ x1= x2, of ∀x1, x2∈ A : x16= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2) (‘1–1 duidig’). 2 x x

B

4 x 5 x 3

A

f bld y y y y y y y 1 2 3 4 5 6 7 1 x f

(10)

Bijectie

Def.: Een functie f van A naar B is een bijectiewanneer ∀y ∈ B : ∃x ∈ A : y = f (x), en ∀x1, x2 ∈ A : f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2 (‘1–1 duidig’). 4 2 x x3

A

B

1 x 4 x y₁ y₂ y₃ y

(11)

Beperking tot een deelverzameling A

0

⊂ A van A.

Def.: Stel dat f een functie is van A naar B. Debeperking van f tot

A0⊂ A is de functie gedefinieerd als {(x , y ) | x ∈ A0∧ y = f (x)}, en wordt genoteerd als f |A0 zodat

f |A0 : A0⊂ A → B : x 7→ f (x). x x 3 x x 5 x 6 x 2 4

A

B

A’

f bld f 1

(12)

Inverse functie

• functie is relatie ⇒ inverse relatie bestaat: f−1 = {(y , x ) | (x , y ) ∈ f } ⊂ B × A

• relatie f−1 is in het algemeen géén functie, maarw él bij een bijectie

( ´en bij een injectie, met domf−1 =bldf)

⇒ inverse van bijectie is een functie, deinverse functie f−1: f−1 : B → A : y 7→ x = f−1(y ) ⇔ y = f (x )

(13)

Het ‘samenstellen’ van functies

Def.: Stel f : A → B : x 7→ f (x ), g : B → C : y 7→ g (y ), dan wordt desamengestelde functie g ◦ f gedefinieerd als

g ◦ f : A → C : x 7→ g ◦ f (x ) = g (f (x )). f A B C g f bld f g

(14)

Als ‘input-output machine’:

(15)

Voorbeeld

De evolutie kostprijs voor het behandelen van een ziekte in de tijd

• _{P : R → R :}x 7→ P(x ) = a + b x

met x het aantal te behandelen pati¨enten, a = 106Euro en b = 104Euro

• _{x : R → R :}t 7→ x (t) = x0 eλt

met λ = 2 en x0 = 105

(16)

Opmerkingen

• samenstelling van functies isniet commutatief vb.: stel f (x ) = x + 3 en g (x ) = x3

⇒ f ◦ g (x ) =? ⇒ g ◦ f (x ) =? ⇒ f ◦ g (x ) = x3+ 3 ⇒ g ◦ f (x ) = (x + 3)3

• voor functies van A naar zichzelf is er een neutraal element: de identieke functie

(17)

Identieke functie

Def.: A is een niet-ledige verzameling. De functie

{(x, x) | x ∈ A} of IA : A → A : x 7→ IA(x ) = x

wordt deidentieke functie of identiteit op A genoemd.

• stel bijectie f : A → B : x 7→ f (x )

⇒ f−1 _{: B → A : x 7→ f}−1_{(x )} _{bestaat en is functie}

• samenstellen:

⇒ ∀x ∈ A : f−1◦ f (x) = x: identiteit op A ⇒ ∀y ∈ B : f ◦ f−1(y ) = y : identiteit op B

(18)

Som, product en quoti¨

ent van functies

Def.: Stel: f en g zijn twee functies van A naar B.

Somf + g , product fg enquoti ¨ent _{g worden gedefinieerd als}f

f + g : A → B : x 7→ f (x ) + g (x ), fg : A → B : x 7→ f (x )g (x ), en f g : A → B : x 7→ f (x ) g (x ). Opmerkingen: • _{dom fg = A \ {x | g(x) = 0}} • (fg )(x ) 6= f (g (x )), vb.: f (x ) = x + 3, g (x ) = x3 ⇒ check!

(19)

Re¨

ele functies van ´

e´

en re¨

ele veranderlijke

Def.: Een functie heet re ëel als bld f ⊂ R. Als bovendien dom f ⊂ R dan is f eenre ële functie van é én re ële veranderlijke.

Def.: Degrafiek_{van de functie f van A ⊂ R naar R, of graf f is de}

verzameling punten van het geijkte vlak bekomen door met elke (x , f (x )) ∈ f een punt P te laten corresponderen met abscis x en ordinaat f (x ).

⇒ bevat alle informatie over verloop van f (stijgen/dalen, min/max, raaklijnen, buigpunten, enz.)

P

x y

xo

(20)

Grafiek van een injectie

x

a

f

f(a)

P

y

graf

(21)

Grafiek van een injectie en van de inverse functie

x

a b -1 f(a)

P

Q

y

f (b)-1

graf

graf f

f

(22)

Maximum en minimum van een re¨

ele functie

Opm.: re ëlefuncties van é énre ëleveranderlijke: domf en bldf ⊂ R

• _{Stel A ⊂ R en B ⊂ R} (totaal geordend!) en f functie van A naar B: f : A → B : x 7→ f (x )

• Beschouw A0⊂ A:

Def.: De functie f bereikt in c ∈ A0 een maximum over de deelver-zameling A0

⇔ ∀x ∈ A0: f (x ) ≤ f (c).

Def.: De functie f bereikt in d ∈ A0 een minimum over de deelverza-meling A0

(23)

Rijen

• evolutie kapitaal K , maandelijkse intrestvoet i (bv. 5%)?

⇒ maandelijkse update saldo: K (1 + i ), K (1 + i )2_{, . . . , K (1 + i )}n

⇒ wiskundig beschreven door functie van _N _{naar R =} rij

• belang:

⇒ leuk / interessant op zichzelf (cf. paradoxen van Zeno)

⇒ belangrijk voor benaderingsprocessen (cf. informatica)

⇒ bewijs van hoofdeigenschap van continue functies ⇒ studie van reeksen en machtreeksen (convergentie)

(24)

Definitie

Def.: Een functie f van N naar R

f : N → R : n 7→ f (n) = un,

wordt eenrij in R genoemd. Notatie: {un} of (un).

Vraag: gedrag van f (n) = un voor grote waarden van n?

(25)

Voorbeelden

• _{f : N → R : n 7→ f (n) = 3} ⇒ streeft naar L = 3

• _{f : N → R : n 7→ f (n) = n} ⇒ neemt onbeperkt toe met n

• _{f : N → R : n 7→ f (n) = (−1)}n

(26)

Convergentie

Def.: De rij {un} is convergent ⇔ ∃L ∈ R zodat

∀ε > 0 : ∃n0∈ N :∀n ≥ n0 :|un− L| < ε.

L is de limietvan de rij: ⇒ lim n→+∞un= L ⇔ ∀ε > 0 : ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0: |un− L| < ε -N 6 R L − L L + n0 • • • • • • • • • • •• • •• •• ••• •• ••••••

(27)

Voorbeeld: rij {u

n

} met u

n

= 2n + 1

_{n + 1}

⇒ neemt niet onbeperkt toe:

∀ε > 0 : ∃n0∈ N : ∀n ≥ n0 : |f (n) − 2| < ε bv. ε = 0, 1: voor n0= 10: ∀n ≥10: |f (n) − 2| <0, 1 want f (11) = 23₁₂ = 1, 91667 ⇒ |f (11) − 2| < 0, 1 -N 6 R 2 1, 9 10 5 • • • • • • • • • • • •

(28)

Voorbeeld: rij {u

n

} met u

n

= 2n + 1

_{n + 1}

⇒ neemt niet onbeperkt toe:

∀ε > 0 : ∃n₀_{∈ N : ∀n ≥ n}₀ : |f (n) − 2| < ε bv. ε = 0, 01: voor n0= 100: ∀n ≥100: |f (n) − 2| <0, 01 f (101) = 203₁₀₂ = 1, 9902 ⇒ |f (101) − 2| < 0, 01 -N 6 R 2 1, 99 10 5 • • • • • • • • • • • •

(29)

Divergentie

Voorbeeld: {un} met un= (−1)n5n

2_{+ 3}

n + 2 Applet ‘Sequencer’ Def.: Een rij {un} die niet convergent is, wordt divergentgenoemd.

(30)

Divergentie naar +∞

Def.: Indien er voor elk positief re¨eel getal M een natuurlijk getal n0

bestaat zodat

∀n ≥ n0 : f (n) = un> M

is de rij {un} divergent naar +∞, met de notatie

lim

n→+∞un= +∞.

• divergentie naar −∞ analoog: lim

n→+∞un= −∞

• de limiet van een rijbestaat dus niet altijd (in R)! ⇒ tegenvoorbeeld?

(31)

Stelling 2.1 :

De limiet L van een convergente rij {un} isenig.

Strategie:

• contrapositie!

⇒ stel dat er twee limieten zijn, L en L0 _⇒ _{L = L}0

(32)

Stijgende en strikt stijgende rijen

Def.: Een rij {un} is stijgendindien ∀n ∈ N : un≤ un+1.

Een rij {un} is strikt stijgendindien ∀n ∈ N : un< un+1.

(33)

Stijgende en strikt stijgende rijen: voorbeelden

f : N → R : n 7→ f (n) = un= 1 ⇒ stijgend

f : N → R : n 7→ f (n) = n ⇒ strikt stijgend (divergent naar+∞) f : N → R : n 7→ f (n) = 2n + 1

n + 1 ⇒ strikt stijgend, conv. naar 2 Def.: Een rij {un} isnaar boven (onder) begrensdindien f (N) naar

boven (onder) begrensd is.

(34)

Stelling 2.2 :

Een convergente rij is begrensd.

Bewijs:

• beschouw een convergente rij {un} met limiet L

⇒ per definitie : ∀ε > 0 : ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0: |un− L| < ε

• kies ε = 1 ⇒ ∃n0∈ N : ∀n ≥ n0 : |un− L| < 1

| {z }

−1<un−L<+1

⇒ ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0: un< L + 1 (*)

• stel B = max{u0, u1, u2, . . . un0−1,L + 1} zodat ∀n < n0: un≤ B

(*)

=⇒ ∀n ≥ n₀ : un<L + 1≤ B

(35)

Illustratie (bij dit bewijs)

-N 6 R L − 1 L L + 1 n0 • • • • • B • • • • • •• • •• •• ••• •• ••••••

(36)

Stelling 2.3 :

Een dalende rij die naar onder begrensd is, is convergent. De limiet van de rij is inf{u_n_{| n ∈ N}}.

Een stijgende rij die naar boven begrensd is, is convergent. De limiet van de rij is sup{un| n ∈ N}.

Strategie:

• vertrek van gegevens en Hst 1.2 (eigenschap van supremum) ⇒ combineer tot definitie convergentie!

(37)

Ophopingspunt van een rij

Def.: {un} is een rij in R, u ∈ R is een ophopingspunt van {un}

m

∀ε > 0 :_{∀m ∈ N}: ∃n ≥ m : |u − un| < ε.

• |u − u_n| < ε moet gelden _{∀m ∈ N} ⇒ ∃ oneindig veel n

• convergente rijen: limiet is het enige ophopingspunt

• algemeen: meerdere ophopingspunten mogelijk (ook als niet convergent!)

Opm.: ophopingspunt van een rijis niet hetzelfde alsophopingspunt van de verzameling van de beelden,{un| n ∈ N}

(38)

Voorbeelden

f : N → R : n 7→ f (n) = un= 1 ⇒ ´e´en ophopingspunt: 1

⇒ 1 isg´e´en ophopingspunt van {un| n ∈ N}

rij f : N → R : n 7→ f (n) =  



1 als n even is,

1

n + 1 als n oneven is,

ophopingspunten: 0 en 1 -N 6 R 1 0 10 5 • • • • • • • • • • • •

(39)

De stelling van Weierstrass-Bolzano

Hulpstelling 2.1 :

(40)

PAUZE

(5 min.)

The mathematical sciences particularly exhibit order, symmetry, and limitation; and these are the greatest forms of the beautiful.

(41)

Limieten: motivatie

Nodig voor:

• afleiden van functies (limietNewton-quoti ¨ent)

⇒ verloop van functies (singulier en asymptotisch gedrag)

• integralen (limietRiemann-som)

⇒ formules voor lengten van krommen, oppervlakten en volumes van omwentelingslichamen, . . .

• convergentie van reeksen (limietpartieelsommen)

(42)

Limiet van een functie: voorbeeld

f : x → x 2_{− x − 2} x − 2 = (x − 2)(x + 1) (x − 2) = x + 1 voor x 6= 2

⇒ 2 6∈ dom f maar 2 is een ophopingspunt van dom f ⇒ lim

x →2f (x )?

• grafiek is rechte y = x + 1 waaruit (2, 3) verwijderd werd

⇒ we kunnen f (x ) zo dicht bij3 nemen als we willen door x voldoende dicht bij2te kiezen

y=f(x) O (2,3) –1 0 1 2 3 4 5 6 –2 –1 1 2 3 4 5 x

⇒ f (x ) benadertlimietwaarde 3wanneer x naar 2 streeft: lim

(43)

Informele definitie van limiet

Def.: Als f (x ) gedefinieerd is voor alle x in de buurt van x0, eventueel

behalve in x0 zelf, en als we kunnen verzekeren dat f (x )zo dicht

bijLligt als we willen door xvoldoende dicht bijx0te kiezen,maar

niet gelijk aanx0, dan zeggen we dat de functie f delimietwaarde

L benadert wanneer x naar x0 streeft, en we noteren dit als volgt:

lim

x →x0

f (x ) = L.

(44)

Voorbeelden

• bereken lim

x →x0

x

⇒Wat benadertxalsxstreeft naarx0?, x0 natuurlijk!:

lim

x →x0

x = x0

• bereken lim

x →x0

c, met c een constante

⇒Wat benadertc alsxstreeft naarx0?, c natuurlijk!:

lim

x →x0

c = c

⇒ lim

x →x0

f (x ) issomsgewoon f (x0), nl. alsf gedefinieerd is in een open

interval dat het puntx = x0bevat en de grafiek vanf ononderbroken door

(45)

Voorbeelden

• berekenen lim

x →4

√ x − 2

x2_{− 16} ⇒ breuk niet gedefinieerd in x = 4

⇒ vermenigvuldig teller en noemer met geconjugeerde van de teller, (√x + 2), en vereenvoudig: lim x →4 √ x − 2 x2_{− 16} = _{x →4}lim (√x − 2)(√x + 2) (x2_{− 16)}₍√_{x + 2)} = lim x →4 x − 4 (x − 4)(x + 4)(√x + 2) = lim x →4 1 (x + 4)(√x + 2) = 1 (4 + 4)(2 + 2) = 1 32

(46)

Voorbeelden

• limiet van een functie bestaat niet altijd!

• functie f kan zelfsgedefinieerd zijn aan beide zijden vanx = x0en

toch geen limiet hebben inx = x0

• vb.: f (x ) = 1/x heeft geen limiet wanneer x streeft naar 0

y=1/x

.

(–1,–1) (1,1) –4 –2 0 2 4 y –4 –2 2 4 x De grafiek van f (x ) =1 x

(47)

Voorbeelden

• zelfs wanneer f gedefinieerd is in x0, is de limiet van f wanneer x

naar x0 streeft,niet noodzakelijk

gelijk is aanf (x0) • vb.: g (x ) = x2 voor x 6= 3 7 voor x = 3 ⇒ toch is lim x →3g (x ) = limx →3x 2 ₌₉_, hoewel g (3) =7 y=g(x)

.

o (3,7) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 y 1 2 3 4

(48)

Formele definitie: inleiding

• f (x )heeft als limietLheeft wanneerxnaarx0streeft, betekent dat we

kunnen verzekeren dat defout |f (x) − L| kleiner zal zijn danom het even welketolerantie, hoe klein die ook is, door x dicht genoeg bij x0 te

kiezen (maar niet gelijk aan x0)

• cf. limieten van rijen:

- duid grootte van toelaatbare fout aan met

- duid verschil x − x0 aan metδ (maat voor hoe dicht x bij x0 moet

liggen op te verzekeren dat de fout binnen de tolerantie valt)

(49)

Formele definitie: inleiding

+δ

L

−ε

−δ

L

+ε

x

0 0 0

x

y

f

Als x 6= x0en |x − x0| < δ, dan is |f (x) − L| <

(50)

Formele definitie

Def.: Delimiet van een functief in een ophopingspuntx0van domf

is gelijk aan L en wordt genoteerd als lim

x →x0

f (x ) = L,

als en slechts als de volgende voorwaarde is voldaan:

(51)

Limiet bestaat niet altijd: voorbeeld

• cf. Fig. 2.10: limiet in ophopingspunt domein functie bestaat niet altijd

• zelfs in een punt waarin de functie gedefinieerd is, bestaat de limiet niet altijd: • vb.: bereken lim x →0f (x ) met f (x ) = 0 voor x ≤ 0 x + 1₂ voor x > 0

⇒ 0 is ophopingspunt van dom f , maar lim x →0f (x ) bestaat niet! 0.5 1 1.5 2 2.5 3

(52)

Rechter- en linkerlimiet

Def.: Delinkerlimietvan f in x0, ophopingspunt van dom f , is

lim

x →x0

<

f (x ) = L ⇔

∀ε > 0 : ∃δ > 0 :x0− δ <x < x0 ⇒ |f (x) − L| < ε.

Def.: Derechterlimiet van f in x0 wordt gegeven door

lim x →x0 > f (x ) = L ⇔ ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : x₀ < x< x0+ δ ⇒ |f (x) − L| < ε. Opm.: lim x →x0 < f (x ) = lim x →x0 > f (x ) = L ⇔ lim x →x0 f (x ) = L

(53)

Rechter- en linkerlimiet: voorbeeld

• vb.: lim x →0f (x ) met f (x ) = 0 voor x ≤ 0 x + 1₂ voor x > 0 bestaat niet

• rechter- en linkerlimiet bestaan wel!

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 –2 –1 1 2 lim x →0 < f (x ) = 0 en lim x →0 > f (x ) = 1 2

(54)

Limiet van f wanneer argument naar ±∞ streeft

Def.: Wanneer dom f ⊂ R +∞ als ophopingspunt heeft, dan definieert

men lim x →+∞f (x ) = L als ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ dom f :x > δ ⇒ |f (x) − L| < ε, en lim x →−∞f (x ) = L als ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ dom f :x < −δ⇒ |f (x) − L| < ε. Opm.: Def. lim

n→+∞un= L (voor rijen)is bijzonder gevalvan x →+∞lim f (x ) = L

(55)

Oneindige limiet

Def.: Ten slotte defini¨eren we de oneindige limiet: lim x →x0 f (x ) = +∞ als ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x ) > ε, en analoog lim x →x0 f (x ) = −∞ als ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x ) < −ε.

(56)

Oneindige limiet (vervolg)

de twee vorige definities combineren:

Def.: Wanneer dom f ⊂ R +∞ als ophopingspunt heeft, dan definieert men lim

x →+∞f (x ) = +∞ als

∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ dom f :x > δ ⇒ f (x ) > ε.

Opm.: Er zijn vier combinaties mogelijk ( lim

(57)

Voorbeelden

Voorbeeld: lim x →+∞f (x ) met f : R0 → R : x 7→ 1 x lim x →+∞ 1 x = 0 ⇔ ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : x > δ ⇒ |f (x) − 0| < ε (∗) • |f (x) − 0| = 1 x = 1

|x| ⇒ uit x > δ volgt dat 1

|x| < 1δ≤ ε

(58)

Voorbeelden

Voorbeeld: lim x →0 > f (x ) met f : R0→ R : x 7→ 1 x lim x →0 > 1 x = +∞ ⇔ ∀ε > 0 : ∃δ > 0 : 0 < x < δ ⇒ 1 x > ε (∗∗)

• inderdaad uit x < δ volgt 1 x >

1 δ≥ ε

⇒ aan (∗∗) is voldaan voor elke δ waarvoor 1

δ ≥ ε of δ ≤ 1 ε

(59)

Eenduidigheid

Stelling 2.6 :

Een functie f : A → RmetA ⊂ R heeft in een ophopingspunt x0 van

A ten hoogste ´e ´en limiet.

Bewijs:

(60)

Rekenregels voor limieten

Eigenschap 2.1 :

Indien f en g twee re ¨ele functies zijn en x0 is een ophopingspunt van

domf ∩domg, dan geldt 1 _lim x →x0 λf (x ) = λ lim x →x0 f (x ), 2 lim x →x0 (f (x ) + g (x )) = lim x →x0 f (x ) + lim x →x0 g (x ), 3 _lim x →x0 (f (x ) g (x )) = lim x →x0 f (x ) lim x →x0 g (x ), 4 _lim x →x0 f (x ) g (x ) = lim x →x0 f (x ) lim x →x0 g (x ), indien limx →x0 g (x ) 6= 0,

als de limieten lim

x →x0

f (x )en lim

x →x0

(61)

Voor rekenregel 4. geldt bovendien: L ∈ R0, M = 0 ⇒ lim

x →x0

f (x )

g (x ) = ±∞ indien deze limiet bestaat

L ∈ R, M = ±∞ ⇒ lim x →x0 f (x ) g (x ) = 0 L = ±∞, M ∈ R ⇒ lim x →x0 f (x ) g (x ) = ±∞

• eigenschappen 2.1 hebbendubbel doel: - bestaan van een limiet aantonen - deze limiet berekenen

• de toepassing leidt soms tot zinloze notaties: onbepaalde vormen symbolisch: 0₀, +∞ − ∞, +∞_{+∞ ,} 0 × (+∞), 1+∞, +∞0 ⇒ berekeningstechnieken volgen later

(62)

Limiet van een samengestelde functie

Eigenschap 2.2 :

Beschouw de functies f : A ⊆ R → B ⊆ R en g : B ⊆ R → R. Zij x0

een ophopingspunt van A. Veronderstel dat

lim

x →x0

f (x ) = y0 ∈ B,

en dat g continuis in y0, dan is

lim x →x0 (g ◦ f )(x ) = lim x →x0 (g (f (x )) = g (y0) = g ( lim x →x0 f (x )). Afleiding:

(63)

Belangrijk gevolg

• voorcontinue functies zijn de ‘operatoren’ g en lim

x →x0

verwisselbaar!

• Bijvoorbeeld:

g : R → R : x → |x| is een continue functie ⇒ lim

x →x0

|f (x)| = | lim

x →x0

f (x )| ,

(64)

Limieten en ongelijkheden

Hulpstelling 2.2 :

f en g zijn twee re ¨ele functies met een gemeenschappelijk domein A ⊂ R

en x0 is een ophopingspunt van A. Indien

∀x ∈domf :f (x ) ≤ g (x ) (∗)

dan geldt, indien de limieten bestaan,

lim x →x0 f (x ) ≤ lim x →x0 g (x ). Bewijs:

(65)

Het insluitingstheorema: voorbeeld

x

0 x

L

y

y=f(x)

y=g(x)

y=h(x)

(66)

Stelling 2.5 :

f, g en h zijn re ¨ele functies met een gemeenschappelijk domein A ⊂ R,

x0 is een ophopingspunt van A en

∀x ∈ A : f (x) ≤ h(x) ≤ g (x). Indien lim x →x0 f (x ) = lim x →x0 g (x ) = L (∗) dan is lim x →x0 h(x ) = L. Bewijs: Strategie:

- definities uitschrijven en driehoeksongelijkheid toepassen