DVGLn 2012-2013 - les02_handout

(1)

Stefaan Poedts

(2)

1 _{Algemene inleiding}

2 _{Complexe getallen en complexe analyse}

3 _{Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste en tweede orde} 4 _{Lineaire differentiaalvergelijkingen van hogere orde}

5 _{Reeksoplossingen van tweede-orde differentiaalvergelijkingen} 6 _{Stelsels van eerste orde differentiaalvergelijkingen}

7 Lineaire integraaltransformaties

8 Differentievergelijkingen en numerieke methoden 9 Parti¨ele differentiaalvergelijkingen en Fourier-reeksen

(3)

•

- natuurlijke, gehele, rationale, en re¨ele getallen - complexe getallen

• Meetkundige benadering

• Complexe vectorruimten

• Complexe analyse

- Limieten en continu¨ıteit

- Afgeleide en complex analytische functies - De Cauchy-Riemann-voorwaarden

- Machtreeksen

(4)

Motivatie

• verschillende ‘soorten’ getallen : natuurlijke getallen, re¨ele getallen, complexe getallen, quaternionen, enz.

• allerlei bewerkingen, bv. optellen, vermenigvuldigen, enz. ⇒ is onderwerp van‘algebra’

• hier :

- complexe getallen: invoeren vanuit een algebra¨ısch standpunt - complexe getallen: een meetkundige interpretatie

(5)

Motivatie

• complexe getallen en vooral ook de complexe analyse zijn nogal

belangrijk voor de theorie en de praktische toepassingen van Dvgln

⇒ oplossingen van Dvgln vaak in termen van complexe functies (zelfs als het differentiaalvergelijkingen betreft met reële coëfficiënten)

redenen :

• complexe notatie compacteren handig(er)om te rekenen (optellen en vermenigvuldigen van oplossingen, lineaire combinaties van oplossingen, enz.)

• stelling van d’Alembert garandeert dat elke veeltermvergelijking een oplossing heeft inC

(6)

Natuurlijke getallen, N

• eenvoudigste getallen : N ={0, 1, 2, 3, 4, . . . }

• optelling en vermenigvuldiging zijn inwendige bewerkingen in N

• problemen bij ‘-’ : 3− 4 6∈ N

⇒ vergelijking 4 + x = 3 is niet oplosbaar in N

⇒ verzameling natuurlijke getallenuitbreiden : oplossingen van deze vergelijkingen erbij nemen. . .

(7)

Gehele getallen, Z

• −1, −2, −3, −4, . . . toevoegen aan N :

Z ={. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }

⇒ elke vgl. van de vorm x + a = b waarbij a, b∈ Z heeft oplossing in Z

• problemen bij deling: de vergelijking 2x = 3 heeft geen oplossing in Z

(8)

Rationale getallen, Q

• Q is op haar beurt een uitbreiding van Z: Q = nm n | m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0 o , per def.: m n = p q ⇔ mq = np (in Z) ⇒ n∈ Z = n 1 ∈ Q

• optelling en vermenigvuldiging worden van Z uitgebreid tot Q: m n + p q = mq + np nq en m n × p q = mp nq • ook x

y kan met x , y ∈ Q als y 6= 0

⇒ vergelijking ax + b = c met a, b, c ∈ Q, a 6= 0is oplosbaar inQ

• ‘tekortkomingen’ (i.v.m. ‘volledigheid’)

(9)

Re¨

ele getallen, R

• re¨eel getal = willekeurig (al dan niet repeterend) decimaal getal, dus een getal van de vorm 759,4396196. . .

• definitie + en _{× zodat R, +, × =}veld

• bepaling orderelatie _≤ _⇒ totaal geordend veld

• volledigheid_{: verschil tussen R en Q}

⇒ in R meer vergelijkingen op te lossen dan in Q vb.: x2 = 2 heeft twee oplossingen in R, nl.±√2

• opm : de uitbreiding gaat veel verder dan dat:

R bevat bv. ook ‘transcendente’ getallen, zoals π, e,. . .

(10)

Complexe getallen, C

Def.: De verzameling van decomplexe getallenwordt voorgesteld door C en wordt gedefinieerd door

C = R2 ={(a, b) | a, b ∈ R} .

• optelling wordt als volgt gedefinieerd op C:

(11)

• definitie van de vermenigvuldiging _{in C:}

(a, b)(c, d ) = (ac_{− bd, ad + bc)} ⇒commutatief (check!)

⇒ (1, 0) is het neutraal element (check!)

⇒ elk complex getal (a, b) 6= (0, 0) heeft ook een invers element, nl. a a2_+b2, −b a2_+b2 (check!)

• C is met deze twee bewerkingen een veld (ga na!)

⇒ uitbreiding van het veld van de re¨ele getallen: a = (a, 0) ⇒ a is hetre ¨eel deel, b is hetimaginair deel van (a, b)

(12)

Belangrijke alternatieve notatie : (0, 1) = i

• i2= i _{· i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1} ⇒ x2_{+ 1 = 0 heeft als oplossingen} _±i

• (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)· (0, 1) = a + bi opm.: a + 0i _{≡ a en 0 + bi ≡ bi}

⇒ makkelijker om te rekenen, bv.

(x1+ iy1) · (x2+ iy2) = x1x2+ ix1y2+ ix2y1+i2y1y2= x1x2−y1y2+ i (x1y2+ x2y1)

• voer twee re¨ele functies in op de complexe getallen:

< : C → R : x + iy 7→ <(x + iy) = x re ¨ele deel

(13)

Stelling van d’Alembert

• heeft elkeveeltermvergelijking a0xn+ a1xn−1+ . . . + an= 0 nu

oplossingen in C, of moeten we C nog groter maken?

Stelling 2.1 :

Elke niet constanten-de graadsveeltermP(z) = a0zn+ a1zn−1+ . . . + an

met complexe co ¨effici ¨entena0, . . . , anheeft een nulpunt inC, i.e. er bestaat

eenc _{∈ C}zodatP(c) = 0.

• verder uitbreiden hoeft dus niet (maar kan wel)

(14)

Stelling van d’Alembert: belangrijk GEVOLG

Elke n-de graadsveelterm P(z) = a0zn+ a1zn−1+ . . . + an met complexe

co¨effici¨enten a0, . . . , an kan geschreven worden als

P(z) = a0(z − c1)m1(z − c2)m2· · · (z − ck)mk,

waarbij c1, . . . , ck de nulpunten zijn van P met respectievelijke

multiplici-teiten m1, . . . , mk.

Stand van zaken:

(15)

Meetkundige benadering

• complexe getallen te interpreteren als punten in het vlak:

met elke z = x + iy = (x , y )_{∈ C kunnen we een punt in R}2 laten overeenkomen met co¨ordinaten x =<z en y = =z

⇒ men noemt C soms hetcomplexe vlak

6 -imaginaire as re¨ele as • y x z = x + iy r θ

(16)

Def.: Hetcomplex toegevoegde van een complex getal a + bi wordt genoteerd als a + bi , en wordt als volgt gedefinieerd:

a + bi = a− bi.

Demodulus van een complex getal a + bi noteert en defini¨eert men als

|a + bi| =pa2_{+ b}2_.

Opmerkingen:

• (a + bi )(a + bi ) = a2+ b2≥ 0 ⇒ modulus van z ∈ C = |z| =√zz

• als z1 = x1+ iy1 en z2= x2+ iy2 twee complexe getallen zijn, dan is

|z1− z2| =p(x1− x2)2+ (y1− y2)2 de afstand tussen z1 en z2

(17)

De afstand tussen z

1

en z

2 6

-imaginaire as

re¨ele as

•

• y

1

y

2

y

1

− y

2

x

1

x

2

x

1

− x

2

z

1

= (x

1

, y

1

)

z

2

|z

1

− z

2

|

(18)

Eigenschappen

Eigenschap 2.1 : 1 _{z = z,} 2 _z₁_{+ z}₂ _{= z}₁_{+ z}₂_, 3 z₁z₂ = z₁z₂, 4 <z = 1 2(z + z) en=z = 1 2i(z− z), 5 1 z = z |z|2, voor z 6= 0 6 |z| = |z|, 7 |z₁z₂| = |z₁||z₂|, 8 |z₁_{+ z}₂| ≤ |z₁| + |z₂| (de driehoeksongelijkheid).

(19)

Polaire vorm

• gebruik maken van poolco¨ordinaten : a = r cosθ, b = r sinθ

6 -imaginaire as re¨ele as • b a z = a + bi r θ

(20)

Polaire vorm

• gebruik maken van poolco¨ordinaten : a = r cosθ, b = r sinθ

⇒ polaire schrijfwijze vanz: z = a + ib = r cosθ + ir sinθ = r (cosθ + i sinθ)

• gevolg: _|z|2 = r2(cos2θ + sin2θ) = r2 _⇒ _{|z| = r}

• θ is het argumentvan z, voor z _{6= 0 is} z

|z| = cosθ + i sinθ ⇒ θ is bepaald door < z

|z| = cosθ en = z

|z| = sinθ ⇒ θ enkel bepaald op een geheel veelvoud van 2π na ⇒ de −π < θ ≤ π noemen we het hoofdargumentvan z

(21)

Voorbeeld

• we bepalen de polaire schrijfwijze van z = 1 + i

• de modulus van z is √1 + 1 =√2

• het hoofdargument van z wordt bepaald door cosθ =_< z |z| = 1 √ 2 en sinθ == z |z| = 1 √ 2 ⇒ θ = π 4

⇒ polaire schrijfwijze : z =√2(cosπ 4 + i sin

π 4)

(22)

Polaire vorm : nut

• heel nuttig om het product van twee complexe getallen te interpreteren

• stel z1 = r1(cosθ1+ i sinθ1) en z2= r2(cosθ2+ i sinθ2), dan

z1z2 = r1r2(cosθ1+ i sinθ1)(cosθ2+ i sinθ2)

= r1r2((cosθ1cosθ2− sinθ1sinθ2) + i (sinθ1cosθ2+ cosθ1sinθ2))

= r1r2(cos(θ1+ θ2) + i sin(θ1+ θ2))

⇒ complexe getallen vermenigvuldigen: moduli vermenigvuldigen, argumenten optellen

(23)

Formule van de Moivre

Stelling 2.2 :

Zijn∈ N0, dan is (cosθ + isinθ)n=cos(nθ) + isin(nθ).

Bewijs:

• bewijs door volledige inductie, basis: voor n = 1 is de formule triviaal

• inductiestap: stel dat formule juist is voorn en bewijzen ze voor n + 1

(cosθ + i sinθ)n+1 = (cosθ + i sinθ)(cosθ + i sinθ)n = (cosθ + i sinθ)(cos(nθ) + i sin(nθ))

= (cosθcos(nθ) − sinθsin(nθ))+ i(cosθsin(nθ) + cos(nθ)sinθ)

= cos(θ + nθ)+ isin(θ + nθ)

= cos((n + 1)θ)+ isin((n + 1)θ)

(24)

Formule van de Moivre : nut

• oplossing vergelijkingenvan de vorm zn= c met c _{∈ C}

(naar z, i.e. alle getallen z zoeken zodat zn_{= c)}

• schrijf zowel z als c in de polaire vorm : c =_{|c|(cosθ + isinθ) en z = ρ(cosφ + isinφ)} ⇒ zn=ρn(cosnφ+ i sinnφ) =_|c|(cosθ+ i sinθ) ⇒ρ =p|c|n _en _{nφ = θ + 2kπ} _{voor een k} _{∈ Z} ⇒ oplossingen voor zn= c : zk =p|c|n cos θ n + 2kπ n + i sin θ n + 2kπ n

(25)

Het bijzondere geval n = 2

• vgl. z2 = c = a + ib met a, b _{∈ R}kan ook op een andere manier opgelost worden

• stel z = x + iy met x , y _{∈ R, dan vinden we uit z}2= c = a + ib

x2_{− y}2 =_{<(c) = a,} 2xy ==(c) = b.

⇒ uit 2de vgl.: y = _2xb, substitu¨eren in 1ste vergelijking: x2₋ b

2x 2

= a.

(26)

Het bijzondere geval n = 2

• Voor meer algemene complexe vierkantsvergelijkingen

αz2+ βz + γ = 0, met α, β, γ _{∈ C en α 6= 0 vinden we als opln.}

zi = −β + di

2α , i = 1, 2,

waarbij d1 en d2 de oplossingen zijn van z2= β2− 4αγ (te bepalen

(27)

Complexe vectorruimten

• C is een veld ⇒ vectorruimten te bestuderen over C

• verzameling V, uitgerust met + : V× V→ V: (v , w )7→ v + w en C× V → V : (c, v) 7→ cv is eencomplexe vectorruimteals voor alle u, v , w _{∈ V en}alleλ, µ_{∈ C :}

u + (v + w ) = (u + v ) + w v + w = w + v

∃0 ∈ V : ∀v ∈ V : v + 0 = v

∀v ∈ V ; ∃ − v ∈ V : v + (−v) = 0 (i.e.V, + is comm. groep)

λ(v + w ) = λv + λw (λ + µ)v = λv + µv (λµ)v = λ(µv ) 1v = v

(28)

Complexe vectorruimten

• typevoorbeeld : Cn=_{(z1, . . . , zn)| zk ∈ C}

• cf. re¨ele vectorruimten : lineaire (on)afhankelijkheid, basis, dimensie, lineaire deelruimten,. . . defini¨eren

• elke complexe vectorruimte is ook een re ¨ele vectorruimte, omdat R⊂ C rv := (r + 0i )v , voldoet triviaal aan alle eisen

(29)

Complexe vectorruimten

Eigenschap 2.2 :

AlsVeen complexe vectorruimte is met (complexe) dimensien _{∈ N}, dan is

Veen re ¨ele vectorruimte met (re ¨ele) dimensie2n.

• als _{v1, . . . , vn} basis is van V , als complexe vectorruimte

dan is {v1, iv1, . . . , vn, ivn} een basis van V , bekeken als re¨ele

vectorruimte

(30)

PAUZE

When you have eliminated the impossible, what ever remains, however improbable must be the truth.

(31)

Limieten en continu¨ıteit

• stel f : D⊂ C → C : z 7→ f (z) een functie

• stel z0∈ C en f gedefinieerd in omgeving van z0, eventueel uitgezonderd

in z0; m.a.w. stel dat f gedefinieerd is ∀z : 0 < |z − z0| < R ∈ R+0

• dan : lim z→z0 f (z) =L _⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 : ∀z ∈ D : 0 < |z − z0| < δ ⇒ |f (z) −L| < • f is continuin z0 ∈ D ⇔ lim z→z0 f (z) =f (z0), i.e. ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0 : ∀z ∈ D : 0 < |z − z0| < δ ⇒ |f (z) −f (z0)| <

(32)

Afgeleide van f

Def.: We zeggen dat een functie f : D⊂ C → C : z 7→ f (z) afleidbaar

is in z0 ∈ D als en slechts als

lim

h→0

f (z0+ h)− f (z0)

h

bestaat. We noemen dan deze limiet deafgeleidevan f in z0, en

we noteren dit getal door f0(z0), i.e.

f0(z0) = lim h→0

f (z0+ h)− f (z0)

h .

(33)

Afgeleide van f : voorbeelden

Als f (z) = z2, dan is f0(z0) = lim h→0 (z0+ h)2− z02 h = lim h→0 z₀2+ 2z0h + h2−z02 h = lim h→0 2z0h + h2 h = 2z0

en dus is f0(z0) = 2z0 voor alle z0

(34)

Afgeleide van f : voorbeelden

• beschouw f (z) = z : f0(z0) = lim h→0 z0+ h− z0 h =h→0lim h h

• stel h voor door h = x + iy _⇒ nagaan of lim

x +iy →0

x− iy

x + iy bestaat

- stel h re¨eel, dus h = x , dan is h h =

x x = 1

- stel h imaginair, dus h = iy , dan is h h =

−iy iy =−1

⇒ ∀δ, er bestaat altijd een h met 0 < |h| < δ en h

h = 1 (bv. h = δ/2) en er bestaat altijd een h met 0 <_{|h| < δ en} h

h =−1 (bv. h = iδ/2)

(35)

Afgeleide van f : opmerking

• in definitie afleidbaarheid van een functie f : D_{⊂ C → C : z 7→ f (z)} veronderstellen we impliciet dat f gedefinieerd is voor alle z dicht genoeg bij z0 (en in z0)

⇒ z0 moet een inwendig puntzijn van D

Def.: z0is eeninwendig puntvan D als er een δ > 0 bestaat zodat geldt

dat, als _{|z − z}0| < δ, dan automatisch z ∈ D. Een verzameling

D⊂ C waarvoor elk punt z0 ∈ D een inwendig punt is noemt men

(36)

Analytische functies

Def.: Stel dat f : D⊂ C → C : z 7→ f (z) een functie is, gedefinieerd op een open verzameling D_{∈ C. Dan zeggen we dat f} analytisch is als f afleidbaar is voor elke z_{∈ D.}

⇒ hebben dezelfde eigenschappen als re¨ele afleidbare functies, bv.: (af + bg )0= af0+ bg0 voor alle a, b∈ C

(fg )0= f0g + fg0

(37)

De Cauchy-Riemann-voorwaarden

• stel f : D_{⊂ C → C : z 7→ f (z) is analytisch}

• definieer twee functies u, v : D_{⊂ C =}R2 → Ren schrijf f als

f (x + iy ) = u(x , y ) | {z } u(x ,y )=<(f (x +iy )) +i v (x , y ) | {z } v (x ,y )==(f (x +iy )) • bereken f0(z) = lim h→0 f (z + h)_{− f (z)}

h nu op twee manieren, nl. door h = a + bi op verschillende manieren naar 0 te laten gaan

(38)

De Cauchy-Riemann-voorwaarden

1) laat h langs de re¨ele as naar 0 naderen, dus h = a∈ R, dan is f0(z) = lim h→0 f (z + h)_{− f (z)} h = lima→0 f (z + a)_{− f (z)} a = lim a→0

u(x + a, y ) + iv (x + a, y )_{− u(x, y) − iv(x, y)} a = lim a→0 u(x + a, y )_{− u(x, y)} a + i lima→0 v (x + a, y )_{− v(x, y)} a = ∂u ∂x(x , y ) + i ∂v ∂x(x , y ) • in verkorte notatie ux := ∂u ∂x en vx := ∂v ∂x : f 0 _{= u} x + ivx

(39)

De Cauchy-Riemann-voorwaarden

2) laat h langs de imaginaire as naar 0 naderen, dus h = bi , dan is f0(z) = lim h→0 f (z + h)_{− f (z)} h = limb→0 f (z + bi )_{− f (z)} bi = lim b→0

u(x , y + b) + iv (x , y + b)_{− u(x, y) − iv(x, y)} bi = 1 i b→0lim u(x , y + b)_{− u(x, y)} b + limb→0 v (x , y + b)_{− v(x, y)} b = 1 i ∂u ∂y(x , y ) + ∂v ∂y(x , y ) • in verkorte notatie : f0 = 1 iuy + vy = 1 i(uy+ ivy) = vy− iuy

(40)

De Cauchy-Riemann-voorwaarden

• twee resultaten vergelijken:

ux = vy

vx =−uy

• deze voorwaarden noemt men de Cauchy-Riemann-voorwaardenvoor een analytische functie

⇒ we bewezen dus dat elke analytische functie voldoet aan de Cauchy-Riemann-voorwaarden

(41)

Stelling van Cauchy-Riemann

Stelling 2.3 :

Gegeven zijn twee re ¨ele functiesuenv van twee re ¨ele veranderlijkenxen

y. Veronderstel datu en v op een open gebied D ⊆ R2 _{continu zijn en}

er ook continue parti ¨ele afgeleiden hebben. Dan is de complexe functief,

gedefinieerd doorf (x + iy ) = u(x , y ) + iv (x , y ), analytisch opD(als_{⊆ C}

beschouwd)als en slechts als de Cauchy-Riemann-voorwaarden gelden in

D.

• bewijs is vrij lang en technisch, we laten het vallen

• stelling van Cauchy-Riemann is uitermate belangrijk om na te kijken of een zekere functie al dan niet analytisch is

(42)

De complexe exponenti¨

ele functie

Def.: We defini¨eren de complexe exponenti ¨ele functieexp door

exp : C→ C : z = x + iy 7→ exp(z) = ez = ex + iy .

• cf. ‘Calculus’: eiy := cosy + i siny (formule van Euler)

⇒ ez = ex(cosy + i siny ) : opgebouwd uit re¨ele exp, sin en cos

(43)

De complexe exponenti¨

ele functie

De volgende eigenschappen gelden: 1 exp is analytisch op C

2 _exp0_{(z) = exp(z) = ez} 3 _ez1+ z2 _{= ez}1_ez2

Bewijs:

• ex + iy = ex (cosy + i siny ) _{⇒ u(x, y) = ex cosy en v(x, y) = ex siny} daarom is ux = ex cosy , vy = ex cosy ,

en uy =−ex siny, vx = ex siny ,

en dus zijn de Cauchy-Riemann-voorwaarden voldaan en is exp analytisch

(44)

De complexe exponenti¨

ele functie

De volgende eigenschappen gelden: 1 ez is analytisch op C

2 exp0(z) = exp(z) = ez 3 ez1+ z2 = ez1ez2

Bewijs:

• uit Cauchy-Riemann-voorwaarden volgt dan dat

exp0(z) = ux + ivx = ex cosy + iex siny = ez

(45)

Opmerking

• als y ∈ R, dan is eiy = cosy + isiny (formule van Euler)

⇒ de polaire vorm van een complex getal kan geschreven worden als z =|z|(cosθ + isinθ) = |z|ei θ

⇒ laat toe om makkelijk met complexe getallen te werken

bv.: somformule en formule van de Moivre worden :

z1z2 = |z1|ei θ1|z2|ei θ2 =|z1||z2|ei (θ1+ θ2)

ei θ

n

(46)

Nog een opmerking

• uit definitie is duidelijk dat ez = ez + 2πki voor elke k _{∈ Z}

⇒ de complexe exponenti¨ele functie isniet injectief!

⇒ een complexe logaritmische functie is dus niet zomaar beschikbaar

• opm.: voor de re¨ele getallen is logaritmische functie nodig om bijvoorbeeld 2

√

2_{= e}√2 (ln2) te defini¨eren

⇒ zz2

1 heeft niet zomaar zin voor alle z1, z2 ∈ C

• beperking tot positieve re ¨ele getallen a_{∈ R}+₀ ⇒ voor alle z ∈ C:

(47)

Machtreeksen

Def.: Zij z0 ∈ C en zij a0, a1, a2, . . . een oneindige rij complexe getallen,

dan noemen we

∞

X

n=0

an(z − z0)n= a0+ a1(z − z0) + a2(z− z0)2+ . . .

eenmachtreeks met centrumz0.

Ook hier zijn alle bewijzen analoog aan de bewijzen voor R, en dus formuleren we de volgende resultaten zonder bewijs

(48)

Machtreeksen

Stelling 2.4 :

Voor elke machtreeks ∞

X

n=0

an(z− z0)nbestaat er een getalR ∈ R+∪ {∞}

zodat voor allez _{∈ C}geldt dat

           |z − z0| < R ⇒ ∞ X n=0 an(z− z0)n convergeert |z − z0| > R ⇒ ∞ X n=0 an(z− z0)n divergeert.

We noemen het getalRdeconvergentiestraalvan de machtreeks.

(49)

Convergentiestraal

cf. grafische voorstelling complexe getallen in plat vlak, beschouw machtreeks rond a = 0. I x R x x

Σ

c_kxk Rc

(50)

Convergentiestraal

• Voorbeeld: convergentie straal voor meetkundige reeks

∞ X k=0 xk voor |x|<1 = 1 1 1− x = i 1 k x

Σ

R_c

(51)

Wat bij overgang op assenstelsel gecentreerd opa = 0.5? ⇒ coordinaten x = (xR, xI)→ x0= (xR0, xI0) gerelateerd via

x =xR+ ixI =(xR0 + 0.5)+ ixI0 = x0+ 0.5

⇒ OPGAVE: wat is de convergentiestraal rond a = 0.5?

⇒ vandaar ook ∞ X k=0 xk = 1 1_{− x} = ∞ X k=0 (x0+ 0.5)k = 1 0.5_{− x}0

⇒ convergentiestraal rond a = 0.5 is dus 0.5!

voor |x|<1 = 1 1 1− x = i 1 k x

Σ

R_c

(52)

Machtreeksen

Stelling 2.5 :

Stel dat de machtreeks ∞

X

n=0

an(z−z0)nconvergentiestraalRheeft. Definieer

dan de functief (z) =

∞

X

n=0

an(z− z0)nvoor allezmet|z − z0| < R. Dan isf

analytisch op_{{z | |z −z}0| < R}en bovendien isf0(z) = ∞ X n=1 ann(z−z0)n−1 en heeft de reeks ∞ X n=1 ann(z− z0)n−1opnieuw convergentiestraalR.

(53)

Stelling van Cauchy

Stelling 2.6 :

Zijf een analytische functie op een domeinD _{⊂ C}, dan is ookf0analytisch.

• dus: ´e´en keer afleidbaar _{⇒ oneindig keer afleidbaar!}

• sterker nog, de volgende stelling van Taylor zegt dat elke analytische functie te schrijven is als een machtreeks! (voor re¨ele functies is dit niet waar, zelfs niet als ze oneindig keer afleidbaar zijn)

(54)

Stelling van Taylor

Stelling 2.7 :

Zij f een analytische functie op een domein D ⊂ C en zij z0 ∈ D. Zij

R _{∈ R}+₀ _{∪ {∞}}een getal zodat_{{z | |z − z}0| < R} ⊂ D. Dan is

f (z) = ∞ X n=0 an(z − z0)n met an= 1 n!f (n)_(z 0)

(55)

Een voorbeeld

• exponenti¨ele functie exp is analytisch op heel C

• neem z0 = 0, aangezien exp0(z) = exp(z) = ez geldt dat (ez )(n)= ez

voor alle n

⇒ (ez )(n)_{(0) = 1}

• uit de stelling van Taylor vinden we dan : exp(z) = 1 + z + 1 2z 2₊ 1 3!z 3_{+ . . . =} ∞ X n=0 1 n!z n

(56)

Gevolg van de Cauchy-Riemann-voorwaarden

Def.: Een functie u : D_{⊂ R}2_{→ R noemt men}harmonisch als ∆u := uxx+ uyy =

∂2u ∂x ∂x +

∂2u ∂y ∂y = 0.

(57)

Zijf (x + iy ) = u(x , y ) + iv (x , y )een analytische functie. Dan zijnuenv

harmonische functies.

Bewijs:

• hier enkel voor u

• f analytisch Cauchy_{−→ u is oneindig vaak partieel afleidbaar}

⇒ ∆u kan zeker berekend worden :

∆u = uxx+ uyy = uxx+ (uy)y

= uxx+ (−vx)y = uxx + (−vy)x

= uxx+ (−ux)x = 0,

(58)

Complexe functies van ´

e´

en re¨

ele veranderlijke

• in deze cursus : enkel complexe functies van één reële veranderlijke, i.e. f : I_⊂R→ C : t 7→ f (t) = f1(t) + if2(t)

• f1, f2: I⊂ R → R zijn reële functies van één reële veranderlijke

Def.: We noemen f = f1 + if2 afleidbaar als en slechts als f1 en f2

afleidbaar zijn (als reële functies van één reële veranderlijke). De afgeleide f0(t) wordt gedefinieerd door f0(t) = f₁0(t) + if₂0(t).

• f = f1+ if2= (f1, f2) stelt een kromme in het vlak C = R2 voor

(59)

De kettingregel

Stel datf : R → Cafleidbaar is en dat g : C → Canalytisch is. Dan is

(g◦ f ) : R → Copnieuw afleidbaar en geldt de kettingregel:

(g◦ f )0(t) = g0(f (t))f0(t). (13)

Opm.: in vgl. (13) komen twee soorten afgeleiden door elkaar voor: de

complexe afgeleide van de analytische functieg en de afgeleide van de

(60)

Gevolg

stel c ∈ C, als h(t) = ect , dan is h0_{(t) = cect}

Bewijs:

• we passen de kettingregel toe voor f (t) = ct en g (z) = ez ⇒ f0_{(t) = c} _en _g0_{(z) = ez}

⇒ dus is h0(t) = (g_{◦ f )}0(t) = ect c

• Dit gevolg zal veelvuldig gebruikt worden in deze cursus. . .