DVGLn 2012-2013 - les04_handout

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Stefaan Poedts

Samenvatting:

Beschouw de homogene differentiaalvergelijking ay00+ by0+ cy = 0,

met willekeurige (re¨ele) constante co¨effici¨enten a, b, en c. Als de discriminantb2− 4ac van de karakteristieke vergelijking

1 _{strikt positief is, wordt de algemene oplossing gegeven door}

y = ??? c1er1t+ c2er2t, met r1 6= r2;

2 _{strikt negatief is, wordt de algemene oplossing gegeven door}

y = ??? c1eλtcosµt + c2eλtsinµt, met r1 = λ + i µ en

r2 = λ − i µ;

3 nul is, wordt de algemene oplossing gegeven door

y = ??? c1ter1t+ c2er1t, met r1= r2 =

−b 2a;

Hoofdstuk 3

• Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde - Herhaling: methode van de variatie van de constante

- Toepassing: wiskundige modellering

- Belangrijke opmerking

• Lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde - Homogene vergelijkingen met constante co ¨effici ¨enten

- Fundamenele oplossingen van homogene lineaire vergelijkingen

- Lineaire onafhankelijkheid en de Wronskiaan

- Complexe oplossingen van de karakteristieke vergelijking

- Samenvallende wortels, ordereductie

- Inhomogene vergelijkingen, methode onbep. co ¨effici ¨enten

- Variatie van parameters

• Toepassing: mechanische en elektrische trillingen - ongedempte en gedempte, vrije trillingen; gedwongen trillingen

Inhomogene vergelijkingen

• beschouw nu de inhomogenevergelijking

L[y ](t) = y00(t) + p(t)y0(t) + q(t)y (t) =g (t) (∗) met p, q en g gegeven (continue) functies op een open interval I • vergelijking met dezelfde p en q maar met g (t) = 0 :

L[y ](t) = y00(t) + p(t)y0(t) + q(t)y (t) =0 (∗∗) wordt deovereenkomstige homogene vergelijking genoemd

• de volgende twee resultaten beschrijven de structuur van de oplossingen van de inhomogene vergelijking (∗) en leveren een basis voor de constructie van de algemene oplossing

Stelling 3.10 :

AlsY1 enY2 oplossingen zijn van de inhomogenevergelijking (∗), dan is

hun verschilY1− Y2een oplossing van de overeenkomstigehomogene

ver-gelijking(∗∗). Als bovendieny1 eny2de fundamentele set van oplossingen

vormt van vgl.(∗∗), dan is

Y1(t) − Y2(t) = c1y1(t) + c2y2(t),

Bewijs

• gegeven :

L[Y1](t) = g (t) en L[Y2](t) = g (t)

• tweede vergelijking aftrekken van de eerste levert L[Y1](t) − L[Y2](t) = g (t) − g (t) = 0

• aangezien L[Y1] − L[Y2] = L[Y1− Y2] wordt dit

L[Y1− Y2](t) = 0

⇒ Y1− Y2 is dus inderdaad een oplossing van vgl. (∗∗)

• cf. St 3.6: alle oplossingen van (∗∗) kunnen uitgedrukt worden als lineaire combinaties van een fundamentele set van oplossingen, dus ook

• we weten dus dat Y1(t) − Y2(t) = c1y1(t) + c2y2(t)

⇒ identificeren

- Y1 met een willekeurige oplossing Φ van vgl. (∗)

- Y2 met de bijzondere oplossing Y

⇒ dan volgt onmiddellijk : (want Y1− Y2 = Φ − Y = c1y1+ c2y2)

Stelling 3.11 :

Dealgemene oplossing van de inhomogene vergelijking(∗)kan in de vorm y (t) = Φ(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + Y (t),

geschreven worden waarbijy1eny2een fundamentele set van oplossingen

vormen van de overeenkomstige homogene vgl (∗∗),c1 enc2 willekeurige

Opmerkingen

• aangezien Φ een willekeurigeoplossing is van vgl. (∗), omvat de uitdrukking c1y1(t) + c2y2(t) + Y (t) alleoplossingen van vgl. (∗)

⇒ dit is dealgemene oplossing van vgl. (∗)

• St 3.11 zegt dat wedrie dingen moeten doen om de inhomogene vgl.(∗)op te lossen:

1 algemene oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking

bepalen (ook wel de complementaire oplossinggenoemd, yc(t))

2 _{een bijzondere oplossing Y (t) van de inhomogene vergelijking}

vinden (ook een particuliere oplossinggenoemd)

Opmerkingen

• yc(t) kunnen we vinden (tenminste in het geval dat de homogene

vergelijking constante co¨effici¨enten heeft)

⇒ nu focussen op het vinden van de particuliere oplossing Y (t) van de inhomogene vergelijking

• twee manieren: “de methode van onbepaalde co ¨effici ¨enten”en “de methode van de variatie van parameters”

Methode van onbepaalde co¨

effici¨

enten

Methode van onbepaalde co ¨effici ¨enten

1 _{eerst aanname over de vorm van Y (waarbij de co¨ef. onbep. blijven)} 2 _{die uitdrukking substitueren in vgl. (∗)}

3 de co¨effici¨enten zo (proberen te) bepalen dat de vgl voldaan wordt

• als dit lukt ⇒ oplossing Y gevonden!

• als dit niet lukt is er geen oplossing van de vorm die we vooropgesteld hebben

Voor- en nadelen. . .

• belangrijkste voordeelvan deze methode : makkelijk uit te voeren • belangrijkste tekortkoming: ze kan alleen toegepast worden op

vergelijkingen waarvan men de correcte vorm van de bijzondere oplossing kan neerschrijven

⇒ alleen gebruikt voor problemen waarvan

- de homogene vergelijking constante co¨effici¨enten heeft

- de inhomogene term bestaat uit een beperkte klasse van functies (hier enkel veeltermen, exponenti¨ele functies, sin en cos) • toch is deze methode nuttig voor heel wat belangrijke toepassingen

Voorbeeld

• we bepalen de particuliere oplossing van y00− 3y0− 4y = 3e2t _(∗)

⇒ we zoeken een Y zodat Y00(t) − 3Y0(t) − 4Y (t) gelijk is aan3e2t • exponenti¨ele functies hebben zichzelf als afgeleide

⇒ neem aan dat Y (t) een veelvoud is van e2t_{: Y (t) =Ae}2t (waarbij de co¨effici¨ent A nog moet bepaald worden) ⇒ dan is Y0(t) = 2Ae2t en Y00(t) = 4Ae2t

• substitueren in de vgl. (∗):

(4A − 6A − 4A)e2t = 3e2t zodat −6A = 3 en dus A = −1/2

⇒ de particuliere oplossing wordt dus gegeven door Y (t) = −1 2e

Nog een voorbeeld

• we bepalen de particuliere oplossing van y00− 3y0_{− 4y =2sint (∗)}

• cf. vorig vb.: neem aan dat Y (t) =Asint, met A nog te bepalen • substitutie van deze vorm in vgl. (∗) levert(reken na!)

(2 + 5A)sint +3Acost = 0 (∗∗) • MAAR: sint en cost zijn lineair onafhankelijk

⇒ (∗∗) kan enkel geldig zijn op een interval als2 + 5A= 0 en3A= 0 ⇒kan niet ⇒ aangenomen vorm van Y (t) is dusniet toepasselijk • cosinus-term in vgl. (∗∗) ⇒ neem zo’n cosinus-term op in vorm Y (t) :

Y (t) = Asint + Bcost waarbij we nu A en B moeten bepalen

• we vinden

Y0(t) =Acost−Bsint en Y00(t) =−Asint−Bcost • substitutie in vgl. (∗), i.e. y00−3y0− 4y = 2sint,

(−A+3B− 4A)sint + (−B−3A− 4B)cost = 2sint

⇒ co¨effici¨enten van sint en cost in het linkerlid en het rechterlid moeten aan elkaar gelijk zijn, zodat

−5A + 3B = 2 en − 3A − 5B = 0 ⇒ A = −5/17 en B = 3/17

⇒ de particuliere oplossing is dus Y (t) = − 5

17sint + 3 17cost

Opmerking

• wanneer het rechterlid g (t) een veeltermis, kunnen we dezelfde methode toepassen als in de vorige twee voorbeelden

⇒ stel als vorm van de particuliere oplossing een veelterm van dezelfde orde voorop

• voorbeeld: voor

y00− 3y0− 4y = 4t2_{− 1}

vertrekken we van Y (t) = At2+ Bt + C

• zelfde principe toepassen als g (t) een product is van twee (of drie) verschillende types van functies

Voorbeeld

• we bepalen de particuliere oplossing van y00− 3y0− 4y =−8etcos2t ⇒ neem aan dat Y (t) het product is van et en een lineaire combinatie van

cos2t en sin2t:

Y (t) = Aetcos2t + Betsin2t • mits enig doorzettingsvermogen ( ) vinden we

Y0(t) = (A + 2B)etcos2t + (−2A + B)etsin2t en Y00(t) = (−3A + 4B)etcos2t + (−4A − 3B)etsin2t • substitutie in de differentiaalvergelijking (doen!):

10A + 2B = 8 en 2A − 10B = 0 ⇒ A = 10/13 en B = 2/13 zodat Y (t) = 10 13e t_{cos2t +} 2 13e t_sin2t

Combinaties. . .

• stel dat g (t) de som is van twee termen, g (t) = g1(t) + g2(t)

• stel dat

- Y1 de oplossing is van ay00+ by0+ cy = g1(t)

- Y2 de oplossing is van ay00+ by0+ cy = g2(t)

⇒ dan is Y1+ Y2 een oplossing van ay00+ by0+ cy = g (t)

• OPGAVE : toon dit aan!

• veralgemening : analoog als g (t) de som is van een eindig aantal termen

⇒ practisch : i.p.v. eenvoudigere vgln beschouwen en dan de oplossingen

Voorbeeld

• we bepalen een particuliere oplossing van

y00− 3y0− 4y =3e2t+2sint−8etcos2t

⇒ rechterlid opsplitsen :

y00− 3y0− 4y =3e2t y00− 3y0− 4y =2sint y00− 3y0− 4y =−8etcos2t

⇒ cf. vorige drie voorbeelden, gezochte particuliere oplossing is dus Y (t) =−1 2e 2t₋ 5 17sint + 3 17cost+ 10 13e t_{cos2t +} 2 13e t_sin2t

Problemen. . .

• de besproken procedure lukt voor een vrij grote klasse van problemen • soms duikt er weleen moeilijkheid op. . .

• voorbeeld: bepaal een particuliere oplossing van y00− 3y0− 4y = 2e−t ⇒ aanname Y (t) =Ae−t leidt tot

(A + 3A − 4A)

| {z }

=0

e−t = 2e−t (∗)

Opgave

• bepaal een fund. set van opln van de de overeenkomstige hom. vgl: y00− 3y0− 4y = 0

• oorzaak wordt duidelijk als we de overeenkomstige hom. vgl oplossen: een fund. set van opln = y1(t) =e−t en y2(t) = e4t

⇒ de aangenomenvormis dus een oplossing van de hom. vgl! ⇒ kan dus onmogelijk ook een oplossing zijn van de inhomogene vgl ⇒ we moeten dus een andere vorm veronderstellen. . .

• oplossing : veronderstel de vorm Y (t) =Ate−t

⇒ we vinden dan

⇒ we vinden dan

Y0(t) =Ae−t − Ate−t en Y00(t) =−2Ae−t+ Ate−t • en na substitutie in vgl. (∗) bekomen we

−2Ae−t + Ate−t − 3(Ae−t − Ate−t)− 4(Ate−t)= 2e−t of

−5Ae−t = 2e−t zodat A = −2/5

⇒ de gezochte particuliere oplossing is dus Y (t) = −2

5te

Besluit (uit dit voorbeeld)

• als de aangenomen vorm van de particuliere oplossing gelijk is aan een oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking,passen we de aangenomen vorm van de particuliere oplossing aan door hem mett te vermenigvuldigen

• indien dit niet volstaat om alle duplicaties van oplossingen van de hom. vgl weg te werken, vermenigvuldigen we gewoon nogmaals mett

Samenvatting

Om de oplossing te vinden van een beginvoorwaardenprobleem dat bestaat uit een inhomogene vergelijking van de vorm

ay00+ by0+ cy = g (t), (∗)

waarin a, b en c constanten zijn en met een gegeven set beginvoorwaarden, moetende volgende stappenworden uitgevoerd:

1 _{bepaal de algemene oplossing van de overeenkomstige hom. vgl} 2 _{ga na of de functie g (t) behoort tot de klasse van functies die we in}

deze sectie besproken hebben, m.a.w. of g (t) bestaat uit exp functies, sin, cos en polynomen, of sommen en producten van deze functies (anders gebruiken we de methode van variatie van parameters)

3 _{als g (t) = g1(t) + · · · + gn(t), formuleer dan n deelproblemen :}

4 veronderstel voor het i -de deelprobleem een Y_i(t) bestaande uit de

toepasselijke (combinatie van) exp, sin, cos, of veeltermfunctie Als je hiermee een opl van de overeenkomstige hom. vgl (gevonden in stap 1) dupliceert, vermenigvuldig dan Yi(t) met t of, indien nodig,

met t2, om de duplicatie weg te werken

5 Bepaal een particuliere oplossing Y_i(t) voor elk deelprobleem.

De som van al deze opln is een part. opl van de volledige inhom. vgl.(∗).

6 _{Vorm de som van de algemene oplossing van de homogene vergelijking}

(stap 1) en de particuliere oplossing van de inhomogene vergelijking (stap 5). Dit is een algemene oplossing van de inhomogene vgl.

7 Gebruik de beginvoorwaarden om de willekeurige constanten te bepalen

die nog in de algemene oplossing voorkomen.

Variatie van parameters

• beschouw opnieuw deinhomogene vergelijking

L[y ](t) = y00(t) + p(t)y0(t) + q(t)y (t) = g (t) (∗) met p, q en g gegeven (continue) functies op een open interval I • overeenkomstige homogene vergelijking :

L[y ](t) = y00(t) + p(t)y0(t) + q(t)y (t) =0 (∗∗) ⇒ St 3.11: algemene opl. vgl.(∗)wordt gegeven door

y (t) = Φ(t) = c1y1(t) + c2y2(t) | {z } =alg . opl . (∗∗) + Y (t) | {z } part. opl . (∗) ,

• variatie van parameters = alternatieve methode om Y (t) te vinden (te danken aan Lagrange)

Variatie van parameters

• groot voordeel : algemene methode

⇒ kan, in principe, toegepast worden op elke vergelijking

⇒ houdt geen veronderstellingen in over de vorm van de oplossing ⇒ deze methode levert een formule op voor eenparticuliere oplossing van

een willekeurige lineaire inhomogene differentiaalvergelijking van de tweede orde

• nadeel : formule bevat integralen waarin de inhomogene term voorkomt ⇒uitrekening kan ingewikkeld worden!

Voorbeeld

• we bepalen de particuliere oplossing van

y00+ 4y =3csct (∗)

• OPM.: d.i. geen goede kandidaat voor methode van onb. co¨ef. (3csct bevatquoti ¨ent van cost of sint i.p.v. som of product) • kar. vgl. r2+ 4 = 0 ⇒ wortels ±2i

⇒ alg. opl. overeenkomstige homogene vergelijking is yc(t) =c1cos2t +c2sin2t (∗∗) • basisidee methode van variatie van parameters =

- hierin c1 en c2 vervangen door functies u1(t) en u2(t)

- deze functies zo bepalen dat de resulterende uitdrukking

SCENARIO: substitueer y (t) = u1(t)cos2t + u2(t)sin2t in vgl. (∗)

⇒ ´e´en uitdrukking met combinatie van u1, u2, u10, u20, u100, u002

⇒ heeft vele oplossingen (slechts 1 vgl voor 2 onbekende functies) ⇒ tweede voorwaarde opleggen voor u1 en u2

⇒ Lagrange : methode gevonden om deze tweede voorwaarde zo te kiezen dat de berekeningen merkelijk vereenvoudigen

• afleiden van y (t) = u1(t)cos2t + u2(t)sin2t levert (na herschikking)

y0(t) = −2u1(t)sin2t + 2u2(t)cos2t+u10(t)cos2t + u 0

2(t)sin2t

• 2de voorwaarde: eis dat de som van de twee laatste termen = 0, i.e. u₁0(t)cos2t + u0₂(t)sin2t= 0 (VW 1)

⇒ vereenvoudiging:

y0(t) = −2u1(t)sin2t + 2u2(t)cos2t • nogmaals afleiden :

y00(t) = −4u1(t)cos2t − 4u2(t)sin2t − 2u01(t)sin2t + 2u 0

2(t)cos2t

⇒ y en y00 substitueren in y00+ 4y = 3csct levert:

−4u1(t)cos2t−4u2(t)sin2t− 2u10(t)sin2t + 2u20(t)cos2t +

4u1(t)cos2t+4u2(t)sin2t = 3csct

⇒ u1 en u2 moeten voldoen aan

−2u0₁(t)sin2t + 2u₂0(t)cos2t = 3csct (VW 2) ⇒ twee voorwaarden (VW 1 en VW 2) voor u1 en u2

⇒ stelsel  



u₁0(t)cos2t + u₂0(t)sin2t = 0 (VW 1) −2u₁0(t)sin2t + 2u₂0(t)cos2t = 3csct (VW 2) • oplossen: uit (VW 1) vinden we bv. u₂0(t) = −u0₁(t)cos2t

sin2t (∗ ∗ ∗) ⇒ invullen in (VW 2) en vereenvoudigen (cos22t + sin22t = 1):

u₁0(t) = −3csct sin2t

2 = −

3csct 2sint cost

2 = −3cost

⇒ deze uitdrukking voor u₁0(t) terug substitueren in vgl. (∗ ∗ ∗)

u₂0(t) = 3costcos2t sin2t = 3cost(1 − 2sin2t) 2sint cost = 3 2csct − 3sint

• deze vgln voor u₁(t) en u₂(t) integeren om u1(t) en u2(t) te vinden:

u1(t) = −3sint + c1

en u2(t) =

3

2ln|csct − cott| + 3cost + c2 • invullen in y (t) = u1(t)cos2t + u2(t)sin2t levert:

y (t) =−3sint cos2t+3

2ln|csct − cott| sin2t+3cost sin2t+ c1cos2t + c2sin2t

• nu nogmaals de formules voor de dubbele hoek gebuiken:

y (t) =−3sint (1 − 2sin2

t − 2cos2t)+3

2ln|csct − cott| sin2t + c1cos2t + c2sin2t

y (t) =3sint+3 2ln|csct − cott| sin2t | {z } =Y (t) + c1cos2t + c2sin2t | {z } =yc(t)

PAUZE

The mathematical sciences particularly exhibit order, symmetry, and limitation; and these are the greatest forms of the beautiful.

Veralgemening: willekeurige inhom. vgl. van 2de orde

• beschouw de vergelijking

y00+ p(t)y0+ q(t)y = g (t) (∗) met gegeven continue functies p, q en g

• stel dat de alg. opl. van de overeenkomstige hom. vgl. gekend is: yc(t) = c1y1(t) + c2y2(t) (∗∗)

• OPM :belangrijke aanname(!) want tot nog toe enkel aangetoond hoe je deze oplossing bekomt voor een vergelijking met constante

co¨effici¨enten!

Als deze co¨effici¨enten van t afhangen, moet je methoden gebruiken die we later zullen bespreken. . .

Veralgemening: willekeurige inhom. vgl. van 2de orde

• cf. voorbeeld: c1 en c2 in vgl. (∗∗) vervangen dooru1(t)enu2(t):

y (t) =u1(t)y1(t)+u2(t)y2(t)

• dan u1(t) en u2(t) zo bepalen dat dit een oplossing is van de inhom.

vgl. (∗) (i.p.v. van de homogene vergelijking!) ⇒ afleiden : y0(t) = u2(t)y20(t) + u1(t)y10(t)+u

0 1(t)y1(t) + u20(t)y2(t) | {z } stel =0 ⇒ y0(t) =u1(t)y₁0(t)+u2(t)y20(t) • nogmaals afleiden:

Veralgemening: willekeurige inhom. vgl. van 2de orde

• deze y (t), y0(t) en y00(t) substitueren in vgl. (∗) ⇒ (na

herschikking): u1(t)[y100(t) + p(t)y 0 1(t) + q(t)y1(t)] + u2(t)[y200(t) + p(t)y 0 2(t) + q(t)y2(t)] + u₁0(t)y₁0(t) + u₂0(t)y₂0(t) = g (t)

([.]=[.]= 0 wanty1 en y2 zijn opln van de overeenkomstige hom. vgl.) ⇒ u₁0(t)y₁0(t) + u0₂(t)y₂0(t) = g (t)

en we hadden al u0₁(t)y1(t) + u20(t)y2(t) = 0

⇒ set van twee lineaire algebra¨ısche vergelijkingen voor de afgeleiden u₁0(t) en u₂0(t) van de onbekende functies

Veralgemening: willekeurige inhom. vgl. van 2de orde

• door dit systeem op te lossen, bekomen we

u₁0(t) = − y2(t)g (t) W (y1, y2)(t)

en u₂0(t) = y1(t)g (t) W (y1, y2)(t)

waarbij W (y1, y2)(t) de Wronskiaan is van y1 en y2

(W (y1, y2)(t) 6= 0 want y1 en y2 vormen fund. set van opln.)

• integratie vinden we de gezochte functies u1(t) en u2(t):

u1(t) = − Z y2(t)g (t) W (y1, y2)(t) dt + c1 en u2(t) = Z y1(t)g (t) W (y1, y2)(t) dt + c2 ⇒ als we deze integralen kunnen uitrekenen, dan substitueren we de

resultaten in y (t) =u1(t)y1(t) +u2(t)y2(t) om zo de algemene

Stelling 3.12 :

Beschouw de inhomogene vgl.(∗),y00(t)+p(t)y0(t)+q(t)y (t) = g (t).Als de functiesp,q eng continu zijn op een open interval I, en als de functies y1 en y2 lineair onafhankelijke oplossingen zijn van de overeenkomstige

homogene vergelijking,y00(t) + p(t)y0(t) + q(t)y (t) = 0,dan is Y (t) = −y1(t) Z t t0 y2(s)g (s) W (y1, y2)(s) ds + y2(t) Z t t0 y1(s)g (s) W (y1, y2)(s) ds, een particuliere oplossing van vgl.(∗), waarbijt0 een handig gekozen punt

is inI. De algemene oplossing wordt gegeven door y = c1y1(t) + c2y2(t) + Y (t),

Twee problemen. . .

. . . in de methode van variatie van parameters:

1 _{de bepaling van y1 en y2 als de co¨effici¨enten niet constant zijn} 2 de berekening van de integralen in St 3.12

• OPM: controleer vooraleer je deze uitdrukking gebruikt, of de Dvgl precies in de vorm (∗) staat (anders is term g (t) niet correct)

• grote voordeel methode van variatie van parameters : St 3.12 levert

uitdrukking voor Y (t) in termen van een willekeurige functie g (t) ⇒ ideaal startpunt voor de studie van‘gedwongen’ oscillaties

Toepassing: mechanische en elektrische trillingen

• cf. lineaire Dvgln van de tweede orde met constante co¨effici¨enten zijn erg belangrijk omdat ze dienst doen als wiskundig model voor heel wat fysische processen.

Mechanische trillingen

• beweging van massa m aan een veer ⇒ 2de wet van Newton

• neem als afh. veranderlijke u(t), de verplaatsing uit de evenwichtspositie • krachtterm is som van 4 krachten, nl.

- degravitatiekracht (∼ m, neerwaarts gericht)

- deveerkracht (∼ uitrekking L van de veer (evenredigheidsconst. k wordt de veerconstante genoemd), opwaarts gericht)

- deweerstandskracht (∼ de snelheid van de massa u0(t) en altijd gericht tegengesteld aan de beweging van de massa)

Mechanische trillingen

⇒ beweging van de massa aan een veer wordt beschreven door mu00(t) + γu0(t) + ku(t) = F (t)

met m (de massa), k (de veerconstante) en γ (dissipatieco¨effici¨ent) positieve constanten en F (t) de uitwendige kracht

⇒ van de vorm die we in dit hoofdstuk bestudeerden • BVWn: u(0) = u0, u0(0) = v0

• OPM: is wiskundig model ⇒ niet perfect (bv. geen rekening gehouden met massa van de veer zelf)

Elektrische trillingen

• stroom in een elektrisch circuit wordt beschreven door de 2de wet van Kirchhoff: “in een gesloten circuit is de opgelegde spanningE (t)gelijk aan de som van de spanningsverschillen in de rest van het circuit” • spanningsverschil (elektr. potentiaalverschil) over een

- weerstand is IR (met I de stroom en R de weerstand)

- condensator is datQ/C (met Q de lading I = dQ_dt
en C de capaciteit van de condensator)

- spoel/inductie is datLdI

dt (met L de inductie van de spoel) ⇒ 2de wet Kirchhoff kan in termen van I geschreven worden als :

LI00(t) + RI0(t) + 1

CI (t) = E

0

(t) • BVWn: I (t0) = I0, I0(t0) = I00

Verrassende conclusie

⇒ de stroom in een elektrisch circuit wordt door precies hetzelfde

beginvoorwaardenprobleem beschreven als de beweging van een massa aan een veer!

⇒ cf. ‘unificerende rol’ van wiskunde:

oplossingen van lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde kan meninterpreteren in termen van mechanische trillingen, elektrische circuits, of om het even welk ander fysisch probleem dat naar hetzelfde wiskundig model leidt (en dat zijn er veel meer dan je denkt!)

Ongedempte, vrije trillingen

• geen uitwendige kracht opgelegd ⇒ F (t) = 0 • geen demping ⇒ γ = 0

⇒ vaak goed model op korte en middellange tijdsintervallen • bewegingsvergelijking reduceert in dit geval tot

mu00(t) + ku(t) = 0

⇒ kar. vgl.: mr2+ k = 0 ⇒ wortels r = ±i r

k m ⇒ geval complexe wortels met λ = 0 en µ =

r k m

Ongedempte, vrije trillingen

• geen uitwendige kracht opgelegd ⇒ F (t) = 0 • geen demping ⇒ γ = 0

⇒ vaak goed model op korte en middellange tijdsintervallen • bewegingsvergelijking reduceert in dit geval tot

mu00(t) + ku(t) = 0 ⇒ algemene oplossing: y = Acosω0t + Bsinω0t

met ω₀2= _mk en A en B willekeurige constanten (te bepalen via BVWn) • periodieke beweging metperiode2π/ω0

Ongedempte, vrije trillingen

• ω0 = decirculaire frequentie

- wordt uitgedrukt in radialen per eenheid van tijd - is denatuurlijke frequentie van de trilling • met A = Rcosϕen B = Rsinϕ, en dus

R =pA2_{+ B}2 _{en tanϕ =} B

A kunnen we de algemene oplossing schrijven als

y =Rcosϕcosω0t +Rsinϕsinω0t = Rcos(ω0t − ϕ)

• maximale uitwijking R is de amplitudevan de beweging • dimensieloze parameter ϕ = faseof fasehoek

Gedempte, vrije trillingen

• effect demping meerekenen ⇒ beweging massa beschreven door mu00(t)+γu0(t)+ ku(t) = 0

⇒ effect dempingsco¨effici¨ent γ?

• wortels van de overeenkomstige karakteristieke vergelijking : r1, r2= −γ ±pγ2_{− 4km} 2m = γ 2m −1 ± s 1 −4km γ2 !

⇒ vorm oplossingen afhankelijk van teken van ∆ = γ2− 4km : ∆ > 0 −→ u = Aer1t_{+ Be}r2t ∆ = 0 −→ u = (A + Bt)e−γt/2m ∆ < 0 −→ u = e−γt/2m(Acosµt + Bsinµt), µ = √ −∆ 2m > 0

Gedempte, vrije trillingen

• OPM: ∆ = γ2_{− 4km < γ}2 _{want m en k zijn positief}

- als ∆ ≥ 0 zijn r1 en r2 dus negatief

- als ∆ < 0 zijn r1 en r2 complex maar metnegatiefre¨eel deel

⇒ oplossingenstreven dus allemaal naar nul in de limiett → ∞ ⇒ conform met intu¨ıtie:

⇒ de demping dissipeert (langzaam) de energie in het systeem ⇒ de beweging dooft uiteindelijk uit!

Belangrijkste geval : ∆ < 0

–1 –0.5 0 0.5 1

u

10 20 30 40 50

t

Een trilling met kleine demping: (u00(t)+0.125u0(t)+ u(t) = 0) (volle lijn) en zonder demping (onderbroken lijn)

Gedwongen trillingen

• pas nu een uitwendige kracht F0cosωt toe

⇒ model voor het gedrag van heel wat oscillerende systemen met een uitwendige kracht t.g.v. bijvoorbeeld een motor

• stel geen demping aanwezig, i.e. γ = 0 ⇒ vergelijking wordt dan

mu00(t) + ku(t) = F0cosωt (∗)

• vorm van de algemene oplossing hangt af van het feit of de frequentie van de aandrijver ω al dan niet gelijk is aan de natuurlijke frequentie ω0 =pk/m van het ongedwongen systeem!

Gedwongen trillingen, geval ω 6= ω

0

• de algemene oplossing is dan

u = c1cosω0t + c2sinω0t | {z } =uc(t) + F0 m(ω₀2− ω2₎cosωt | {z } =Y (t)

• c1 en c2 worden bepaald met de beginvoorwaarden

• interessant geval: u(0) = 0, u0(0) = 0 ⇒ alleen energie van uitwendige kracht ⇒ c1= −

F0

m(ω2 0− ω2)

Gedwongen trillingen, geval ω 6= ω

0

⇒

u = F0

m(ω2₀− ω2₎(cosωt − cosω0t)

i.e. som van twee periodieke functies met dezelfde amplitude maar met verschillende perioden

• cf. Calculus (1BSc bio-ing) alg. opl. is te herschrijven als u =  2F0 m(ω2 0− ω2) sin(ω0− ω)t 2  sin(ω0+ ω)t 2

Gedwongen trillingen, geval ω 6= ω

0 –2 –1 0 1 2

u

10 20 30 40 50 60

t

Een zweving als oplossing van u00+ u = 0.5cos0.8t, u(0) = 0, u0(0) = 0, nl.

Gedwongen trillingen, geval ω = ω

0

• de frequentie van de aandrijvende kracht is gelijk aan de natuurlijke frequentie van het systeem

⇒ inhomogene term F0cosωt is dan een oplossing van de hom. vgl.

• de algemene oplossing van vgl. (∗) is dan u = c1cosω0t + c2sinω0t +

F0

2mω0

t sinω0t

⇒ term t sinω0t ⇒ bewegingonbegrensd voor t → ∞ (onafhankelijk van de waarden van c1 en c2)

Gedwongen trillingen, geval ω = ω

0 –10 –5 0 5 10

u

10 20 30 40

t

Een resonantie als oplossing vanu00+ u =0.5cost,u(0) = 0, u0(0) = 0, nl.u = 2.5tsint. De onderbroken lijnen geeft de amplitude (±0.25 t) aan.

Gedwongen trillingen, geval ω = ω

0 –4 –2 0 2 4

u

20 40 60 80

t

Een resonantie als oplossing van het gedwongen,gedemptesysteem u00+ 0.125u0+ u = 0.5cost,u(0) = 0, u0(0) = 0.

Opgave: variatie van de parameters

• bepaal een particuliere oplossing van y00− y0− 2y = 2e−t

• Kar. vgl.: r2− r − 2 = (r − 2)(r + 1) = 0 → yH =c1e2t+c2e−t • neem aan dat Y (t) =u1(t)e2t+u2(t)e−t

⇒ Y0(t) = (2u1(t)e2t − u2(t)e−t) + (u10(t)e2t+ u 0 2(t)e

−t ) Stel dus u₁0(t)e2t+ u₂0(t)e−t = 0

⇒ Y00(t) = 4u1(t)e2t + u2(t)e−t+ 2u10(t)e2t− u02(t)e−t

Opgave: variatie van de parameters

⇒ stelsel    u₁0(t)e2t+ u₂0(t)e−t = 0, 2u₁0(t)e2t − u0 2(t)e−t = 2e−t ⇒ u0₁(t) = 2 3e −3t _{en u}0 2(t) = − 2 3 ⇒ u1(t) = − 2 9e −3t _{en u} 2(t) = − 2 3t ⇒ Y (t) = −2 9e −3t e2t −2 3te −t = −2 9 e −t |{z} opl. hom. vgl. −2 3te −t ⇒ kies bv. Y (t) = −2 3te −t

Opmerking: korter alternatief!

• gebruik de afgeleide formule (St. 3.12):

Y (t) = −y1(t) Z t t0 y2(s)g (s) W (y1, y2)(s) ds + y2(t) Z t t0 y1(s)g (s) W (y1, y2)(s) ds, • W (e2t, e−t)(t) =     e2t _e−t 2e2t −e−t     = −et− 2et _{= −3e}t ⇒ Y (t) = −e2t Z t t0 e−s2e−s −3es ds + e −tZ t t0 e2s2e−s −3es ds ⇒ Y (t) = 2 3e 2t Z t t0 e−3sds | {z } =−e−3t_/3 −2 3e −tZ t t0 1 ds | {z } =t ⇒ Y (t) = −2 9e −t₋2 3te −t _{⇒ kies Y (t) = −}2 3te −t