Analyse: van R naar R
nhoorcollege
Limieten van functies (14)
Gerrit Oomens
G.Oomens@uva.nl
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
Limieten en functies
Definitie
Zij f : S → S∗een functie. Zij s0∈ S. We schrijven
s→slim0f (s) = L
voor zekere L ∈ S∗als voor elke > 0 er een δ > 0 bestaat zodat d∗ f (s), L < geldt als d (s, s0) < δ.
Merk op: equivalent zijn
1 f continu in s0,
2 lims→s0f (s) = f (s0),
3 voor elke rij sn→ s0geldt f (sn) → f (s0).
Situatie
In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rnnaar Rm. Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op Rk de metriek
d (~x, ~y) = v u u t
k
X
j =1
(xj− yj)2= k~x − ~yk
afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm
k~xk = v u u t
k
X
j =1
xj2.
Voor een functie f : R2→ R betekent een limiet als lim
~x→~0
f (~x) = L
dat voor alle > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| < als k~xk < δ.
Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.
Homogeniteit
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Bekijk op R2\ {0} de functies
f1(x , y ) = x2− y2
x4+ y4, f2(x , y ) = sin x px2+ y2
!
, f3(x , y ) = xy2 x2+ y2. Deze zijn homogeen, met graden −2, 0 en 1.
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer Sn−1= {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact.
Dan is f begrensd op Sn−1: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1geldt |f (~x)| ≤ M.
Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan
|f (~x)| =
f k~xk · ~z
= k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα. Dus omdat α > 0 zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs, vervolg: stel α < 0.
Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.
Dan is f (r~x) = rαf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.
Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).
Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).
Dan geldt limr ↓0f (r~x) = f (~x) en limr ↓0f (r~y) = f (~y).
Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0, dus als lim~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim
~x→~0
f (~x) = lim
r ↓0f (r~y).
Limieten bij nul
Bekijk voor (x , y ) 6= (0, 0) de functie
f (x , y ) = xy2 x2+ y4. Er geldt
f (rx , ry ) = r3xy2
r2x2+ r4y4 = r xy2
x2+ r2y4 → 0 als r ↓ 0.
Dit geldt voor alle (x , y ) 6= (0, 0), maar
f (y2, y ) = y4 y4+ y4 = 1
2, dus lim(x ,y )→(0,0)f (x , y ) bestaat niet.
Wat gebeurt er bij f (x , y ) =xx23+yy24?