DVGLn 2012-2013 - les13_handout

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Stefaan Poedts

• Randvoorwaarden-problemen

- Randvoorwaarden versus beginvoorwaarden - Eigenwaarden-problemen

• Uitbreiding van scalair product : motivatie • Scalair product op functie-ruimten

• Fourier-reeksen

• Parti¨ele differentiaalvergelijkingen - De warmte-vergelijking - De golf-vergelijking

- De Laplace-vergelijking

De warmte-vergelijking

• verandering u(x , t) beschreven door warmtegeleiding-vergelijking: ∂u

∂t = α

2∂2u

∂x2, 0 < x < L, t > 0 (100)

met α2 een constante die de thermische diffusiviteit • voor een unieke oplossing er begin- en RVWn nodig:

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0 (101) (later: meer algemene, inhomogene geval)

u(x , 0) = f (x ), 0 ≤ x ≤ L (102) • warmtegeleidings-probleem (100),(101),(102) is lineair

• fundamentele veronderstelling over de vorm van de opln u(x , t): stel dat u(x , t) het product is van een functie van enkelxen een functie van enkelt:

u(x , t) = X (x )T (t) (103)

⇒ substitueren ⇒ twee gewone Dvgln voor X (x ) en T (t):

X00+ λ X = 0 (104)

T0+ α2λ T = 0 (105)

⇒ met RVWn voor X :

X (0) = 0, en X (L) = 0 (106) • vgl. (104) met RVWn (106) is een eigenwaarden-probleem

De warmte-vergelijking

• de enige niet-triviale oplossingen zijn dus de eigenfuncties Xn(x ) = sin

nπx L



, n = 1, 2, 3, . . . en de bijhorend eigenwaarden zijn

λn=

n2π2

• we beschouwen vervolgens vgl. (105): T0+ α2λT = 0 • substitueer daarin n2π2/L2 voor λ :

T0+ α2n 2_π2 L2 T = 0 zodat T evenredig is met exp(−n2π2α2t/L2)

De warmte-vergelijking

voldoen aan de parti¨ele differentiaalvergelijking (100) en de randvoorwaarden (101) voor elke positieve gehele waarde van n • de functies un worden soms defundamentele oplossingengenoemd

van het probleem (100),(102),(101)

• OPLOSSING: u(x , t) = ∞ X n=1 cnun(x , t) = ∞ X n=1 cne−n 2_π2_α2_t/L2 sin nπx L 

waarbij we de co¨effici¨enten cn bepalen via BVW:

u(x , 0) = ∞ X n=1 cnsin nπx L  = f (x ) ⇒ de cn zijn de co¨effici¨enten in de Fourier sinus-reeks voor f :

cn= 2 L Z L 0 f (x ) sinnπx L  dx , n = 1, 2, 3, . . .

De golf-vergelijking

• veel voorkomende parti¨ele Dvgl in de toegepaste wiskunde: bij de studie van geluidsgolven, watergolven, seismische golven, electro-magnetische golven, enz.

• beschouw eenvoudige geval van een elastische snaarmet lengte L die strak opgespannen is tussen twee steunpunten

• verwaarloos dempingseffecten (bv. door de luchtweerstand) en neem aan dat de verstoring niet te groot is ⇒ u(x , t) voldoet aan

∂2u ∂t2 = a

2 ∂2u

∂x2, 0 < x < L, t > 0 (107)

= de golf-vergelijking, met a2 = T /ρ, met T de spanning op de snaar en ρ de massa per eenheid van lengte van het materiaal

(ais de snelheid is waarmee golven zich langsheen de snaar verplaatsen) • voor het eerst afgeleid en bestudeerd door D’Alembert in 1746, ook

bestudeerd door o.a. Euler (1748), D. Bernoulli(1753)en Lagrange(1759)

De golf-vergelijking

• neem aan dat beide uiteinden van de snaar vastzitten:

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 t ≥ 0 (108) • tweede orde in de tijd ⇒ twee BVWn nodig, nl.

debeginpositie: u(x , 0) = f (x ), 0 ≤ x ≤ L (109) en debeginsnelheid: ∂u

∂t(x , 0) = g (x ), 0 ≤ x ≤ L (110) met f en g gegeven functies die voldoen aan

f (0) = f (L) = 0, g (0) = g (L) = 0, (111) zodat de BVWn (110)-(111) consistent zijn met de RVWn (108)

• neem eerst aan dat de beginsnelheid van de snaar nul is (g (x ) ≡ 0) • methode van scheiding van veranderlijken toepassen :

u(x , t) = X (x )T (t) (112) ⇒ in de golf-vergelijking substitueren : 1 a2 T00 T = X00 X = −λ (113) met λ de scheidings-constante

De golf-vergelijking

X00+ λ X = 0 (114)

T00+ a2λ T = 0 (115)

• substitutie van u(x , t) = X (x )T (t) in de RVWn (108):

X (0) = 0, en X (L) = 0 (116) • substitutie van u(x , t) = X (x )T (t) in detweede (homogene) BVW:

T0(0) = 0 (117)

• merk op dat het probleem (114) met RVWn (116) exact hetzelfde is als dat voor de warmte-vergelijking!

⇒ de oplossing hier gewoon overnemen: er zijn enkel niet-triviale oplossingen als λ een eigenwaarde is; deze zijn

Xn(x ) = sin

nπx L



, n = 1, 2, 3, . . . (118) met de bijhorend eigenwaarden

λn=

n2π2

De golf-vergelijking

• met de waarden (119) voor λ wordt vgl. (115): T00+n 2_π2_a2 L2 T = 0 (120) zodat T (t) = c1cos nπat L + c2sin nπat L (121)

met c1 en c2 constanten die we bepalen via de BVWn

• voorlopig besluit : de functies un(x , t) = sin nπx L cos nπat L , n = 1, 2, 3, . . . , (122) voldoen aan de parti¨ele Dvgl (107) en de RVWn (108) en de

BVW (110) (met g (x ) ≡ 0)

= de fundamentele oplossingenvan het probleem

• bijkomende BVW?: beschouw een lineaire combinatie van de fundamentele opln: u(x , t) = ∞ X n=1 cnun(x , t) = ∞ X n=1 cnsin nπx L cos nπat L (123)

De golf-vergelijking

⇒ de cn kiezen we zo dat de overblijvende BVW (109) voldaan is, i.e.

u(x , 0) = ∞ X n=1 cnsin nπx L  = f (x ) (124)

⇒ de cn moeten dus de co¨effici¨enten zijn van de Fourier sinus-reeks met

periode 2L voor f : cn= 2 L Z L 0 f (x ) sin nπx L  dx , n = 1, 2, 3, . . . (125) • de formele oplossing van het probleem (107) met de RVWn (108) en de

BVWn (110) (met g (x ) ≡ 0) en (109) wordt dus gegeven door vgl. (123) met de co¨effici¨enten bepaald door (125)

• de termen sin(nπx /L) cos(nπat/L) in de oplossing (123) zijn periodiek in t met frequentie nπa/L (of periode 2L/na)

⇒ zijn denatuurlijke frequentiesvan de snaar

• de bijhorende verplaatsingen van de snaar worden eigenmodigenoemd ⇒ periodiek in x met periode 2L/n, de golflengte

• deeigenwaardenλn= n2π2/L2 van het probleem (118)-(119) zijn dus evenredig met de kwadraten van de natuurlijke frequenties, en de eigenfuncties sin(nπx /L)zijn de eigenmodi

De golf-vergelijking: voorbeeld

• stel a = 2, L = 30 en f (x ) = sin2 πx₃₀ (en g (x ) ≡ 0) ⇒ formele oplossing gegeven door vgl. (123):

u(x , t) = ∞ X n=1 cnsin nπx 30 cos nπt 15 , met de co¨effici¨enten bepaald door (125):

cn= 1 15 Z 30 0 sin2πx 30 sin nπx 30  dx = 4(1 − cosnπ) nπ(n2_{− 4)} , n = 1, 2, 3, . . . , zodat cn=    8 nπ(n2_{− 4)}, voor n = 1, 3, 5, 7, . . . ; 0, voor n = 0, 2, 4, 6, . . . .

–1 –0.5 0 0.5 1

Uitwijking

x

Het algemene probleem van de trillende snaar

⇒ stel nu ook eens de functie f (x ) ≡ 0 in BVW (109) en pas de methode van scheiding van veranderlijken toe ⇒ analoog (OPGAVE!)

• alg. oplossingu(x , t)= deze oplossing (w) + oplossing van daarnet (v) - voldoet aan (lineaire) Dvgl

- voldoet aan homogene RVWn

- voldoet aan inhomogene BVWn want

u(x , 0) =v (x , 0)+w (x , 0)=f (x )+0= f (x ) ∂u ∂t(x , 0) = ∂v ∂t(x , 0)+ ∂w ∂t (x , 0)=0+g (x )= g (x )

De oplossing van de Dvgl (107) met RVWn (108) en inhomogene BVWn (109)-(111) is gelijk aan de som van de oplossingen van twee eenvou-digere problemen:

u(x , t) =v (x , t)+w (x , t),

metv (x , t)de oplossing van probleem (107), (108) en BVWn u(x , 0) =f (x ), ∂u

∂t(x , 0) =0, 0 ≤ x ≤ L, enw (x , t)de oplossing van probleem (107), (108) en BVWn

u(x , 0) =0, ∂u

De Laplace-vergelijking

• vanaf 1782 bestudeerde Pierre-Simon de Laplace de gravitationele aantrekking van ruimtelichamen ⇒ zocht hiervoor oplossingen van een vergelijking die voor het eerst opdook in een artikel van Euler in 1752

⇒ deze vergelijking wordt nu de Laplace-vergelijkinggenoemd ⇒ ´e ´en v/d belangrijkste parti ¨ele Dvgln in de toegepaste wiskunde • in twee dimensies is deze vergelijking

∆u ≡ ∂

2_u

∂x2 +

∂2_u

∂y2 = 0 (126)

en in drie ruimtelijke dimensies ∆u ≡ ∂ 2_u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 = 0 (127)

• in een 2D warmtegeleidingsprobleem, bv., moet de temperatuur u(x , y , t) voldoen aan de twee-dimensionale warmte-vergelijking:

∂u ∂t = α 2  ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2  (128) • als er een stationaire toestandbestaat, hangt u niet langer van de tijd af

en reduceert vgl. (128) tot vgl. (126)

• de Laplace-vergelijking komt ook voor in tal van andere domeinen van de wiskundige natuurkunde, bv. depotentiaal-functie van een deeltje in de vrije ruimte waarop enkel de gravitatiekracht inwerkt, voldoet ook aan vgl. (126) of vgl. (127)

De Laplace-vergelijking : RVWn

• unieke oplossing vereist natuurlijk bijkomende RVWn • daarvoor zijn veel verschillende mogelijkheden :

- de Laplace-vergelijking met de waarde vanu gespecifieerd op de randen van het domein, wordt eenDirichlet probleem genoemd

- wanneerde parti ¨ele afgeleiden worden opgelegd op de randen (in de richting loodrecht op de betreffende rand), spreken we van een Neumann probleem

• deze RVWn volstaan voor een unieke oplossing(mits lichte voorwaarden op de functies die voorkomen in de RVWn), we tonen dit hier niet aan

• stel dat we de oplossing zoeken van de Laplace-vergelijking ∂2u

∂x2 +

∂2u

∂y2 = 0 (129)

in de rechthoek 0 < x < a, 0 < y < b, die ook voldoet aan de RVWn u(x , 0) = 0, u(x , b) = 0, 0 < x < a (130) u(0, y ) = 0, u(a, y ) = f (y ), 0 ≤ y ≤ b (131) met f een gegeven functie

Het Dirichlet probleem op een rechthoek

y

x

b

a

• opnieuw demethode van scheiding van veranderlijken toepassen :

u(x , y ) = X (x )Y (y ) (132)

in de Dvgl (129) substitueren levert (met scheidings-constanteλ) : X00

X = −

Y00

Y = λ (133)

Het Dirichlet probleem op een rechthoek

X00− λ X = 0 (134)

Y00+ λ Y = 0 (135)

• door substitutie van u(x , y ) = X (x )Y (y ) in elk van de dehomogene

RVWn vinden we:

X (0) = 0 (136)

en Y (0) = 0 en Y (b) = 0 (137)

⇒ probleem (135) met RVWn (137) is exact hetzelfde als dat voor de warmte-vergelijking ⇒ oplossing gewoon overnemen:

• er zijn enkel niet-triviale oplossingen als λ een eigenwaarde is, nl. Yn(y ) = sin nπy b  , n = 1, 2, 3, . . . (138) met de bijhorend eigenwaarden

λn=

n2π2

Het Dirichlet probleem op een rechthoek

X00−n

2_π2

b2 X = 0 (140)

• de oplossing moet voldoen aan RVW (136)

• het is hiervoor handig de oplossing van vgl. (140) in de vorm X (x ) = c1cosh

nπx

b + c2sinh nπx

b (141)

te schrijven, met c1 en c2 constanten (zie vgl. (9.17) in Sect. 9.1.2)

• we besluiten dus dat de functies un(x , y ) = sinh nπx b sin nπy b , n = 1, 2, 3, . . . (142) voldoen aan de parti¨ele Dvgl (129) en al de homogene RVWn

⇒ zijn de fundamentele oplossingenvan het probleem • overblijvende (inhomogene) RVW (131)?

⇒ beschouw lineaire combinatie van de fundamentele oplossingen:

u(x , y ) = ∞ X n=1 cnun(x , y ) = ∞ X n=1 cn sinh nπx b sin nπy b (143)

Het Dirichlet probleem op een rechthoek

• kies de constanten cn zo dat de inhomogene RVW voldaan is:

u(a, y ) = ∞ X n=1 cn sinhnπa b sin nπy b = f (y ) (144)

⇒ de cn sinh(nπa/b) moeten dus de co¨effici¨enten zijn van de Fourier

sinus-reeks met periode 2b voor f , dus

cnsinh nπa b = 2 b Z b 0 f (y ) sinnπy b dy , n = 1, 2, 3, . . . (145)

• de formele oplossing van het probleem (129) met de RVWn (130) en (131) wordt dus gegeven door vgl. (143) met de co ¨effici ¨enten bepaald door (145)

• voor a = 3, b = 2 en

f (y ) = (

y , voor 0 ≤ y ≤ 1; 2 − y , voor 1 ≤ y ≤ 2. ⇒ Uit vgl. (145) vinden we co¨effici¨enten cn:

cn=

8sin(nπ/2) n2_π2_sinh(3nπ/2)

Het Dirichlet probleem: voorbeeld

x

y

u

• algemene Dirichlet problemen met meer dan ´e ´en inhomogene RVW

⇒ Oplossing: principe van superpositietoepassen:

oplossing = som van oplossingen van verschillende eenvoudigere problemen (met telkens slechts ´e´en inhomogene RVW)

PAUZE

“The merit of painting lies in the exactness of reproduction. Painting is a science and all sciences are based on mathematics. No human inquiry can be

a science unless it pursues its path through mathematical exposition and demonstration.”

• demethode van scheiding van veranderlijken gaf telkens opnieuw aanleiding tot de differentiaalvergelijking

X00+ λ X = 0, 0 < x < L (146) met de randvoorwaarden

X (0) = 0, en X (L) = 0 (147)

• dit RVWn-probleem is hetprototype van een grote klasse van problemen die bekend staan als Sturm-Liouville RVWn-problemen en die erg belangrijk zijn in de toegepaste wiskunde

Enkele slotbemerkingen

• algemene vormvan de Sturm-Liouville vergelijking is d dx  p(x )du dx  + q(x )u(x ) = µ ρ(x )u(x ) (148)

waarbij p(x ) en q(x ) re¨eel worden verondersteld en ρ(x ) positief

• elke lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde kan tot het Sturm-Liouville type herleid worden(door te vermenigvuldigen met een gepaste ‘integrerende factor’)

• vgl. (146)

X00+ λ X = 0, 0 < x < L is de 1D vorm van deHelmholtz-vergelijking (cf. hfst 5)

⇒ is bijzonder geval van de Sturm-Liouville vergelijking(148) waarbijp = 1,

q = 0,ρ = 1enµ = −λ

• algemene vorm van de Helmholtz-vergelijking is eigenlijk

∆X + k2X = 0 (149)

waarbij ∆ de Laplace-operator is die we reeds definieerden in Sect. 9.5.3,voor cartesische co ¨ordinaten

Enkele slotbemerkingen

• problemen op een cirkel, of een schijf of in een cylinder, worden best met poolco¨ordinaten (r , φ) beschreven

⇒ de 2D vergelijking van Helmholtz neemt dat de volgende vorm aan ∂2u ∂r2 + 1 r ∂u ∂r + 1 r2 ∂2u ∂φ2 + k 2_{u(r , φ) = 0 (150)}

⇒ methode van scheiding van veranderlijken toepassen

u(r , φ) = R(r )Φ(φ) (151)

R00Φ + 1 r R

0_{Φ +} 1

r2RΦ

00_{+ k}2_{RΦ = 0 (152)}

of (na vermenigvuldiging met r2_/RΦ)

r2 R 00 R + r R0 R + k 2_r2 _{= −}Φ00 Φ (153)

⇒ LL is onafhankelijk vanφ, RL is onafhankelijk vanr

⇒ beide leden moeten dus constant zijn, neem als constante n2 _:

Φ00(φ) + n2Φ(φ) = 0 (154) R00(r ) + 1 r R 0_{(r ) +}  k2−n 2 r2  R(r ) = 0 (155)

Enkele slotbemerkingen

• algemene oplossing van vgl. (154) is een combinatie van cosnφ en sinnφ • vgl (155) hebben we besproken in hfst 5!

• voor k = 0 wordt dit een vgl. van het ‘Euler-type’ met regelmatig singulier punt r = 0 ⇒ als oplossing vinden we dan

R(r ) = 

c1rn+ c2r−n, als n 6= 0

c1+ c2lnr , als n = 0

• wanneer k 6= 0 is vergelijking (155) R00(r ) + 1 r R 0_{(r ) +}  k2−n 2 r2  R(r ) = 0 devergelijking van Bessel (hfst 5)

• standaardvorm wordt bekomen door z =kr te stellen en Z (z) = R(r ): Z00(z) +1 z Z 0_{(z) +}  1−n 2 z2  Z (z) = 0 (157)

Enkele slotbemerkingen

• problemen op een bol (cf. geografie, sterrenkunde, astrofysica, enz.) worden best metbolco ¨ordinaten(r , θ, φ)beschreven

• de 3D vergelijking van Helmholtz kan dan opnieuw met de methode van scheiding van veranderlijken opgelost worden:

u(r , θ, φ) = R(r )Θ(θ)Φ(φ) (158) ⇒ we vinden dan voor Θ(θ) de volgende vergelijking:

sinθ∂ ∂θ  sinθ∂Θ ∂θ  + (λsin2θ − m2) Θ(θ) = 0 (159)

• in termen van z = cosθ is d d θ = dz d θ d dz = −sinθ d dz = − p 1 − z2 d dz en wordt deze vergelijking met P(z) = Θ(θ)

(1 − z2)d dz  (1 − z2)dP dz  + (λ(1 − z2) − m2) P(z) = 0 (160)

Enkele slotbemerkingen

• stellen we

P(z) = (1 − z2)m/2Q(z) (161) dan transformeert deze vergelijking in

(1 − z2)Q00(z) − 2z(1 + m) Q0(z) + [λ − m(m + 1)] Q(z) = 0 (162)

Regels

• noteer rechtsboven eerst jenaamenexamennummer!

• geef op elke vraag een antwoord: als je een bepaalde vraag niet wenst te beantwoorden, noteer dan ‘geen antwoord’ !

• STILTE in het examenlokaal!

• leesbaar schrijven, beknopt maar volledig, vermijd rood!

• open boek: cursus eneigenhandig handgeschreven PORTFOLIO!! en een rekenmachine (cf. info over examen op Toledo)

Ex-examenvragen (drie jaar geleden)

• vraag 1: Gegeven is het stelsel van differentiaalvergelijkingen 

y₁0 = y2+ f (y1),

y₂0 = y1y2.

waarbij f : R → R een willekeurige functie is. Leg de methode “oplossen door eliminatie” uit aan de hand van dit stelsel.

• vraag 2: Los de volgende differentiaalvergelijking op: x00− ω2x = cosαt

voor x : R → R : t 7→ x(t) met α, ω ∈ R0.

Ex-examenvragen (drie jaar geleden)

• vraag 3: vind een lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde met constante co¨effici¨enten zodat voorelke oplossing y van deze vergelijking geldt dat:

lim

• antwoord: algemene oplossing is

y = Φ(t) = c1y1(x ) + c2y2(x )

| {z }

=yh(x )

+Y (x )

⇒ yh(x ) moet uitdempen, m.a.w. de overeenkomstige homogene

vergelijking moet een karakteristieke vergelijking hebben met twee negatieve wortels, of toch twee wortels met negatieve re¨ele delen ⇒ zoals in vb. 3.5: y00+ y0+ y = 0 ⇒ y = c1e−t/2cos( √ 3t/2) + c2e−t/2sin( √ 3t/2) • particuliere oplossing moet 7 zijn, dus y00+ y0+ y = 7

Ex-examenvragen (drie jaar geleden)

• vraag 4: vind de differentieerbare functie y(t) die voldoet aan        y000(t) + 2y00(t) + y0(t) = 2005 X k=0 δ(t − k) y (0) = 1, y0(0) = 0 = y00(0).

• antwoord: Laplace-transformatie (cf. hfst 7) Ly000 + 2Ly00 + Ly0 = L (₂₀₀₅ X k=0 δ(t − k) ) s3Y − s2+2s2Y − 2s+ sY − 1 = 2005 X k=0 e−sk (s3+ 2s2+ s)Y = s2+ 2s + 1 + 2005 X k=0 e−sk Y = s 2_{+ 2s + 1} s(s2_{+ 2s + 1)}+ 2005 X k=0 e−sk s(s2_{+ 2s + 1)}

Ex-examenvragen (drie jaar geleden)

• vraag 5: deToren van Hanoi is een spel bestaande uit drie staven en n schijven met verschillende diameter die over de staven geschoven kunnen worden. Bij het begin van het spel zijn alle schijven van groot naar klein over de eerste staaf geschoven. De bedoeling is om in zo weinig mogelijk zetten deze toren over te brengen naar de laatste staaf. Een zet bestaat uit het verplaatsen van een staaf naar een andere staaf. De enige spelregel is dat een schijf nooit boven op een kleinere schijf mag geplaatste worden. Zij hn het minimum aantal zetten op een toren

van Hanoi met n schijven op te lossen, dus h1 = 1 en h2 = 3.

- Bepaal h3.

- Vind een differentievergelijking voor hn.

Hint: Op het moment dat je de grootste schijf van de eerste staaf naar de laatste verplaatste, moeten de andere schijven zich, noodzakelijkerwijs in de juiste volgorde, op de middelste staaf bevinden.

Ex-examenvragen (drie jaar geleden)

• antwoord: Toren van Hanoi • h3 = 7

• differentievergelijking voor hn :

h3 = 7 = 2h2+ 1

• expliciete uitdrukking voor hn :

hn+1 = 2hn+ 1 ⇒ hn+1− 2hn= 1

- homogene vgl. (met karakteristieke veelterm): (E − 2)hn= 0

⇒ alg opl: hn= 2nh1 - inhomogene vgl.: probeer hn= 2nh1+ C ⇒ h1 = 1 n=1 =⇒ 1 = 2 + C ⇒ C = −1 ⇒ h_n= 2n− 1

The End

Show me your skills in mathematics, and I will tell you what kind of bio-engineer you are (or will become).