DVGLn 2012-2013 - les01_handout

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Stefaan Poedts

Centrum voor mathematische Plasma-Astrofysica, KU Leuven

Oefeningen

Differentiaalvergelijkingen zijn belangrijk!

• fundamentele natuurwetten kunnen uitgedrukt worden als differentiaalvergelijkingen, bv.

- gravitatie (wet van Newton)

- quantum-mechanica (de Schr¨odingervergelijking) - elektromagnetisme (wetten van Maxwell)

- relativiteit (wetten van Einstein)

- de beweging van gassen en vloeistoffen (de Navier-Stokes vgln.) ⇒ de bewegingen van planeten, computers, elektromagnetische straling

(o.a. licht), de werking van GPS, het weer, enz. worden allemaal beschreven door differentiaalvergelijkingen

Doelstellingen

• hetleren opstellen van eenvoudige wiskundige modellen voor diverse problemen die met differentiaalvergelijkingen kunnen beschreven worden • hetbespreken van de eigenschappen van oplossingen van deze

differentiaalvergelijkingen

• het voorstellen van enkele methodendie geschikt blijkenvoor het vinden van oplossingen of, in sommige gevallen, benaderingen ervan

⇒ niet alleen ge¨ınteresseerd in de oplossingen, ook in - eigenschappen en structuur van deze oplossingen - demanier waarop eigenschappen worden bepaald - demanier waarop eigenschappen worden toegepast

• wetenschappelijk onderzoekof een wetenschappelijke aanpak van een probleembegint ´en eindigt met wiskundige modellering

• dat is zo vooralle exacte en toegepaste wetenschappen, en dus ook voor ‘bio-ingenieurswetenschappen’

• De meeste wiskundige modellen zijn gebazeerd op differentiaalvergelijkingen

⇒ In de opleiding tot bio-ingenieur komen Dvgln bijgevolg voor in nagenoeg alle andere cursussen, tenminste voor zover die een wetenschappelijke aanpak uitdragen

Differentiaalvergelijkingen

Theorie

• 26 uren (2 weken: 2 × 2 uren/week + 9 weken: 1 × 2 uren/week) • cursus: Differentiaalvergelijkingen, bij ACCO (uitgave 2010!)

Oefeningen

• 26 uren (1 x 2 uren/week,vanaf volgende week!) • opgaven uit cursus

Examens en zo

. . .

• Januari 2013: open boek examen: cursus en ook het gebruik van een

PORTFOLIOtoegestaan! Dit portfolio bevat: - vademecum van belangrijke formules

- oplossingsmethoden en -strategie¨en (gestructureerd)

- eventueel type- of voorbeeld-oplossingen van gemaakte opgaven ⇒ door ieder van jullieZELF samengesteldenhandgeschreven! • samenstelling: vijf ‘opgaven’

- 1 of 2 ‘theorie’- of inzichtsvragen - 3 of 4 oefeningen

Differentiaalvergelijkingen : inhoud

1 _{Algemene inleiding}

2 _{Complexe getallen en complexe analyse}

3 _{Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste en tweede orde} 4 _{Lineaire differentiaalvergelijkingen van hogere orde}

5 _{Reeksoplossingen van tweede-orde differentiaalvergelijkingen} 6 _{Stelsels van eerste orde differentiaalvergelijkingen}

7 _{Lineaire integraaltransformaties}

8 _{Differentievergelijkingen en numerieke methoden} 9 _{Parti¨ele differentiaalvergelijkingen en Fourier-reeksen}

• onderliggende principes (of ‘wetten’) van het gedrag van onze

natuurlijke omgeving betreffen vaak verbanden aangaande de snelheid (tempo, ritme) van gebeurtenissen

• bij wiskundig vertaling:

- de verbanden wordenvergelijkingen - de snelheden wordenafgeleiden ⇒differentiaalvergelijkingen

⇒ nodig om beter inzicht te krijgen en problemen op te lossen aangaande - de beweging van vloeistoffen en gassen

- dissipatie van hitte in vaste voorwerpen - de voortplanting van seismische golven - de toename en afname van populaties, enz.

Motivatie : wiskundige modellering

• belangrijkste reden voor oplossen Dvgl is vaak iets te leren over het onderliggende fysische proces

⇒ eerder ge¨ınteresseerd in het wiskundige model zelf!

- gevonden oplossing is vaak aanzet om model te verbeteren - nieuwe vergelijking oplossen en evtl. opnieuw aanpassen

⇒ wiskundige model wordt steeds beter, maar ook ingewikkelder • belang van Dvgln schuilt in het feit dat zelfs de meest eenvoudige

vergelijkingen overeenstemmen met nuttige fysische modellen (vb. exponenti¨ele groei en afname, veer-massa systemen, . . . )

• inzicht in complexe natuurlijke processen wordt meestal verkregen door combinaties van basismodellen

• stel de tijd voor door t en de snelheid door v ⇒ v zal functie zijn van t, m.a.w.

v =afhankelijke variabeleen t = onafhankelijke variabele • keuze van eenheden is vrij arbitrair (meestal SI)

• we nemen aan dat v positief is in neerwaartse richting

• 2de wet van Newton: massa (m) × versnelling (a) = netto kracht (F ) ⇒ wiskundig: ma = F

(m in kg, a in m/s2, F in Newton) • versnelling is de afgeleide van de snelheid zodat:

F = mdv

Voorbeeld 1: een vallend voorwerp

- gravitatiekracht = mg , met g = 9, 8 m/s2

- kracht ten gevolge van de luchtweerstand, stel = γv

(γ = weerstandsco ¨effici ¨ent) • gravitatie altijd neerwaarts (in de positieve richting)

weerstandskracht in opwaartse (negatieve) richting zodat: F = mg − γv (t)

⇒ vergelijking (1) wordt:

mdv

mdv

dt = mg − γv (t)

• dit is een wiskundig modelvoor een vallend voorwerp in de atmosfeer • dit model bevat drie constanten, nl. m, g , en γ

- m en γ sterk afhankelijk van vallende voorwerp = parameters

- waarde van g is dezelfde voor elk voorwerp

• oplossing: vind een functie v = v (t) die voldoet aan deze vgl. ⇒ cf. vorig jaar: methode van scheiding van de veranderlijken (opgave!)

Opgave 1: een vallend voorwerp

• DVGL: 10dv

dt = 98 − 2v (t)

⇒ scheiding van de veranderlijken: dv

9, 8 − 0, 2 v = dt ⇒ integreren (substitutie): −5 Z _{d (−0, 2v )} 9, 8 − 0, 2 v = Z dt ⇒ uitwerken: ln|9, 8 − 0, 2 v | = −t/5 + C0 ⇒ exponent nemen: 9, 8 − 0, 2 v =eC0e−t/5 ⇒ herschrijven (met C = −5 eC0): v = 49 +Ce−t/5

mdv

dt = mg − γv (t)

• dit is een wiskundig modelvoor een vallend voorwerp in de atmosfeer • dit model bevat drie constanten, nl. m, g , en γ

- m en γ sterk afhankelijk van vallende voorwerp = parameters

- waarde van g is dezelfde voor elk voorwerp

• oplossing: vind een functie v = v (t) die voldoet aan deze vgl. ⇒ cf. vorig jaar: methode van scheiding van de veranderlijken (opgave!)

voor m = 10 kg en γ = 2 kg/s:

v (t) = 49 + C e−t/5 (3)

–20 0 20 40 60 80

v

t

Vijf verschillende oplossingen van vgl. (2) voorm = 10kg,γ = 2kg/s env (0)respectievelijk gelijk aan -20, 10, 30, 70 en 90.

• beschouw populatie veldmuizen in een bepaald landbouwgebied • als geen roofdieren ⇒ tempo groei populatie ∼ ] dieren

(gebruikelijke beginhypothese in populatiedynamica) • t = tijd, p(t) = ] dieren in populatie ⇒

dp

dt = rp(t) (4)

met r de groeisnelheid

Voorbeeld 2: veldmuizen en uilen

• bijkomende complicatie: in zelfde gebied leven ook verschillende uilen • stel: uilen eten samen 15 muizen per dag

⇒ term toevoegen aan de differentiaalvergelijking : dp

dt = 0, 5p(t)−450 (5)

Merk op: roofterm = -450 (6= −15wegenstin maanden (30 d))

• DVGL: dp dt =

p(t) 2 − 450

⇒ scheiding van de veranderlijken: _p(t)dp

2 − 450 = dt ⇒ integreren (substitutie): 2 Z dp/2 p(t) 2 − 450 = Z dt ⇒ uitwerken: ln|p(t) 2 − 450| = t/2 + C 0 ⇒ exponent nemen: p(t) 2 − 450 =e C0_et/2 ⇒ herschrijven (met C = 2 eC0_{): p = 900 +Ce}t/2

Voorbeeld 2: veldmuizen en uilen

p(t) = 900 + C et/2 (6)

met C willekeurige (integratie-)constante, te bepalen via BVW p(0) • meer algemene vorm van deze vergelijking :

dp

dt = rp(t) − k, (7)

met r = groeisnelheid en k =roofsnelheid

• evenwichtsoplossing van vgl. (7) is natuurlijk p = k/r ⇒ Maple-demo (ode-vb2.mws)

–1000 –500 0 500 1000 1500

p

t

Vijf verschillende oplossingen van vgl. (5) voorp(0)respectievelijk gelijk aan 800, 850, 890, 910 en 950.

Opmerkingen

• vgl. (7) lijkt sterk op vgl. (2)

• in beide gevallen is er een evenwichtsoplossingdie toenemende oplossingen scheidt van afnemende oplossingen

⇒ cf. Maple demo’s:

in vb 1: andere oplossingen convergerennaar evenwichtsoplossing in vb 2: andere oplossingen divergerenweg van evenwichtsoplossing

⇒evenwichtsoplossing komt in praktijk nooit voor!

⇒ toch is de evenwichtsoplossing erg belangrijk om te begrijpen hoe de oplossingen van de differentiaalvergelijkingen zich gedragen!

• beide modellen hebben natuurlijk hunbeperkingen:

- eerste model (2) is enkel geldig zolang het voorwerp een vrije val uitoefent, zonder botsingen, wind, enz.

- populatiemodel (5) voorspelt negatieve aantallen muizen als p(0) < 900 en enorm grote aantallen als p(0) > 900

⇒ beide oplossingen worden na korte tijd onrealistisch, zodat deze modellen vrij snel onaanvaardbaar worden

Wiskundige modellen bouwen

• om andere modellen op te stellen moet je begrijpen dat elk probleem anders is

• het construeren van een bevredigend wiskundig model is vaak het moeilijkste deel van het probleem

• stappen die (vaak) deel uitmaken van dit proces:

Identificeer de afhankelijke en onafhankelijke variabelenen geef ze een naam (letter). De tijd is vaak de onafhankelijke veranderlijke.

Kies eenheden om elke variabele te meten. Deze keuze is eigenlijk arbitrair maar sommige keuzes kunnen handiger zijn dan andere.

Beklemtoon het onderliggende basisprincipe van het probleem, bv. een herkenbare fysische wet (zoals de wet van Newton) maar ook een meer speculatieve aanname gebazeerd op je eigen ervaring of

• stappen die (vaak) deel uitmaken van dit proces (vervolg):

Druk het principe of de natuurwet uit de vorige stap uit in termen van de variabelen die je gekozen hebt in stap 1. Dit is makkelijker gezegd dan gedaan! Het kan zijn dat je hiervoor fysische constanten moet invoeren (zoals in vb 1) en er benaderende waarden voor moet bepalen; hulpveranderlijken. . .

Controleer of elke term in je vergelijking dezelfde eenheden heeft.

Indien dit niet het geval is, is je vergelijking fout! Als dit wel het geval is, kan er natuurlijk nog iets anders fout zijn.

In de problemen die we hier bespraken, was het resultaat van stap 4 een enkele vergelijking die het begeerde wiskundige model

bepaalde. Voor meer complexe problemen kan het mathematische model echter ingewikkelder zijn en bijvoorbeeld zelfs uit meerder differentiaalvergelijkingen bestaan. . .zie later

5 min. PAUZE

‘The whole point of mathematics is to solve differential equations!’

Def.: Een differentiaalvergelijking, en meer bepaald een gewone dif-ferentiaalvergelijkingis een vergelijking waarin een re¨ele of com-plexe functie y van ´e´en re¨ele veranderlijke x optreedt, samen met een aantal afgeleiden van deze functie. Ook x , deonafhankelijke variabelegenoemd, mag voorkomen in de vergelijking.

• t (voor ‘tijd’) vaak gebruikt als onafhankelijke variabele (cf. vbn) • andere voorbeelden van differentiaalvergelijkingen :

y00(x ) + 2y0(x ) + y (x ) = 0, y00(x ) y (x ) + cos(x ) y (x ) = sin(x ), y(3)(x ) + y00(x ) y (x ) x = 1.

Gewone differentiaalvergelijkingen

φ(y(n)(x ), y(n−1)(x ), . . . , y0(x ), y (x ), x ) = 0, (8) waarbij φ een re¨ele functie is vann + 2 veranderlijken

• de hoogste orde afgeleide n van y die optreedt = de orde

• als y(n)(x ) expliciteerbaar, dan alternatieve vorm voor (8):

y(n)(x ) = F (y(n−1)(x ), . . . , y0(x ), y (x ), x ), (9) = de normale vormvan vgl. (8)

Voorbeeld: de normale vorm van y00(x ) y (x ) + cos(x ) y (x ) = sin(x ) is y00(x ) = sin(x )

y (x ) − cos(x)

• hier enkel differentiaalvergelijkingen die in normale vorm kunnen geschreven worden

• zoniet dubbelzinnigheden mogelijk, bv.

y02(t) + t y0(t) + 4y (t) = 0, leidt tot de twee vergelijkingen

y0(t) = −t +pt

2_{− 16y (t)}

2 of y

0_{(t) =} −t −pt2− 16y (t)

Gewone differentiaalvergelijkingen

- alle oplossingen zoeken, d.w.z. alle y die voldoen aan vgl. (8) =algemene oplossing van de differentiaalvergelijking - ´e ´enoplossing van de Dvgl vinden = particuliere oplossing

- ´e ´en(unieke!) oplossing, die ook nog aan bepaalde extra voorwaarden moet voldoen, meestal beginvoorwaarden, i.e. VWn van de vorm

y (x0) = y0, y0(x0) = y1, . . . , y(n−1)(x0) = yn−1,

• y0(x ) = y (x ) heeft alsalgemene oplossingy (x ) = cex, waarbij c ∈ C ⇒ als volgt interpreteren:

- dealgemene oplossing = {y (x ) = cex | c ∈ C} - eenparticuliere oplossing is y (x ) = ex

Gewone differentiaalvergelijkingen

• fundamentele vraag:

kunnen we elke differentiaalvergelijking wel oplossen? - m.a.w. kunnen we altijd een oplossing vinden?

- en kunnen we altijdalle oplossingen vinden?

Stelling 1.1 :

Als in de differentiaalvergelijkingy(n)(x ) = F (y(n−1)(x ), . . . , y0(x ), y (x ), x )

de functieF en haar parti ¨ele afgeleiden ∂F

∂y, ∂F ∂y0,. . . ,

∂F

∂y(n−1) bestaan en

continu zijn in een zeker open deelDvanRn+1, en als(yn−1, . . . , y1, y0, x0)

een punt is van D, dan bestaat er ´e ´en en juist ´e ´en oplossing y (x ) van

y(n)(x ) = F (y(n−1)(x ), . . . , y0(x ), y (x ), x )die voldoet aan de beginvoor-waarden

Bestaans- en ´

e´

enduidigheidsstelling

∂y, ∂F ∂y0,. . . ,

∂F

∂y(n−1) als volgt interpreteren: de

functieF is een functie vann + 1veranderlijken. Noemen we deze

(u1, . . . , un, un+1), dan moeten ∂F ∂u1 , ∂F ∂u2 ,. . . , ∂F ∂un continu zijn. Voorbeeld:

Bekijk de differentiaalvergelijking y00(x ) = y (x )y0(x ) + x2, dan is dus F (y0(x ), y (x ), x ) = y (x )y0(x ) + x2. In de veranderlijken (u1, u2, u3) geeft

dit F (u1, u2, u3) = u1u2+ u32. F is continu en ook

∂F ∂u1 = u2 en ∂F ∂u2 = u1

zijn continu. Dus voldoet F aan de eisen van Stelling 1.1. Merk op: over ∂F

• Dvgl van de n-de orde oplossen ⇒ n integraties uitvoeren ⇒nintegratieconstanten

voorbeeld: y(n)(x ) = 0

• algemene oplossing: y (x ) = c1xn−1+ . . . + cn−1x + cn

• voor particuliere oplossing: integratieconstanten bepalen via BVWn • Bijvoorbeeld BVWn : y (0) = 1, y0(0) = 0, . . . , y(n−1)(0) = 0

⇒ cn= 1 en c1 = . . . = cn−1 = 0

Classificatie van differentiaalvergelijkingen

• voornaamste doelstellingen van deze cursus :

- het leren opstellen van eenvoudige wiskundige modellenvoor diverse problemen die met Dvgln kunnen beschreven worden

- het bespreken van de eigenschappen en de structuur van de oplossingen

- het voorstellen van enkele (evtl. benaderende) oplossingsmethoden

• onbekenden in Dvgln kunnen re¨ele of complexe functies zijn van ´e ´en of van meerdere onafhankelijke variabelen

- ´e´en onafhankelijke variabele ⇒ enkel gewone afgeleiden in Dvgl ⇒gewone differentiaalvergelijking, cf. VBn begin les

- meerdere onafhankelijke variabelen ⇒ parti¨ele afgeleiden in Dvgl ⇒parti ¨ele differentiaalvergelijking

vb.: golfvergelijking: ∂ 2_{u(x , t)} ∂t2 = v 2 ∂2u(x , t) ∂x2 , met v 2 _{fys. const.} vb.: warmtevergelijking: ∂u(x , t) ∂t = α 2∂2u(x , t) ∂x2 met α 2 _{fys. const.}

Sytemen van differentiaalvergelijkingen

• er kunnen meerdere onbekende functies voorkomen in een Dvgl ⇒ ook classificatie volgens het aantal afhankelijk veranderlijken mogelijk

• twee of meer onbekende functies ⇒ meer Dvgln nodig ⇒systeem van differentiaalvergelijkingen

• vb.: Lotka-Volterra systeem of de roofdier-prooi vergelijkingen: dx

dt(t) = ax (t) − αx (t)y (t),

(10) dy

dt(t) = −cy (t) + γx(t)y (t),

met x (t) en y (t) de resp. populaties van prooi- en roofdieren - constanten a, α, c en γ bepaald via empirische waarnemingen

• deorde van een Dvgl is de orde van de hoogste afgeleide die in de vergelijking voorkomt

voorbeelden:

• de twee voorbeelden in begin les waren van deeerste orde

• warmtevergelijking en golfvergelijking zijn parti¨ele Dvgln van de tweede orde

• vergelijking

y000(t) + 2ety00(t) + y (t)y0(t) = t4 is een Dvgl van de derde orde voor y (t)

Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen

• de gewone Dvgl φ(y(n)(x ), y(n−1)(x ), . . . , y0(x ), y (x ), x ) = 0, is lineairals φ een lineaire functie is van de variabelen y , y0, . . . , y(n) • voor parti¨ele Dvgln geldt een gelijkaardige definitie

⇒ dealgemene lineaire gewone Dvgl is dus van de vorm

a0(t)y(n)(t) + a1(t)y(n−1)(t) + · · · + an(t)y (t) = g (t) (∗)

• cf. de meeste voorbeelden tot nu toe:

- de twee voorbeelden aan het begin van deze les

• een vgl. die niet van de vorm (∗) is, is een niet-lineairevgl. voorbeelden:

- y000(t) + 2ety00(t) +y (t)y0(t)= t4

- oscillerend pendulum : hoek θ dat een oscillerend pendulum van lengte L maakt met de verticale richting voldoet aan de vergelijking

d2θ dt2(t) +

g

Lsinθ(t)= 0 (11)

⇒ voor kleine θ(t) geldt : sinθ(t) ≈ θ(t) ⇒ d2θ

dt2(t) +

g

Lθ(t)= 0 (12)