Analyse op de lijn: limieten van rijen

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Convergentie van reeksen

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Analyse op de lijn: limieten van rijen

Gezien: een rij (s_n) van re¨ele getallenconvergeertnaar s als

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |sn− s| <  als n > N.

In R convergeert een rij desda de rijCauchyis:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |sn− s_m| <  als n, m > N.

Een monotone rij heeft altijd een limiet (mogelijk ±∞). Een willekeurige rij hoeft niet te convergeren, maar voor elke rij bestaan

lim sup

n→∞

s_n := lim

N→∞sup

n>N

s_n en lim inf

n→∞ s_n := lim

N→∞ inf

n>Ns_n. We schrijven ook wel

n→∞lim s_n := lim sup

n→∞

s_n, lim

n→∞

s_n := lim inf

n→∞ s_n.

Reeksen

We bekijken nu de reeks

∞

X

n=1

a_n = a₁+ a₂+ a₃+ · · · . Bijvoorbeeld

∞

X

n=1

1 2ⁿ = 1

2 +1 4+1

8 + · · · = 1?

Wat betekent dit? Defini¨eer een rij (s_n) volgens s_n = a₁+ · · · + a_n =

n

X

k=1

a_k,

de rij van parti¨ele sommen. Als lim_n→∞s_n = S , schrijven we

∞

X

n=1

a_n = S , oftewel

∞

X

n=1

a_n = lim

n→∞s_n = lim

n→∞

n

X

k=1

a_k.

Voorbeeld: meetkundige reeks

Bekijk

∞

X

n=0

1

2ⁿ met s_n =

n

X

k=0

1 2^k. Herinner dat

n

X

k=0

r^k = 1 − rⁿ⁺¹ 1 − r . Met r = 1/2 vinden we

s_n = 1 − ¹₂
n+1

1 −¹₂ = 2 1 − 1 2

n+1!

zodat lim

n→∞s_n = 2.

We zien dusP∞ n=0 1

2ⁿ = 2. Meer algemeen is

∞

X

n=0

rⁿ = 1

1 − r als |r | < 1.

Reeksen en convergentie

Gegeven een reeks P∞

n=0a_n zijn er twee logische vragen:

1 Convergeert de reeks?

2 Zo ja, wat is de waarde van de reeks?

We zullen ons in eerste instantie bezighouden met de eerste vraag, die ook meestal makkelijker is. Zo zullen we zien dat

∞

X

n=1

1 n² < ∞,

maar is het lastiger te bewijzen dat P∞ n=1 1

n² = ^π₆².

Merk op: voor convergentie maakt het beginstuk niet uit, en dus ook niet waar je begint: P∞

n=1a_n convergeert desda P∞

n=ma_n dat doet. Men schrijft P a_n als de precieze ondergrens niet relevant is.

Cauchy criterium

Bekijk een reeksP a_n met parti¨ele sommen (s_n). We hebben Xa_n convergeert ⇔ s_n convergeert ⇔ s_n is Cauchy.

Dit laatste geeft

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |sn− s_m| <  als n, m > N, oftewel

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat     

n

X

k=0

a_k −

m

X

k=0

a_k     

<  als n > m > N

en dus

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat     

n

X

k=m+1

a_k     

<  als n ≥ m > N.

Deze voorwaarde voor convergentie heet hetCauchy criterium.

Convergentie volgens Cauchy

Cauchy criterium (Stelling 14.4)

Een reeksP a_n convergeert desda hij voldoet aan het Cauchy criterium:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat     

n

X

k=m

a_k     

<  als n ≥ m > N.

Als we hier m = n nemen zien we dat

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |an| <  als n > N, dus a_n→ 0. Oftewel:

alseen reeks convergeert,dangeldt a_n → 0.

Dit geldt niet andersom: we zullen zien datP₁

n niet convergeert.

Vergelijken

De makkelijkste manier om te zien of een reeks convergeert is om deze te vergelijken met een waarvan het gedrag bekend is:

Vergelijkingscriterium (14.6)

ZijP a_n,P b_n reeksen, waarbij a_n ≥ 0 voor alle n.

1 AlsP a_n convergeert en |b_n| ≤ a_n voor alle (voldoende grote) n, dan convergeert P b_n ook.

Bewijs van 1: Aan te tonen is dat 

n

X

k=m

b_k     

≤

n

X

k=m

|b_k| ≤

n

X

k=m

a_k

klein is. Dit volgt direct uit het feit datP a_k convergeert.

Voorbeeld: P ₁

n²+n convergeert. Er geldt immers _n2¹_+n ≤ _n¹₂ en de reeksP ₁

n² convergeert.

Vergelijken

Vergelijkingscriterium (14.6, comparison test) Zij P a_n,P b_n reeksen, waarbij a_n ≥ 0 voor alle n.

1 AlsP a_n convergeert en |b_n| ≤ a_n voor alle (voldoende grote) n, dan convergeertP b_n ook.

2 AlsP a_n = ∞ en b_n≥ a_n voor alle (grote) n, danP b_n = ∞.

Bewijs van 2: we schrijven

s_n =

n

X

k=1

a_k, t_n =

n

X

k=1

b_k.

Dan geldt per aanname t_n ≥ s_n, dus Xb_n = lim

n→∞t_n ≥ lim

n→∞s_n =X

a_n = ∞.

Voorbeeld: P ₁

n−1 = ∞ want _n−1¹ ≥ _2n¹ enP ₁

2n = ¹₂P₁

n = ∞.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |a_n|^1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks.

Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|^1/n.

1 Als α < 1, dan is er  > 0 zodat |a_n|^1/n< 1 −  voor

voldoende grote n. Dus |a_n| < (1 − )ⁿ. De reeksP(1 − )ⁿ convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ookP a_n.

2 Als α > 1, dan is |a_n|^1/n > 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet a_n → 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP₁

n enP ₁

n².

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

Zij P a_n een reeks en definieer α = lim sup |a_n|^1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks.

Stelling 12.2

Zij (a_n) een rij getallen ongelijk nul. Dan geldt lim inf

a_n+1 a_n

≤ lim inf |a_n|^1/n ≤ lim sup |a_n|^1/n≤ lim sup    

a_n+1 a_n

    .

Quoti¨entcriterium (14.8, ratio test) Zij P a_n een reeks. Er geldt:

1 Als lim sup ^an+1_a

n

< 1, dan convergeertP a_n.

2 Als lim inf 

an+1

an

> 1, dan divergeert P a_n.