• No results found

Limieten en functies

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Limieten en functies"

Copied!
2
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Analyse: van R naar R

n

hoorcollege

Limieten van functies (14)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Limieten en functies

Definitie

Zij f : S → Seen functie. Zij s0∈ S. We schrijven

s→slim0f (s) = L

voor zekere L ∈ Sals voor elke  > 0 er een δ > 0 bestaat zodat d f (s), L <  geldt als d (s, s0) < δ.

Merk op: equivalent zijn

1 f continu in s0,

2 lims→s0f (s) = f (s0),

3 voor elke rij sn→ s0geldt f (sn) → f (s0).

Situatie

In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rnnaar Rm. Vaak, maar niet altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op Rk de metriek

d (~x, ~y) = v u u t

k

X

j =1

(xj− yj)2= k~x − ~yk

afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm

k~xk = v u u t

k

X

j =1

xj2.

Voor een functie f : R2→ R betekent een limiet als lim

~x→~0

f (~x) = L

dat voor alle  > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| <  als k~xk < δ.

Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.

Homogeniteit

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).

Bekijk op R2\ {0} de functies

f1(x , y ) = x2− y2

x4+ y4, f2(x , y ) = sin x px2+ y2

!

, f3(x , y ) = xy2 x2+ y2. Deze zijn homogeen, met graden −2, 0 en 1.

(2)

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs: stel α > 0.

De sfeer Sn−1= {~x ∈ Rn: k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn, dus compact.

Dan is f begrensd op Sn−1: er is M zodat voor alle k~xk ∈ Sn−1geldt |f (~x)| ≤ M.

Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = k~xk~x , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan

|f (~x)| =

f k~xk · ~z

= k~xkα· |f (~z)| ≤ Mk~xkα. Dus omdat α > 0 zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.

Homogeniteit en limiet

Definitie (Syllabus 7.14)

We noemen f : Rn\ {0} → Rhomogeenvan graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt f (r~x) = rαf (~x).

Propositie (Syllabus 7.15)

Zij f : Rn\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is lim~x→~0f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Bewijs, vervolg: stel α < 0.

Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.

Dan is f (r~x) = rαf (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.

Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).

Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).

Dan geldt limr ↓0f (r~x) = f (~x) en limr ↓0f (r~y) = f (~y).

Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0, dus als lim~x→~0f (~x) bestaat moet gelden limr ↓0f (r~x) = lim

~x→~0

f (~x) = lim

r ↓0f (r~y).

Limieten bij nul

Bekijk voor (x , y ) 6= (0, 0) de functie

f (x , y ) = xy2 x2+ y4. Er geldt

f (rx , ry ) = r3xy2

r2x2+ r4y4 = r xy2

x2+ r2y4 → 0 als r ↓ 0.

Dit geldt voor alle (x , y ) 6= (0, 0), maar

f (y2, y ) = y4 y4+ y4 = 1

2, dus lim(x ,y )→(0,0)f (x , y ) bestaat niet.

Wat gebeurt er bij f (x , y ) =xx23+yy24?

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

Oneindig dimensionale Cramer-tilting Gebruikmakend van de superexponentiële versie van het replacementlemma kan een expliciete uitdrukking verkregen worden voor I(γ) , en dus voor

We zullen ons in eerste instantie bezighouden met de eerste vraag, die ook meestal

OPGAVEN BIJ ANALYSE 2015, O-SYMBOLEN, TAYLORREEKSEN EN LIMIETEN (9). Definities

OPGAVEN BIJ ANALYSE 2015, LIMIETEN VAN FUNCTIES

Alle machtsfuncties, polynomiale functies, rationale functies, trigoniometrische functies , exponenti¨ ele functies en hun eventuele inverse functies zijn continu op hun domein... Als

f : A → R heet differentieerbaar ‘op’ A als f differentieerbaar is in elk inwendig punt van A en rechts- linksdifferentieerbaar in de eventuele randpunten.. Als f differentieerbaar

Limieten en

Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend.. Gebruik van grafische rekenmachine