C&A 2013-2014 - les01_handout

CALCULUS & ANALYSE

Stefaan Poedts

CmPA, Dept. Wiskunde, KU Leuven

Monitoraat

• Kaat Zeeuwts (Kaatje.Zeeuwts@wet.kuleuven.be)

• Annouk Van Vlierden (Annouk.VanVlierden@wet.kuleuven.be)

Oefeningen

Motivatie

• Wiskunde speelt vitale rol in de moderne samenleving: industri¨ele processen, shuttle-lanceringen, telefoonconversaties, medische diagnoses, beurstransacties, . . . (meestal ‘achter de schermen’)

⇒ wiskundige modellen voor ‘problemen’

• aparte‘taal’ (nauwkeurig, geen dubbelzinnigheden)

- woordenschat (opgelet: soms andere betekenis!, vb. ‘of’, ‘als’) - grammatica

- notatie: symbolen voor kwantoren, bewerkingen, operatoren, . . . •wiskundige technieken (beperkte maar krachtige ‘toolbox’)

Doelstellingen

• basisconcepten en –technieken bijbrengen (of herhalen) en leren gebruiken

• detaal van de wiskunde met zorg leren gebruiken ⇒ grammatica, woordenschat en symbolische taal

• overtuigen van kracht van abstracte wiskundige aanpak van problemen

⇒ uiteenlopende toepassingen met zelfde technieken oplosbaar

• leren redeneren, analyserenen een uitspraak leren bewijzen ⇒ ‘logische deductie’

⇒ eigenschappen worden bewezen = oefeningen in logisch denken ⇒ definities/begrippen worden uitvoerig ge¨ıllustreerd

CALCULUS & ANALYSE

Theorie

• Calculus: 26 uren (13 lessen, 2 × 2 uren/week)

• Analyse: 20 uren (10 lessen, 2 × 2 uren/week)

• cursus “CALCULUS & ANALYSE”, Stefaan Poedts, ACCO

Oefeningen

• ±50 uren (2 × 2 uren/week, vanaf tweede week)

• assistenten: Berdien, Dina, Niels, Micha¨el, Victor, C´eline

HOEVEEL studeren voor CALCULUS & ANALYSE?

• 8 studiepunten= ₆₀8 × 1800 uren = 240 uren

• lessen en oefeningen inclusief (INDIEN ‘actief luisteren’ en meewerken!) ⇒ nog ± 240-90=± 150 uren ‘thuis’ studeren!!!

⇒ gemiddeld ±10 uren/week voor ‘doorsnee’ student!!!

Examens en zo. . .

• DEZE WEEK!: voorkennistoets via Toledo (I0O65a Calculus), knop ‘Voorkennis’

• begin November: vrijblijvendproefexamen

- anonieme zelftest (enkel hoofdstukken 1 t.e.m. 4) - verder zelfde format als echte examen

• doorlopend: USolv-IT meerkeuzetoetsen (cf. later)

• Januari 2013: examen

- theorie (8 punten, gesloten boek)

PORTFOLIO Calculus & Analyse

• Bevat:

- vademecum van belangrijke formules - oplossingsstrategi¨en en - methoden - type-oplossingen

- voorbeeld-oefeningen - . . .

• gestructureerd, zo volledig mogelijk

• ZELFgemaakt!,vanaf vandaag!

MEDEDELING: BONUSPUNTEN

• tijdens de oefenzittingen worden er 2 kleine taakjes/testen opgegeven gedurende het semester

• hiermee valt in totaal 1 bonuspunt te verdienen

• met het proefexamen in November valt ook een bonuspunt te verdienen: al wie slaagt krijgt 1 bonuspunt!

⇒ de bonuspunten werken dus enkel in positieve zin en kunnen tot 10% opleveren van je score (al voor het echte examen begint dus)!

Je score S wordt als volgt herschaald: S (20 − x ) 20 + x , met x de door jou behaalde bonuspunten

Analyse van re¨

ele functies van ´

e´

en re¨

ele veranderlijke

1 _{De getallenverzamelingen}

2 _{Functies, Rijen, Limieten en Continu¨ıteit} 3 _{Afgeleiden en Middelwaardestellingen} 4 _{Reeksen en Machtreeksen}

5 _{Transcendente Functies}

6 Grafieken van Functies en Vergelijkingen 7 Integraalrekening

Inleiding

• Logica = basis van elke beredeneerde argumentatie

⇒ nodig om wiskundige redeneringen te kunnen begrijpen

• redeneringen dagelijks leven zijn vaak enkel suggestiefen niet geschikt voor de nauwkeurigheid die in de wiskunde vereist wordt

⇒ noodzaak aan een formele en symbolische logica, wars van de dubbelzinnigheden van de gewone spreektaal (sedert 19de eeuw) HIER:

• propositielogica

• predikatenlogica (met o.m. uitspraken met kwantoren en variabelen)

Propositielogica

wiskunde: vooral mededelende zinnen

Def.: Een propositieof uitspraakis elke mededelende zin die waar (1) of onwaar (0) is. We noemen de 1 of 0 dewaarheidswaardevan de uitspraak.

Voorbeelden

• de zin“1 + 1 = 2” is bv. een propositie (een ‘ware’)

• de zin“2 = 1” is ook een uitspraak (een onware)

• “ Morgen gaat het regenen” is een propositie (maar we weten morgenavond pas of ze waar is of niet)

Tegenvoorbeelden:

• “ los de volgende vergelijking op naarx”is geen propositie

• “ deze uitspraak is waar” isgeen propositie (we kunnen op geen enkele manier kunnen uitmaken of ze waar of onwaar is)

Bewerkingen op proposities

Logische operatoren (connectieven)

• denegatie, ¬

• deconjunctie, ∧

• dedisjunctie, ∨

• deimplicatie, ⇒

De negatie

• voorbeeld: denegatie van de uitspraak p :“ de aarde draait rond” is bv. “ de aarde draaitnietrond”

• notatie: ¬p

• definitie: als p waar is, is ¬p onwaar, en als p onwaar is, is ¬p waar samengevat in dewaarheidstabel:

p ¬p

1 0

De negatie: voorbeelden

Enkele voorbeelden van het gebruik van de logische operator ‘¬’: als p : “1 + 1 = 2”, dan is ¬p :“1 + 1 6= 2”

Opm: deze laatste uitspraak onwaar is, aangezien p waar is.

als p : “2 = 1”, dan is ¬p : “2 6= 1”

De conjunctie

• voorbeeld: uit p : “ ik ben slim”en q : “ ik ben sterk” verkrijgen we “ik ben slim en sterk”

• notatie: p ∧ q : “ ik ben slim en sterk”

• definitie: p ∧ q wordt gedefinieerd door de waarheidstabel: p q p ∧ q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

De conjunctie: voorbeeld

• stel p : “ dit hoofdstuk is saai” en q :“ logica is een saai onderwerp”

⇒ Hoe luidt dan de volgende uitspraak in logische vorm: “dit hoofdstuk is absoluut niet saai hoewel logica een saai onderwerp is”?

• de eerste zinsnede is de negatie van p, dus ¬p

• de tweede zinsnede is gewoon q

De disjunctie

• voorbeeld: stel p : “ ik ben slim”en q : “ jij bent mooi”.

Met deze proposities kunnen we de volgende uitspraak maken: “ik ben slim of jij bent mooi”, symbolisch: p ∨ q (lees ‘p of q’).

• Opgelet, in de wiskunde wordt steeds de inclusieve ‘of’ gebruikt: p ∨ q betekent dat p waar is of dat q waar is of dat ze allebei waar zijn

⇒ dedisjunctie of alternatievan p en q wordt gedefinieerd door: p q p ∨ q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

De implicatie

• vb: “als je slaagt in 1ste BSc bio-ing, dan krijg je een Porsche”

- opgebouwd uit p : “ je slaagt in 1ste BSc bio-ing” en q : “ je krijgt een Porsche”

- uitspraak: “als p waar is,dan is q waar”, of “alsp,danq”

• notatie: p ⇒ q (“p impliceert q”) • waarheidstabel: p q p ⇒ q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

NB: belofte enkel gebroken als je slaagt en toch geen Porsche krijgt NB: implicatie is altijd waar alsponwaar!

De implicatie: opmerkingen

• terminologie: in de notatie p ⇒ q noemen we p het antecedensof de

hypothese en q het consequens of deconclusie

• OPMERKING: vaak gemaakte foutieve redeneringis dat als q uit p volgt, q automatisch onwaar is als p onwaar is

- in vb.: “als je niet slaagt in 1ste Bachelor bio-ing, dan krijg je al dan niet een Porsche, zonder mijn belofte te breken”

De equivalentie

• definitie: twee uitspraken zijnlogisch equivalentals ze allebei waar zijn of allebei onwaar en dit voor alle mogelijk waarheidswaarden van de variabelen

• notatie: als p en q equivalent zijn, dan noteren we p ⇔ q

• waarheidstabel: p q p ⇔ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

De equivalentie: voorbeeld

• voorbeeld: “ik ga vanavondenkel en alleennaar de Gnorglalsik de stof van het college Calculus van vandaag onder de knie heb”

• m.a.w.: “een nodige en voldoende voorwaardeom vanavond naar de Gnorgl te gaan, is dat ik de stof van het college Calculus van vandaag onder de knie heb”

⇒ je gaat dus vanavond niet naar de Gnorgl, als je de stof van het college Calculus van vandaagniet onder de knie hebt!

Tautologi¨

en en contradicties

Def.: Een samengestelde uitspraak is eentautologieals haar waarheids-waarde altijd 1 is, onafhankelijk van de waarheidswaarheids-waarden van haar variabelen.

Voorbeeld: De uitspraak p ∨ (¬p) is een tautologie want p ¬p p ∨ (¬p)

1 0 1

0 1 1

Inderdaad, in de laatste kolom komt enkel 1 voor zodat deze uitspraak altijd waar is, zowel als p waar is als wanneer p onwaar is

Tautologi¨

en en contradicties

Def.: Een contradictie is een uitspraak waarvan de waarheidswaarde altijd 0 is, voor alle mogelijke waarden van haar variabelen.

Opgave: Toon aan datp ∧ (¬p)een contradictie is.

p ¬p p ∧ (¬p)

1 0 0

Tautologi¨

en en contradicties: voorbeeld

Voorbeeld: We tonen de dubbele negatieaan, p ⇔ ¬(¬p): p ¬p ¬(¬p) p ⇔ ¬(¬p)

1 0 1 1

0 1 0 1

⇒ “Het is niet waar dat ik niet blij ben” betekent dus hetzelfde als het eenvoudigere“ik ben blij”

Tautologi¨

en en contradicties: voorbeeld

• cf. hierboven: p ⇒ q isnietequivalent is met ¬p ⇒ ¬q

Dit is nochtans een vaak gemaakte redeneerfout

• We kunnen dit nu makkelijk aantonen via een waarheidstabel:

p q p ⇒ q ¬p ¬q ¬p ⇒ ¬q p ⇒ q ⇔ ¬p ⇒ ¬q

1 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0

0 1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1 1 1

Tautologi¨

en en contradicties: voorbeeld

Opgave: Stel de waarheidstabel op vanp ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p

p q p ⇒ q ¬q ¬p ¬q ⇒ ¬p p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p

1 1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

Tautologische implicaties

• Tautologische implicaties zijn tautologi¨en van de vorm A ⇒ B

Voorbeeld: demodus ponens ofdirecte redenering: [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q

Als q volgt uit p en p is waar, dan moet q ook waar zijn • vb.: p : “ ik hou van calculus”en q : “ ik zal slagen in dit vak”,

dan : als uit het feit dat ik van calculus hou, volgt dat ik zal slagen in dit vak, en als ik inderdaad van calculus hou, dan zal ik slagen voor Calculus!

Modus ponens: verificatie

• Om deze tautologie te verifi¨eren, gebruiken we een waarheidstabel: p q p ⇒ q (p ⇒ q) ∧ p [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q

1 1 1 1 1

1 0 0 0 1

0 1 1 0 1

Belangrijke tautologische implicaties

• Een andere veel voorkomende tautologische implicatie is de modus tollensof indirecte redenering:

[(p ⇒ q) ∧ ¬q] ⇒ ¬p

Als q uit p volgt en q is onwaar, dan is p ook onwaar

Belangrijke tautologische implicaties

Andere belangrijke tautologische implicaties die vaak gebruikt worden in deze cursus Calculus & Analyse zijn de volgende:

(p ∧ q) ⇒ p vereenvoudiging

(p ∧ q) ⇒ q vereenvoudiging

p ⇒ (p ∨ q) toevoeging

[(p ∨ q) ∧ (¬p)] ⇒ q disjunctief syllogisme [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ (p ⇒ r ) transitiviteit van ⇒

Tautologische equivalenties

• Tautologische equivalenties zijn tautologi¨en van de vorm A ⇔ B:

¬(¬p) ⇔ p dubbele negatie

¬(p ∧ q) ⇔ (¬p) ∨ (¬q) wetten van DeMorgan ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p) ∧ (¬q)

p ∧ q ⇔ q ∧ p commutativiteit van de conjunctie p ∨ q ⇔ q ∨ p commutativiteit van de disjunctie (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r ) associativiteit van de conjunctie (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r ) associativiteit van de disjunctie p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p contrapositie

Predikatenlogica

• Propositielogica is beperkt: er worden enkel waarheidswaarden bepaald • De Predikatenlogicais een krachtiger formalisme dat verkregen wordt

door de propositielogica uit te breiden met:

1 _predikaten die eigenschappen of relaties van objecten beschrijven in een bepaald domein;

2 _variabelen die reiken over arbitraire domeinen;

Predikatenlogica: voorbeeld

Voorbeeld:

De eigenschap dat een dier een hond is, kan formeel worden uitgedrukt door het predikaat:

hond(x ).

Dit predikaat is ‘waar’ voor alle dieren x die hond zijn. Voor andere dieren is het predikaat onwaar.

• predikaat hond(x) wordt unair predikaat genoemd omdat het precies ´e´en argument heeft

Predikatenlogica: voorbeelden

• Predikaten met twee argumenten worden binairgenoemd, bv. x was gehuwd met y ,

drukt uit dat persoon x getrouwd geweest is met persoon y . Door de variabelen te substitueren bekomen we een uitspraak die waar of onwaar is. De geschiedenis leert ons bv. dat de uitspraak

Cleopatra was gehuwd met Napoleon, onwaar is.

• algemeen kan een predikaat n argumenten hebben: p(x1, . . . , xn),

waarbij de variabelen (x1, . . . , xn) over een bepaald domein kunnen

Binaire predikaten: voorbeeld

In deze cursus Calculus komen o.a. de volgende binaire predikaten voor: Notatie betekenis

a = b is gelijk aan a < b is strikt kleiner dan a > b is strikt groter dan

a ≤ b is kleiner dan of gelijk aan a ≥ b is groter dan of gelijk aan

• worden gebruikt om eigenschappen van systemen te omschrijven • variabelen reiken over een bepaald domein, bv. N of R

• Naast variabelen kunnen ook constanten voorkomen, symbolen met vaste betekenis die elementen van een domein aangeven, bv. 7 in N

Kwantoren

• Kwantorenlaten toe variabelen te binden • We onderscheiden twee kwantoren:

1 _{deuniversele kwantor, ∀,} 2 en de _{existenti ¨ele kwantor}, ∃.

⇒ ∃x : p(x)formaliseert het begrip ‘er bestaat een x waarvoor geldt dat p(x ) (dus waarvoor kenmerk p opgaat)’

⇒ Met ∀x : p(x) daarentegen bedoelen we dat ‘voor alle x geldt dat p(x ), m.a.w. dat ‘kenmerk p opgaatvoor alleelementen’

Kwantoren: voorbeelden

Voorbeeld: Er bestaat een geheel getal deelbaar door 5. Alle gehele getallen zijn deelbaar door 1. Of met formules:

∃x ∈ Z : x is deelbaar door 5, ∀y ∈ Z : y is deelbaar door 1,

waarbij we met ∈ Z aangeven dat x en y over de gehele getallen vari¨eren. • De variabelen x en y zijngebonden door kwantoren. Bij de evaluatie

van een formule worden dergelijkegebonden variabelenonderscheiden vanvrije variabelendie niet gebonden worden door een kwantor.

Kwantoren: opmerking

• De kwantor ∃! geeft hetuniekebestaan aan

Formules

In de predikatenlogica wordenformules gevormd volgens de volgende regels:

1 Als x₁, . . . , x_n variabelen zijn dan is en p(x₁, . . . , x_n) een formule. 2 Als p een formule is dan is ¬p ook een formule.

3 Als p en q formules zijn, dan zijn p ∧ q, p ∨ q, p ⇒ q en p ⇔ q ook formules.

4 ∀x : p(x) en ∃x : p(x) zijn formules als x een variabele is en p een formule. De variabele x die in p voorkomt, wordt gebonden door de kwantor.

Formules

Meervoudige kwantoren worden voor het gemak als ´e´en kwantor geschreven: ∀x₁, x2, x3: p(x1, x2, x3),

betekent dus

∀x₁: (∀x2 : (∀x3 : p(x1, x2, x3))),

en analoog voor meervoudige existenti¨ele kwantoren.

Voorbeeld: Het theorema van Fermat (1637!):

∀n ∈ N : n ≥ 3 ⇒ ¬(∃x, y, z ∈ Z0: xn+ yn= zn),

PAUZE

(5 min.)

Mathematics is the tool specially suited for dealing with abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in this field.

Eigenschappen van kwantoren

We zijn vooral ge¨ınteresseerd in de eigenschappen van kwantoren daar deze veel gebruikt worden bij het wiskundig exact formuleren van eigenschappen en stellingen in deze cursus:

Eigenschap I.1 :

Negatie van een kwantor:

1 ¬[(∃x) : A(x)] ⇔ (∀x ) : ¬A(x ), 2 ¬[(∀x) : A(x)] ⇔ (∃x ) : ¬A(x ), 3 (∃x ) : A(x ) ⇔ ¬[(∀x ) : ¬A(x )], 4 _{(∀x ) : A(x )} ⇔ ¬_{[(∃x ) : ¬A(x )].}

Eigenschappen van kwantoren

Eigenschap I.2 :

Doorschuiven van kwantoren:

1 (∃x ) : (A(x ) ∨ B(x )) ⇔ (∃x ) : A(x ) ∨ (∃x ) : B(x ), (∃ schuift door ∨ ) 2 (∀x ) : (A(x ) ∧ B(x )) ⇔ (∀x ) : A(x ) ∧ (∀x ) : B(x ), (∀ schuift door ∧ ) 3 (∃x ) : (A(x ) ∧ B(x )) ⇒ (∃x ) : A(x ) ∧ (∃x ) : B(x ), 4 (∀x ) : A(x ) ∨ (∀x )B(x ) ⇒ (∀x ) : (A(x ) ∨ B(x )), 5 (∃x ) : (A(x ) ⇒ B(x )) ⇔ (∀x ) : A(x ) ⇒ (∃x ) : B(x ), 6 _{(∀x ) : (A(x ) ⇒ B(x ))} ⇒ _{(∃x ) : A(x ) ⇒ (∃x ) : B(x ),} 7 _{(∀x ) : (A(x ) ⇒ B(x ))} ⇒ _{(∀x ) : A(x ) ⇒ (∀x ) : B(x ).}

Eigenschappen van kwantoren

Eigenschap I.3 :

Verwisselen van kwantoren:

1 _{(∀x )(∀y ) : A(x , y )} ⇔ _{(∀y )(∀x ) : A(x , y ),} 2 _{(∃x )(∃y ) : A(x , y )} ⇔ _{(∃y )(∃x ) : A(x , y ),} 3 (∃x )(∀y ) : A(x , y ) ⇒ (∀y )(∃x ) : A(x , y ).

cf. 3: Inderdaad, er bestaan formules A(x , y ) zodat de volgende implicatie

niet waaris:

(∀y )(∃x )A(x , y ) ⇒ (∃x )(∀y )A(x , y )

Eigenschappen van kwantoren

Eigenschap I.4 :

Een gebonden variabele van naam veranderen: 1 (∀x ) : A(x ) ⇔ (∀y ) : A(y ),

2 _{(∃x ) : A(x )} ⇔ _{(∃y ) : A(y ).}

Deze laatste eigenschap gebruiken we talloze keren in deze cursus, nl. telkens als we bij de toepassing van een eigenschap de variabele in de algemene formulering vervangen (substitueren) door diegene waarop we de eigenschap toepassen

Inleiding tot bewijsmethodes

• eerste deel les: introductie in woordenschat van logica

• wiskundige uitspraken kunnen lezen en schrijven, vereist ook zinsbouw

⇒ nu: bespreking van hoe uitspraken en logische operatoren zoals de ‘negatie’, de ‘conjunctie’ en de ‘equivalentie’ gebruikt worden in de verschillende manieren om een bepaalde uitspraak te ‘bewijzen’

Inductief en deductief redeneren: voorbeeld

• Beschouw de functie bepaald door het voorschrift f (n) = n2+ n + 17

⇒ evaluatie voor verschillende positieve gehele getallen, lijkt altijd een priemgetal op te leveren:

f (1) = 19, f (2) = 23, f (3) = 29, . . . f (12) = 173, f (15) = 257, al deze getallen (en ook degene die we oversloegen) zijn priemgetallen

• we zouden kunnen vermoeden dat deze functie altijdeen priemgetal oplevert als ze ge¨evalueerd wordt in een positief geheel getal

• Het trekken van dit soort conclusies is een voorbeeld van inductief redeneren: op basis van enkele individuele gevallen trekken we een algemene conclusie

Inductief en deductief redeneren: voorbeeld

• we stellen p(n) :“n2+ n + 17is een priemgetal” en we spreken af dat n verwijst naar een positief geheel getal

⇒ is de uitspraak

∀n : p(n),

een ware uitspraak? M.a.w., hebben we met de berekeningen in het voorbeeld hierboven ‘bewezen’ dat deze uitspraakaltijdwaar is?

• NEEN!!, we hebbenniet bewezen dat de uitspraak altijdwaar is

• we hebben enkel aangetoond dat

∃n, zodat p(n) waar is

• we hebben eigenlijk zelfs aangetoond dat p(n) waar is voor velen, maar we hebben niet aangetoond dat het waar is voor alle n

Inductief en deductief redeneren: voorbeeld

• Hoe kunnen we dat echt ‘bewijzen’ ?

• Het blijkt dat we datniet kunnen!

Inductief en deductief redeneren: voorbeeld

• Hoe weten we dat deze uitspraak onwaar is?

• omdat we een voorbeeld kunnen bedenken waarvoor n2+ n + 17geen priemgetalis, namelijk n = 17:

172+ 17 + 17 = 17(17 + 1 + 1) = 17 · 19

• dit wordt eentegenvoorbeeld genoemd

• er zijn meerdere tegenvoorbeelden te vinden, voor n = 16 bekomen we bv. 172

• MAAR: ´e ´en tegenvoorbeeld volstaat om aan te tonen dat “∀n : p(n)” onwaar is

Opmerking

• op basis van het voorgaande zouden we kunnen denken dat inductieve redeneringen zo goed als waardeloos zijn

• toch kunnen dergelijke redeneringen erg waardevol zijn:

− ze vormen namelijk de basis voor de meeste (indien niet alle) we-tenschappelijke experimenten

− zijn vaak ook de bron van de ‘vermoedens’ die, eens ze bewezen werden, de wiskundige stellingen worden (cf. vermoeden van Poin-car´e)

Inductief en deductief redeneren: voorbeeld

• beschouw de uitdrukkingg (n, m) = n2+n+m, waarbij n en m positieve gehele getallen zijn

• cf. vorige voorbeeld: g (16, 17) = 162+ 16 + 17 = 172 • we stellen bovendien vast dat

g (1, 2) = 12+ 1 + 2 = 4 = 22, g (2, 3) = 22+ 2 + 3 = 9 = 32,

.. .

g (12, 13) = 122+ 12 + 13 = 169 = 132 ⇒ we kunnen (via inductieve redenering) vermoedendat

Inductief en deductief redeneren: voorbeeld

• vermoeden blijkt deze keer wel waar te zijn, en we kunnen datbewijzen

• Met de bekende rekenregels uit de algebra, vinden we namelijk:

g (n, n + 1) = n2+ n + (n + 1) [definitie van g (n, n + 1)]

= n2+ 2n + 1 [aangezien n + n = 2n]

= (n + 1)(n + 1) [door factoriseren] = (n + 1)2 [definitie van (n + 1)2] • Elke stap in deze redenering geldtvoor een willekeurigen

Inductief en deductief redeneren: voorbeeld

• Nu we bewezen hebben dat de uitspraak waar is voor elke n, kunnen we ze toepassen op elk bijzonder geval!

⇒ Zowetenwe bijvoorbeeld dat

(g (124, 125) =) 1242+ 124 + 125 = 1252, en we hoeven hiervoor geen berekeningen meer te doen!

• Dit is een voorbeeld vandeductief redeneren: een algemeen principe toepassen op een bijzonder geval. De meeste bewijzen die we in de wiskunde tegenkomen, zijn gebaseerd op dit type van redeneren. • Nu: enkele veel voorkomende bewijsvormen die rechtstreeks volgen uit

Het rechtstreekse bewijs

• vaakst voorkomende bewijsvorm, symbolisch: p ⇒ q, waarbij p en q samengestelde uitspraken kunnen zijn

• bewering ‘p ⇒ qis een stelling’, is hetzelfde alsp ⇒ qis een tautologie

• methode: vertrek vanp(neem dus aan datpwaar is, de ‘hypothese’) en leid hieruitq(de ‘conclusie’) af door een logische redenering op te bouwen, eventueel door gebruik te maken van reeds bewezen stellingen en

eigenschappen

• zo’n redenering bestaat meestal uit meerdere stappen:

p ⇒ r r ⇒ t t ⇒ q p ⇒ q ( p impliceert r r impliceert t t impliceert q conclusie: p impliceert q)

Het rechtstreekse bewijs

• constructie van bewijs is als het bouwen van een brugom de hypothese p te verbinden met de conclusie q

• ‘bouwstenen’ om van p tot q te komen: 1) definities

2) aannames of axioma’s die als waar worden aangenomen, 3) (hulp-)stellingen die eerder reeds bewezen werden,

4) uitspraken die logisch volgen uit eerdere uitspraken in het bewijs

• het is niet altijd meteen duidelijk welke bouwstenen men moet gebruiken en in welke volgorde dat moet gebeuren ⇒ ervaringis nuttig, alsook

Het rechtstreekse bewijs: alternatieve vorm

• niet elke uitspraak die we gaan bewijzen is van de vorm p ⇒ q

• vaak bestaat het te bewijzen uit een propositie q, m.a.w. men moet

bewijzen datqwaar is

• je moet dan aantonen dater een propositiep bestaat, waarvan je weet dat ze waar is, dieqimpliceert:

p ⇒ q p q ( p impliceert q. . . , . . . en p is waar, Conclusie: q is waar), cf. modus ponens: [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q

Het bewijs door contrapositie

• gebazeerd op de tautologie p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p ⇒ te bewijzen van de vorm p ⇒ q

kan bewezen worden door de equivalente uitspraak ¬q ⇒ ¬p te bewijzen

• Schematisch:

Te bewijzen: p ⇒ q

Strategie: Bewijs ¬q ⇒ ¬p

Het bewijs door contrapositie: voorbeeld

• bewijs de stelling

‘Als 7m een oneven getal is, dan is m een oneven getal’

⇒ kan door te bewijzen dat

‘Als m geen oneven getal is, dan is 7m geen oneven getal’

of nog:

‘Als m een even getal is, dan is 7m een even getal’

• Opm.: m is even als er een geheel getal k bestaat zodat m = 2k

• Opm.: als een getal niet even is, is het oneven

Het bewijs door contrapositie: voorbeeld

• We kunnen de stelling dus als volgt bewijzen: Hypothese: m is een even getal

∃k : m = 2k [definitie even getal]

7m = 7(2k) [bekende eig. vermenigvuldiging]

7m = 2(7k) [bekende eig. vermenigvuldiging]

7k is een geheel getal [want k is een geheel getal] Conclusie: 7m is een even getal [want 7m is twee keer 7k]

⇒ NB: is veel makkelijker dan rechtstreeks proberen te bewijzen dat ‘7mis oneven’ impliceert datmoneven is

Het bewijs uit het ongerijmde

• gebazeerd op de tautologie (¬q ⇒(p ∧ ¬p)) ⇒ q (toon zelf aan!)

⇒ om q te bewijzen kunnen we aantonen dat uit ¬q volgt dat p ∧ ¬p

(p ∧ ¬p is een contradictie en dus altijd onwaar)

• vb. bewijs van stelling 1.1 (volgende les)

• Schematisch:

Te bewijzen: q

Strategie: Neem aan dat ¬q waar is en

Het bewijs uit het ongerijmde: speciaal geval

• als de te bewijzen uitspraak q van de vorm s ⇒ t is, dan is ¬q van de vorm ¬(s ⇒ t), hetgeen equivalent met s ∧ ¬t

• Schematisch:

Te bewijzen: s ⇒ t

Strategie: Vertrek van s ∧ ¬t en

Het bewijs door volledige inductie

• _{uitspraak A(n) (met n ∈ N) geldt voor} alle natuurlijke getallen indien aan de volgende twee voorwaardenvoldaan is:

1 _{De uitspraak A(0) is juist}

2 _{Indien A(p) (p ≥ 0) juist is, dan is A(p + 1) ook juist}

⇒ 1ste voorwaarde is dat A(0) juist is =basisstap

⇒ 2de voorwaarde is dat A(p) =⇒ A(p + 1) voor elk natuurlijk getalp =inductiestap

⇒ we nemen aan dat A(p) juist =inductiehypothese

• principe van volledige inductie kunnen we ook bij1laten beginnen in plaats van bij0

Voorbeeld_{: ∀n ∈ N}0 geldt 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1) 2 | {z } =A(n) Bewijs:

1. Basisstap (TB: A(1) is juist)

A(1) stemt overeen met de uitspraak 1 = 1·2₂ ⇒ duidelijk juist 2. Inductiestap (TB: ∀p ∈ N0 : A(p)⇒ A(p + 1))

- neem p ∈ N0 en stel dat 1 + 2 + · · · + p = p(p+1)₂ waar is

⇒ 1 + 2 + · · · + p + (p + 1) = p(p + 1) 2 +(p + 1) ⇒ 1 + 2 + · · · + p + (p + 1) =(p + 1)p 2 + 1  = (p + 1)(p + 2) 2 ⇒ 1 + 2 + · · · + p + (p + 1) = (p + 1)(p + 2) 2 = A(p + 1)

Enkele bemerkingen

• wiskundige stellingen en bewijzen komen niet ge¨ısoleerd voor maar altijd

in de context van een bepaald wiskundig systeem

• het wiskundig systeem wordt vaak niet expliciet vermeld en moet dan uit de context afgeleid worden (bij mogelijke twijfel zal het systeem expliciet vermeld worden)

• systeem is vooral belangrijk bij uitspraken met kwantoren, bv.: ∀x :√x2 _{= x ,}

is ‘waar’ in de context van positieve getallen maar ‘onwaar’ wanneer alle re¨ele getallen beschouwd worden

Enkele bemerkingen

• om een algemene uitspraak van de vorm ∀x : p(x),

te bewijzen, laten we x een willekeurig element vertegenwoordigen van het beschouwde systeem, en tonen we aan dat de uitspraak p(x ) ‘waar’ is voor die willekeurige x

⇒ in het bewijs dus enkel eigenschappen vanx gebruiken die van toepassing zijn op alle leden van het systeem

• bv., als we gehele getallen beschouwen, niet aannemen dat x even is aangezien dit niet van toepassing is op alle gehele getallen